Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Визначення. Хай Е – топологічний простір, а U – його підмножина. Безліч U називається відкритою, якщо воно є околицею для будь-якої точки U.

Визначення. Хай Е – топологічний простір, а F – його підмножина. Безліч F називається замкнутою, якщо безліч E \ F – відкрито.

Відзначимо наступні властивості:

1)Об'єднання будь-якої сукупності відкритих множин відкрите.

2)Перетин кінцевого числа відкритих множин відкритий.

3)Перетин будь-якої сукупності замкнутих множин замкнутий.

4)Об'єднання кінцевого числа замкнутих множин замкнуте.

Визначення. Якщо А – будь-яка множина в топологічному просторі Е, то об'єднання всіх відкритих множин, що містяться в А, відкрито. Це об'єднання називається внутрішністю безлічі А. Обозначаєтся INTA. Це об'єднання буде наибольши відкритим множиною, що міститься в А.

Визначення. Множина А називається замиканням безлічі А. Множество FRA = А ∩CA називається межею множини А.

Безперервні відображення.

Хай Е і F – топологічні простори, і хай f – відображення простору Е в F. f: E → F.

Безперервність відображення полягає в тому, що крапки, близькі один до одного в безлічі Е, відображаются в крапки, близькі один до одного в безлічі F.

Визначення. Відображення f: E → F називається безперервним в точці р, якщо для будь-якої околиці V точки f(p) в безлічі F існує така околиця U крапки в безлічі Е, що f(U) V. Відображення f називається безперервним, якщо воно безперервне в кожній точці простору Е.

Особливе значення мають ті безперервності відображення, для яких існує безперервне зворотне відображення.

Визначення. Якщо f – взаємне одноначное відображення простору Е в F, то існує зворотне відображення g простору F в E. Якщо і f і g безперервні, то отбражение f

називається гомеоморфизмом, а простори Е і F – гомеоморфні.

Гомеоморфізм між множинами встановлює взаємно однозначну відповідність між околицями, закритими і відкритими підмножинами цих множин.

Топологічні твори.

Хай E і F – топологічні простори. Безліч EF ×визначається як безліч пар (p,q), де pE , а qF. Воно перетворюється на топологічний простір таким чином: якщо (p,q) EF×, то околиця крапки (p,q) – це будь-яка множина, що містить безліч виду UV, де U

– околиця точки p в E, а V– околиця q в F.

Визначення. Безліч EF×, перетворена на топологічний простір тільки що описаним способом, називається топологічним твором просторів E і F.

Наприклад, в тривимірному евклидове просторі тор є топологічним твором кола на себе.

121

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Зв'язність.

Визначення. Простір E називається зв'язним, якщо його не можна представити у вигляді об'єднання двох непорожніх непересічних множин, відкритих в E. Множина в топологічному просторі називається зв'язною, якщо воно зв'язне як підпростір.

Якщо Е і F – зв'язні простори, то твір Е × F також зв'язно.

Компактність.

Поняття компактності узагальнює властивість бути замкнутим і обмеженим множиною в евклидовом просторі.

Визначення. Топологічний простір називається хаусдорфовым, якщо воно володіє наступною властивістю: які б не були дві різні точки p і q, існує така околиця U точки p і така околиця V точки q, що UV=∩ .

Будь-хто евклідовий простір є хаусдорфовым.

Будь-який підпростір евклідова простори хаусдорфово. Насправді будь-який підпростір будь-якого хаусдорфова простори хаусдорфово.

Перш ніж визначати компактність, приведемо декілька попередніх визначень.

Визначення. Покриття топологічного простору E – набір множин з E, об'єднання яких дає весь простір E. Воно називається відкритим покриттям, якщо кожна множина в наборі відкрито.

Визначення. Хай дано покриття топологічного простору. Підпокриттям називається покриття, вся безліч якого належить даному покриттю.

Визначення. Компактним простором називається хаусдорфово простір, що володіє тією властивістю, що кожне його відкрите покриття містить кінцеве підпокриття, тобто покриття, що складається з кінцевого числа множин. Множина в топологічному просторі називається компактною, якщо воно є компактним підпростором.

Компактна підмножина евклідова простори повинно бути замкнутим і обмеженим. Якщо перемножувані компактні простори A і B лежать в евклидовых просторах размерностей m іn , то їх твір є підпростір в (n + m) -мерном просторі. Оскільки простори A і B компактні, вони замкнуті і обмежені. Тому їх твір є замкнутою і обмеженою підмножиною евклідова простори. Отже, AB ×компактно.

122

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Зміст:

Лінійна алгебра. Основні визначення. Основні дії над матрицями. Транспонована матриця. Визначники.

Додатковий мінор. Елементарні перетворення. Мінор.

