- •Г.С. Розаренов, в.А. Шаруда дискретная математика Учебное пособие
- •Воронеж 2008
- •Воронеж 2008
- •Введение
- •1. Множества
- •1.1. Основные понятия
- •Упражнения
- •1.2. Операции над множествами
- •Упражнения
- •1.3. Диаграммы Венна
- •Упражнения
- •1.4. Доказательства
- •Упражнения
- •1.5. Векторы, прямые произведения, проекции векторов
- •Упражнения.
- •2. Алгебра логики
- •2.1. Функции алгебры логики
- •2.2. Формулы. Реализация функций формулами
- •2.3. Эквивалентность формул. Свойства элементарных функций. Принцип двойственности
- •2.4. Разложение булевых функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •2.5. Полнота и замкнутость
- •2.6. Проблема минимизации булевых функций
- •Упражнения.
- •2.7. Упрощение д.Н.Ф. Тупиковые (относительно упрощения) д.Н.Ф.
- •Упражнения.
- •3. Язык логики предикатов
- •3.1. Основные понятия логики предикатов
- •3.2. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Упражнения.
- •4. Теория графов
- •4.1.Основные понятия
- •Г раф изоморфен
- •4.2. Способы задания графов
- •Матрица инцидентности (ij)
- •4.3. Операции над частями графа
- •4.4. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.5. Дерево и лес
- •4.6. Сети
- •Упражнения.
- •5. Введение в теорию алгоритмов
- •5.1. Предварительные обсуждения
- •5.2. Блок-схемы алгоритмов
- •5.3. Машины Тьюринга
- •5.4. Некоторые операции над машинами Тьюринга
- •5.5. Рекурсивные функции
- •6. Автоматы
- •6.1. Определение основных понятий
- •6.2. Изоморфизм и эквивалентность автоматов
- •6.3. Сети из автоматов
- •6.4. Синхронные сети
- •6.5. Программная реализация логических функций
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Упражнения.
1. Проиллюстрировать на примере предиката порядка {Q:N2 B; Q(a1, a2)=1 тогда и только тогда, когда a1 a2}, понятия истинного, логичного и переменного высказываний.
2. Пусть предикт P(x, y) задан на множестве M = {a; b;c} таблицей 14. Определить истинность следующих формул:
а) xP(x, a), xP(x, a), y P(a, y), yP(a,y) ;
б) xP(x, b), xP(x, b), y P(b, y), yP(b,y) ;
в) x y P(x, y), x y P(x, y), y x P(x, y), y xP(x,y) ;
г) y xP(x, y), x y P(x, y), x y P(x, y), x y P(x,y) ;
Таблица 14
x y |
P(x,y) |
a a a b a c b a b b b c c a c b c c |
0 1 1 0 1 1 0 1 1 |
3. Определить истинность, логичность либо выполнимость следующих формул:
а) xP(x, y, z);
б) xP(x, y) xP(x, y);
в) x(P(x) (x));
г) x(P(x) & P(x));
д) xP(x) x P(x);
4. Получить ПНФ следующих предикатных формул:
а) x yP1(x, y) x yP2(x, y);
б) ( x zP1(x, z) x yP2(x, y)) z P3(z);
в) ( yP1( y) x y P2(x, y)) z P3(z);
г) ( x y P1(x, y) x yP2(x, y)).
4. Теория графов
4.1.Основные понятия
Так называемые графы являются наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям. Графические представления в узком смысле это описание исследуемой системы, процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности двух классов объектов: вершин и соединяющих их ребер. Графы и их составляющие характеризуются определенными свойствами и набором допустимых операций над ними.
Определение. Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер Е, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро еεЕ инцидентно ровно двум вершинам v' и v''εV, которые они соединяют. При этом вершина v' (и v'') и ребро е называют инцидентными друг другу, а вершины v' и v'', являющиеся для ребра е концевыми точками, называют смежными. Часто вместо vεV и еεЕ пишут vεG и еεG.
Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой. В этом случае оно называется направленным или ориентированным или дугой и изображается стрелкой, направленной от вершины, называемой началом к вершине, называемой концом.
Граф, содержащий направленные ребра называется ориентированным или орграфом, а ненаправленные – неориентированным или н-графом.
Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называется параллельными или кратными. Граф, содержащий кратные ребра называется мультиграфом. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.
Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно и пустым, если множество его вершин (а следовательно и ребер) пусто. Граф без петель и кратных ребер называется полным, если каждая пара вершин соединена ребром.
Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и G и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получить полный граф.
Каждому н-графу канонически соответствует орграф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя ориентированными ребрами, инцидентными тем же вершинам и имеющим противоположные направления.
Локальной степенью (или просто степенью) вершины vεV
н-графа G называют количество ребер ρ(V), инцидентных вершине v. В н-графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер m графа, т.е. четна (полагается, что в графе с петлями петля дает вклад 2 в степень вершины).
.
Следовательно, в н-графе число вершин нечетной степени четно.
Для вершин орграфа определяются две локальные степени:
ρ1(v) – число ребер, выходящих из v.
ρ2(v) – число ребер, входящих из v.
Петля дает вклад 1 в обе эти степени.
В орграфе суммы степеней всех вершин ρ1(v) и ρ2(v) равны количеству ребер m этого графа.
.
Графы G1 и G2 равны, т.е. G1=G2, если их множества вершин и ребер (выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V1=V2 и Е1=Е2.
Граф G считается полностью заданным в строгом смысле, если нумерации его вершин и ребер зафиксированы. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин и ребер, называются изоморфными.
П ример 1.