- •Г.С. Розаренов, в.А. Шаруда дискретная математика Учебное пособие
- •Воронеж 2008
- •Воронеж 2008
- •Введение
- •1. Множества
- •1.1. Основные понятия
- •Упражнения
- •1.2. Операции над множествами
- •Упражнения
- •1.3. Диаграммы Венна
- •Упражнения
- •1.4. Доказательства
- •Упражнения
- •1.5. Векторы, прямые произведения, проекции векторов
- •Упражнения.
- •2. Алгебра логики
- •2.1. Функции алгебры логики
- •2.2. Формулы. Реализация функций формулами
- •2.3. Эквивалентность формул. Свойства элементарных функций. Принцип двойственности
- •2.4. Разложение булевых функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •2.5. Полнота и замкнутость
- •2.6. Проблема минимизации булевых функций
- •Упражнения.
- •2.7. Упрощение д.Н.Ф. Тупиковые (относительно упрощения) д.Н.Ф.
- •Упражнения.
- •3. Язык логики предикатов
- •3.1. Основные понятия логики предикатов
- •3.2. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Упражнения.
- •4. Теория графов
- •4.1.Основные понятия
- •Г раф изоморфен
- •4.2. Способы задания графов
- •Матрица инцидентности (ij)
- •4.3. Операции над частями графа
- •4.4. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.5. Дерево и лес
- •4.6. Сети
- •Упражнения.
- •5. Введение в теорию алгоритмов
- •5.1. Предварительные обсуждения
- •5.2. Блок-схемы алгоритмов
- •5.3. Машины Тьюринга
- •5.4. Некоторые операции над машинами Тьюринга
- •5.5. Рекурсивные функции
- •6. Автоматы
- •6.1. Определение основных понятий
- •6.2. Изоморфизм и эквивалентность автоматов
- •6.3. Сети из автоматов
- •6.4. Синхронные сети
- •6.5. Программная реализация логических функций
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.5. Дерево и лес
Н-граф называется неориентированным деревом (деревом), если он связан и не содержит циклов, а, следовательно, петель и кратных ребер.
Дерево – это минимальный связанный граф в том смысле, что при удалении хотя бы одного ребра он теряет свою связанность.
Наличие связанности и отсутствие циклов позволяет жестко связать число вершин и ребер: в дереве с n вершинами всегда (n-1) ребро.
Лес – несвязанный н-граф без циклов; связанные компоненты леса – деревья. Любая часть леса или дерева также не имеет циклов, т.е. является лесом или деревом. Любая цепь в таком графе – простая, иначе она содержала бы цикл. В неориентированном дереве, между любыми двумя вершинами существует цепь, и притом только одна.
Вершина vG называется концевой, или висячей, если ее степень (v)=1. Ребро, инцидентное концевой вершине называется концевым.
Ориентация неориентированного дерева происходит так:
В дереве G выбирается вершина v0 – так называемый корень дерева G и все ребра такого дерева с корнем ориентируются от него. При выборе другого корня получаем другой орграф-дерево.
Пусть v- вершина дерева G с корнем v0; B(v) – множество всех вершин, связанных с корнем цепями, проходящими через вершину v. Это множество порождает подграф G(v), называемый ветвью вершины v в дереве с корнем v0. Если дерево имеет более двух вершин, то среди них есть неконцевые.
Пусть дано конечное дерево G. Вершинами типа 1 называют его концевые вершины. Если из дерева G удалить все вершины типа 1 и инцидентные им концевые ребра, то в оставшемся дереве G' концевые вершины называются вершинами типа 2 в дереве G. Аналогично определяются вершины типа 3, 4 и т.д. Конечное дерево имеет вершины лишь конечного числа типов, причем число вершин максимального типа равно единице или двум.
Цикломатическим числом конечного н-графа G называется
V(G)=Vc+ Ve+ VV,
где Vc - число связанных компонент графа; Ve - число его ребер; VV - число вершин. V(G) для любого конечного н-графа неотрицательно. Цикломатическое число любого дерева и леса равно нулю. Действительно Vc- Vе =1, а число связанных компонент дерева Vc=1.
4.6. Сети
Обобщим понятие графа.
Определение: Множество М={a1, a2,…} и набор N={Eo, E1, E2,...}, в котором каждое Ei есть набор элементов из М, т.е. называется сетью и обозначается M={Eo; E1; E2,...}. Объекты множества М называются вершинами, а объекты из набора Е0 – полюсами сети.
Пример 4:
M={1,2,3,4,5,6,7,}, N={Eo, E1, E2, E3, E4, E5},
где E0=(1,2,6); E1=(1,3,3,4,5); E2=(4,4,4,5,6); E3=E4=(2,4), E5=(2,5,6,7);
тогда M={Eo; E1; E2, E3, E4, E5} будет сетью.
Если множество М и набор N конечны, сеть называется
конечной.
Сеть, в которой бесконечно хотя бы М или N называется бесконечной. Частным случаем бесконечных сетей являются счетные сети, т.е. те, у которых М и N не более чем счетны.
Для любой счетной сети определена ее геометрическая реализация. Например, для рассмотренной сети:
Ф игура напоминает схему радиоприемника, из которой удалены все элементы: сопротивления, емкости, индуктивности и.т.д.
Определение: Сети M'={Eo'; E1'; E2',...} и M={Eo; E1; E2,...} называются изоморфными, если можно установить взаимно-однозначное соответствие между объектами множеств M' и M, а также между объектами из N' и N так, что:
1) соответствующие наборы E' и E состоят из соответствующих объектов (с учетом кратности их вхождения);
2) наборы E0' и E0 соответствуют друг другу.
Очевидно, что абстрактная сеть изоморфна своей геометрической реализации. И поскольку интерес представляют сети с точностью до изоморфизма, то будем считать, что сети представляют собой геометрические объекты.
Очевидно, что класс сетей, у которых E0 не определен и каждый набор Ei состоит из двух объектов множества М, совпадает с классом графов.