- •Часть 1
- •Введение
- •I. Основные понятия и аксиомы. Сходящиеся силы
- •§ 1. Основные понятия и определения
- •§ 2. Аксиомы статики
- •§ 3. Простейшие теоремы статики
- •§ 4. Система сходящихся сил
- •П риведение к равнодействующей силе
- •Условия равновесия системы сходящихся сил
- •Проецирование силы на оси координат
- •II. Моменты силы относительно точки и оси
- •§ 1. Алгебраический момент силы относительно точки
- •§ 2. Векторный момент силы относительно точки
- •§ 3. Момент силы относительно оси
- •§ 4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси
- •§ 5. Формулы для моментов силы относительно осей координат
- •III. Теория пар сил
- •§ 1. Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •§ 2. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •§ 3. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости
- •§ 4. Векторный момент пары сил
- •§ 5. Эквивалентность пар сил
- •§ 6. Теорема о сумме моментов сил пары
- •§ 7. Сложение пар сил
- •§ 8. Равновесие пар сил
- •IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •§ 1. Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Приведение силы к заданному центру
- •П риведение произвольной системы сил к силе и паре сил
- •Приведение плоской системы сил
- •Формулы для вычисления главного вектора и главного момента
- •§ 2. Условия равновесия системы сил Условия равновесия системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •V. Плоская система сил. Теорема вариньона
- •§ 1. Частные случаи приведения плоской системы сил
- •Случай приведения к равнодействующей силе
- •Случай приведения к паре сил
- •§ 2. Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона)
- •§ 3. Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия)
- •Третья форма условий равновесия
- •§ 4. Статически определимые и статически неопределимые задачи
- •§ 5. Равновесие системы тел
- •§ 6. Распределенные силы
- •Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии
- •Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону
- •Реакция заделки
- •§7. Решение задач на равновесие плоской системы сил, приложенных к твердому телу и системе тел
- •VI. Трение
- •§ 1. Трение скольжения
- •Законы Кулона
- •Угол и конус трения
- •Равновесие тела на шероховатой поверхности
- •§2. Трение качения
- •VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил
- •§ 1. Изменение главного момента при перемене центра приведения
- •§ 2. Инварианты системы сил
- •§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил
- •§4. Уравнение центральной винтовой оси
- •§5. Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил
- •§6. Центр системы параллельных сил
- •§7. Частные случаи равновесия твердого тела Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками
- •Твердое тело с одной закрепленной точкой
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •II. Моменты силы относительно точки и оси………………... 24
- •III. Теория пар сил……………………………………………... 32
- •IV. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия…………………………………………… 44
- •V. Плоская система сил. Теорема Вариньона………………... 55
- •VI. Трение………………………………………………………. 73
- •VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил………………………………………. 86
- •Библиографический список………………………………….. 104
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил
Произвольная система сил приводится к силе, равной главному вектору , и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту . В зависимости от их модулей и взаимного направления, т.е. угла между ними, можно произвести дальнейшие упрощения.
Приведение к паре сил. Если , , то система сил приводится к одной паре сил, причем главный момент в этом случае, согласно (64), не зависит от выбора центра приведения. В рассматриваемом случае оба инварианта системы сил равны нулю, т.е.
, .
Приведение к равнодействующей. Возможны два случая.
Если , (первый инвариант , второй – ), то система приводится к равнодействующей силе , равной по модулю и направлению главному вектору , т.е.
.
Линия действия равнодействующей силы в этом случае проходит через центр приведения.
Если , , но , т.е. (первый инвариант , второй – ), то система сил тоже приводится к равнодействующей, причем опять
.
Н
Рис. 54
~ ~ , ,
так как система двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил ~0 и может быть отброшена. Таким образом, рассматриваемая система сил оказалась эквивалентной одной равнодействующей силе , которая по модулю и направлению совпадает с главным вектором . Плечо пары сил определяется из условия
,
так как . Отрезок определяет кратчайшее расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей силы . Первый случай является частным случаем второго, когда за центр приведения взята точка, расположенная на линии действия равнодействующей силы.
П
Рис. 55
Р
Рис. 56
, .
Покажем, что система сил в этом случае приводится к динаме, причем элементами динамы являются сила и момент пары , где – угол между векторами и . Действительно, после приведения системы сил к центру получим главный вектор и главный момент . Косинус угла между ними можно определить выражая скалярное произведение векторов и в двух формах:
;
.
Р
Рис. 57
, . (68)
Векторный момент пары сил перпендикулярен главному вектору . Такая система силы и пары с моментом приведется к одной силе , линия действия которой находится от точки на расстоянии
. (69)
Рассматриваемая система сил заменилась эквивалентной системой сил, состоящей из силы и пары сил с векторным моментом , который как свободный вектор можно перенести из точки в любую точку, в том числе и точку на линии действия силы . Кратко результат можно выразить в форме:
~ ,
причем система сил является динамой. Сила и векторный момент пары есть элементы динамы:
, . (70)
Линия, по которой направлена сила динамы , называется центральной винтовой осью. Во всех точках винтовой оси, принятых за центры приведения, система сил приводится к одной и той же динаме. Расстояние от центра приведения до центральной винтовой оси
.
Е сли брать за центры приведения точки на поверхности цилиндра, осью которого является центральная винтовая ось, то главные моменты относительно таких центров будут одинаковы по модулю и составляют одинаковый угол с образующими цилиндра. Эти главные моменты состоят из одного и того же момента , входящего в состав динамы, и моментов , перпендикулярных и по числовой величине пропорциональных расстоянию центра приведения от центральной винтовой оси.
Совокупность сил, образующих динаму, можно заменить двумя скрещивающимися силами. Для этого следует одну из сил пары совместить с точкой приложения силы и сложить с этой силой (рис. 58).
Р
Рис. 58
Из рассмотрения частных случаев приведения систем сил следует, что при приведении системы сил к равнодействующей силе эта сила равна и параллельна главному вектору . Но линия действия равнодействующей может не проходить через центр приведения, в котором приложен главный вектор. Если главный вектор не равен нулю, то равнодействующей может и не быть, если система приводится к динаме.