§7. Частные случаи равновесия твердого тела Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками
Т
Рис. 63
вердое
тело с двумя закрепленными точками А и
В имеет неподвижную ось вращения,
проходящую через эти точки. Пусть тело
находится в равновесии под действием
приложенных сил
.
Освободим тело от связей, приложив в
закрепленных точках А и В, рассматриваемых
как шаровые шарниры без трения, не
известные по модулю и направлению силы
реакций
и
.
Эти силы разложим на составляющие,
параллельные осям координат
,
,
и
,
,
,
и для освобожденного от связей тела
составим шесть условий равновесия сил.
Обозначив АВ через
(рис. 63), получим:
,
,
,
,
,
.
Пять первых уравнений содержат неизвестные реакции закрепленных точек, поэтому их называют уравнениями равновесия. В последнее (шестое) уравнение входят только заданные силы и не входят неизвестные силы реакций. Такие соотношения, которым должны удовлетворять при равновесии тела только одни заданные силы, называют условиями равновесия. Тело в рассматриваемом случае имеет одну степень свободы, оно может только вращаться вокруг оси Оz (ось АВ). Приложенные силы удовлетворяют тоже одному условию равновесия. Сумма моментов заданных сил относительно оси Oz обращается в ноль. В остальном приложенные силы могут быть любыми. Изменяя систему приложенных сил так, чтобы они удовлетворяли при этом условию равновесия, получим в соответствии с уравнениями равновесия каждый раз свои силы реакций.
Неизвестных реакций
шесть, а уравнений для их определения
только пять и, следовательно, только
пять неизвестных можно определить. Из
рассмотрения уравнений равновесия
убеждаемся, что нельзя по отдельности
определить
и
,
можно определить только их сумму
.
Задача нахождения сил реакций является
статически неопределимой. Для того
чтобы ее сделать статически определимой,
в одной из точек вместо шарового следует
установить цилиндрический шарнир. Если
цилиндрический шарнир поместить в точке
А, то
,
так как реакция цилиндрического шарнира
перпендикулярна его оси; в рассматриваемом
случае перпендикулярна оси Oz.
После этого неизвестных реакций останется
только пять. Столько же уравнений имеется
для их определения.
Твердое тело с одной закрепленной точкой
Тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы. Оно, например, может вращаться вокруг каждой из трех осей координат, проходящих через закрепленную точку. Если твердое тело с одной закрепленной точкой А, принимаемой за шарнир, освободить от этой связи, то для составляющих силы реакций связи , , и приложенных к телу сил можно составить следующие шесть условий (рис. 64):
,
,
,
,
,
.
В
Рис. 64
В рассмотренных двух случаях число условий равновесия, которым должны удовлетворять заданные силы при равновесии твердого тела, совпало с числом степеней свободы этого тела. Это справедливо и для свободного твердого тела, у которого шесть степеней свободы и соответственно шесть условий равновесия для сил. При изучении аналитической статики, которая излагается вместе с аналитической динамикой (в одной главе), увидим, что число степеней свободы не только для твердого тела, но и для механических систем совпадает с числом условий равновесия для заданных сил, если связи, наложенные на систему, удовлетворяют некоторым специальным условиям.