- •Часть 1
- •Введение
- •I. Основные понятия и аксиомы. Сходящиеся силы
- •§ 1. Основные понятия и определения
- •§ 2. Аксиомы статики
- •§ 3. Простейшие теоремы статики
- •§ 4. Система сходящихся сил
- •П риведение к равнодействующей силе
- •Условия равновесия системы сходящихся сил
- •Проецирование силы на оси координат
- •II. Моменты силы относительно точки и оси
- •§ 1. Алгебраический момент силы относительно точки
- •§ 2. Векторный момент силы относительно точки
- •§ 3. Момент силы относительно оси
- •§ 4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси
- •§ 5. Формулы для моментов силы относительно осей координат
- •III. Теория пар сил
- •§ 1. Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •§ 2. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •§ 3. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •§ 4. Векторный момент пары сил
- •§ 5. Эквивалентность пар сил
- •§ 6. Теорема о сумме моментов сил пары
- •§ 7. Сложение пар сил
- •§ 8. Равновесие пар сил
- •IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •§ 1. Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Приведение силы к заданному центру
- •П риведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Приведение плоской системы сил
- •Формулы для вычисления главного вектора и главного момента
- •§ 2. Условия равновесия системы сил Условия равновесия системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •V. Плоская система сил. Теорема вариньона
- •§ 1. Частные случаи приведения плоской системы сил
- •Случай приведения к равнодействующей силе
- •Случай приведения к паре сил
- •§ 2. Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона)
- •§ 3. Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия)
- •Третья форма условий равновесия
- •§ 4. Статически определимые и статически неопределимые задачи
- •§ 5. Равновесие системы тел
- •§ 6. Распределенные силы
- •Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии
- •Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону
- •Реакция заделки
- •§7. Решение задач на равновесие плоской системы сил, приложенных к твердому телу и системе тел
- •VI. Трение
- •§ 1. Трение скольжения
- •Законы Кулона
- •Угол и конус трения
- •Равновесие тела на шероховатой поверхности
- •§2. Трение качения
- •VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил
- •§ 1. Изменение главного момента при перемене центра приведения
- •§ 2. Инварианты системы сил
- •§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •§4. Уравнение центральной винтовой оси
- •§5. Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил
- •§6. Центр системы параллельных сил
- •§7. Частные случаи равновесия твердого тела Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками
- •Твердое тело с одной закрепленной точкой
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •II. Моменты силы относительно точки и оси………………... 24
- •III. Теория пар сил……………………………………………... 32
- •IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия…………………………………………… 44
- •V. Плоская система сил. Теорема Вариньона………………... 55
- •VI. Трение………………………………………………………. 73
- •VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил………………………………………. 86
- •Библиографический список………………………………….. 104
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
§ 7. Сложение пар сил
Рассмотрим случай, когда пары сил не лежат в одной или параллельных плоскостях, а расположены в пересекающихся плоскостях. Докажем, что две пары сил, действующие на одно и то же тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил.
П
Рис. 27
(26)
Силы и составляют пару сил, так как они приложены в разных точках и как равнодействующие равных, но противоположных сил, образующих пары сил.
Итак, при сложении двух пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, получается эквивалентная пара сил. Обозначим векторный момент пары сил . Тогда на основании формул (23) и (26)
.
Учитывая, что , где – векторные моменты заданных пар сил и , имеем:
,
т.е. векторный момент эквивалентной пары сил равен сумме векторных моментов заданных пар.
Таким образом, чтобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные моменты по правилу параллелограмма в какой-либо точке тела, например в точке В (рис. 27). Сложение пар сил, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, есть частный случай сложения пар сил в пересекающихся плоскостях, так как в этом случае их векторные моменты параллельны и, следовательно, векторное сложение перейдет в алгебраическое.
Последовательно применяя правило параллелограмма ко всем векторным моментам пар сил, можно любое количество пар сил в общем случае заменить одной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил:
. (27)
Если это сложение выполнять графически, особенно когда векторные моменты пар сил находятся в одной плоскости, то векторный момент эквивалентной пары сил изобразится замыкающей векторного многоугольника, построенного из векторных моментов заданных пар сил.
Для пар сил, расположенных в одной плоскости, теорема об их сложении формулируется так: пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, можно привести к одной паре сил, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов составляющих пар сил, т. е.
. (27’)
Так же складываются пары сил, расположенные в параллельных плоскостях, так как их предварительно можно перенести в одну плоскость.
§ 8. Равновесие пар сил
Если на твердое тело действуют пары сил, как угодно расположенные в пространстве, то эти пары сил можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил, т.е.
.
Векторный момент геометрически изображается замыкающей векторного многоугольника, построенного на векторных моментах заданных пар сил.
Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут.
Итак, . Отсюда:
(28)
Таким образом, для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций векторных моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
В общем случае пары сил можно уравновесить только парой сил и нельзя уравновесить одной силой или какой-либо другой системой сил, отличной от пары сил.
В том случае, когда пары сил действуют на твердое тело, находясь в одной плоскости, их можно заменить одной эквивалентной парой сил, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов составляющих пар сил:
.
Для равновесия таких пар сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраический момент эквивалентной им пары сил был равен нулю, т.е. для равновесия пар сил, действующих на твердое тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов этих пар сил была равна нулю.
Если на твердое тело действуют только пары сил, лежащие в одной плоскости, то реакции опор, уравновешивающие заданные пары сил, составляют пару сил.