Доповнення алгебри. Зворотна матриця. Базисний мінор матриці. Ранг матриці. Еквівалентні матриці.

Теорема про базисний мінор.

Матричний метод вирішення систем рівнянь. Метод Крамера.

Вирішення довільних систем рівнянь. Сумісні системи.

Певні системи. Однорідна система.

Елементарні перетворення систем рівнянь. Теорема Кронекера - Капеллі.

Метод Гауса.

Елементи векторної алгебри. Колінеарні вектори. Компланарні вектори.

Лінійні операції над векторами. Властивості векторів.

Базис.

Лінійна залежність векторів. Система координат. Ортонормований базис.

Лінійні операції над векторами в координатах. Скалярний твір векторів.

Векторний твір векторів. Змішаний твір векторів. Рівняння поверхні в просторі. Загальне рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через 3 крапки.

Рівняння площини по 2 точкам і вектору, колінеарному площині. Рівняння площини по точці і 2 векторам, колінеарним площині. Рівняння площини по точці і вектору нормалі.

Рівняння площини у відрізках. Рівняння площини у векторній формі. Відстань від крапки до площини. Аналітична геометрія.

Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої.

Рівняння прямої по точці і вектору нормалі. Рівняння прямої, що проходить через 2 крапки. Рівняння прямої по точці і кутовому коэфициенту.

123

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Рівняння прямої по точці і направляючому вектору. Рівняння прямої у відрізках.

Нормальне рівняння прямої. Кут між прямими на площині.

Рівняння прямої, що проходить через дану крапку перпендикулярно даною прямою.

Відстань від крапки до прямій на площині. Криві другого порядку.

Коло. Еліпс. Фокуси.

Ексцентриситет. Директриси. Гіпербола.

Ексцентриситет гіперболи. Директриси гіперболи. Парабола.

Полярна система координат. Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.

Рівняння прямої по точці і направляючому вектору. Параметричне рівняння прямої.

Направляючі косинуси. Кутовий коефіцієнт.

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві крапки. Загальні рівняння прямої.

Кут між площинами.

Умови паралельності і перпендикулярності площин. Кут між прямими.

Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Кут між прямою і площиною.

Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини. Поверхні другого порядку.

Циліндрові поверхні. Поверхні обертання. Сфера.

Тривісний еліпсоїд. Однопорожнинний гіперболоїд. Двуполостний гіперболоїд. Еліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд. Конус другого порядку.

Циліндрова і сферична системи координат. Зв'язок циліндрової і декартової систем координат. Зв'язок сферичної і декартової системи координат. Лінійний (векторне) простір.

Властивості лінійних просторів. Лінійні перетворення. Матриці лінійних перетворень.

Власні значення і власні вектори лінійних перетворень.

Характеристичне рівняння.

124

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Власний напрям. Перетворення подібності. Квадратичні форми. Визначник квадратичної форми.

Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду. Введення в математичний аналіз.

Числова послідовність.

Обмежені і необмежені послідовності. Межа.

Монотонні послідовності. Число е.

Зв'язок натурального і десяткового логарифмів. Межа функції в точці.

Односторонні межі.

Межа функції при прагненні аргументу до нескінченності. Основні теореми про межі.

Обмежені функції. Нескінченно малі функції.

Властивості нескінченно малих функцій.

Нескінченно великі функції і їх зв'язок з нескінченно малими. Порівняння нескінченне малих функцій.

Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій. Деякі чудові межі.

Безперервність функції в точці. Розривна функція. Безперервна функція.

Властивості безперервних функцій. Безперервність деяких елементарних функцій. Точки розриву і їх класифікація. Безперервність функції на інтервалі і на відрізку. Властивості функцій, безперервних на відрізку. Рівномірно безперервні функції.

Комплексні числа. Тригонометрична форма числа. Дії з комплексними числами. Формула Муавра.

Показова форма комплексного числа. Рівняння Ейлера.

Розкладання многочлена на множники. Теорема Безу.

Основна теорема алгебри. Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин. Операції над множинами. Відносини.

Бінарні відносини. Властивості бінарних відносин. Структури алгебри.

Група. Ізоморфізм. Абелева група. Кільце.

125

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Поле.

Дискретна математика. Елементи комбінаторики. Перестановки. Розміщення. Поєднання.

Біном Ньютона.

Елементи математичної логіки. Основні равносильности. Булеві функції.

Предикати і квантори.

Графи і мережі. Основні визначення. Маріци графів.

Досяжність і зв'язність. Ейлерови і гамильтоновы графи. Дерева і цикли.

Елементи топології. Метричний простір. Відкриті і замкнуті множини. Безперервні відображення. Гомеоморфізм. Топологічний твір. Зв'язність.

Компактність.

126