Равновесие тела на шероховатой поверхности

При равновесии сил, действующих на твердое тело, находящееся в равновесии на шероховатой поверхности, возникает дополнительно неизвестная сила реакции шероховатой поверхности – сила трения. В случае предельного равновесия сила трения достигает своего максимального значения и по формуле (58) выражается через нормальную реакцию. В общем случае равновесия сила трения находится между нулем и ее максимальным значением. Поэтому соответствующие условия равновесия, в которые входит сила трения после замены ее максимальным значением, становятся неравенствами. После этого неизвестные находят путем совместного решения уравнений и неравенств. Для всех неизвестных или для их части получают решения в виде неравенств.

Некоторые задачи на равновесие с учетом сил трения удобно решать геометрически с помощью конуса трения.

Можно сформулировать условия равновесия тела на ш ероховатой поверхности используя конус трения. Если активные силы, действующие на тело, приводятся к равнодействующей силе , то при равновесии тела на шероховатой поверхности равнодействующая активных сил по аксиоме о равновесии двух сил, приложенных к твердому т

Рис. 45

елу, уравновешивается полной реакцией шероховатой поверхности (рис. 45). Полная реакция проходит через вершину конуса, а следовательно, через вершину конуса проходит и равнодействующая активных сил.

Очевидно, при изменении равнодействующей активных сил тело находится в равновесии до тех пор, пока составляющая равнодействующей активных сил, лежащая в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей не будет превышать наибольшего значения силы трения .

Предельным положением равновесия тела является случай, когда сила равна силе . В этом случае равнодействующая активных сил направлена по образующей конуса трения, так как – составляющая равнодействующей активных сил по нормали – уравновешена нормальной реакцией , если только активные силы не отделяют тела от шероховатой поверхности. Поэтому условие равновесия тела на шероховатой поверхности можно сформулировать так: для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину (рис. 46).

Т ело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если ее линия действия проходит внутри конуса трения.

Е

Рис. 46.

сли линия действия равнодействующей активных сил не проходит внутри конуса трения или по его образующей, то тело на шероховатой поверхности не может находиться в равновесии.

§2. Трение качения

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, т.е. вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 47), кроме силы тяжести обычно состоят из силы , приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке А, и пары сил с моментом , стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если , а , то колесо называют ведомым; если , а , то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.

Е

Рис. 47

сли активные силы, действующие на колесо, привести к точке А соприкосновения катка с плоскостью, у которых нет деформации, то в общем случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения А катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т.е. точка А катка движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется по плоскости, не имея вращения.

С

Рис. 48

оприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии ВD. По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 48). Если привести распределенные силы к точке А, то в этой точке получим главный вектор этих распределенных сил с составляющими (нормальная реакция) и (сила трения скольжения), а также пару сил с моментом . При симметричном распределении сил по линии ВD относительно точки А момент пары сил равен нулю. В этом случае нет активных сил, стремящихся катить каток в каком-либо направлении.

П риведем активные силы в общем случае к точке А. В этой точке получим главный вектор этих сил и пару сил, момент которой равен главному моменту (рис. 49).

П

Рис. 49

ри равновесии катка, т.е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваюся силами реакций связи и, следовательно,

; .

Изменив активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции :

. (60)

Коэффициент пропорциональности называют, коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Из формулы (60) следует, что имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения ~0,5 мм.

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения в среднем сечении катка кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Коэффициент трения качения равен длине , которую вычислим следующим образом. Сложим нормальную реакцию с парой сил, препятствующей качению в момент, когда . Получим ту же силу , но сдвинутую параллельно самой себе на расстояние

.

В предельном случае равновесия катка . Эту величину следует отложить в направлении, в котором активные силы стремятся катить каток (рис. 50).

Д

Рис. 50

ля того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия:

. (61)

Для заданных активных сил соответственно

.

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

. (62)

Для активных сил оно имеет вид

.

Д ля примера рассмотрим случай ведомого колеса, к которому кроме силы тяжести приложена еще горизонтальная активная сила (рис. 51).

Е

Рис. 51

сли каток находится в равновесии, то из условий равновесия плоской системы сил, приложенных к катку, получаем

, , ,

где за моментную точку взята точка А.

В случае отсутствия скольжения по формуле (61) с учетом условий равновесия

.

Аналогично, при отсутствии качения по формуле (62) имеем

.

Т.о., при отсутствии скольжения сила должна удовлетворять условию , а при отсутствии качения эта же сила – удовлетворять другому условию:

.

Если , то, пока , каток находится в равновесии.

Если , то каток катится без скольжения (чистое качение). При кроме качения появляется еще и скольжение.

При каток находится в равновесии, пока . Если , он скользит не вращаясь (поступательное движение). При наряду со скольжением возникает качение.

В том случае, если , каток находится в равновесии, пока . Если же , то он катится со скольжением.

Обычно и, следовательно, для начала качения катка требуется значительно меньшая сила , чем для начала его скольжения. Поэтому по мере увеличения силы каток сначала начинает катиться, а при дальнейшем ее росте к качению добавляется еще и скольжение.

С точки зрения затраты энергии выгодно заменять скольжение качением. Этим объясняется преимущество шариковых и роликовых подшипников по сравнению с подшипниками скольжения, если даже в них трение и не уменьшается введением смазывающего вещества.

Аналогично трению качения можно рассмотреть и явление возникновения так называемого трения верчения, т.е. случая, когда активные силы стремятся вращать тело, например в форме шара, вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.

В этом случае возникает пара сил, препятствующая верчению, причем наибольший ее момент, возникающий в момент начала верчения, также прямо пропорционален нормальной реакции. Коэффициент пропорциональности, т.е. коэффициент трения верчения, обычно значительно меньше коэффициента трения качения.