Второй кризис математики
Следующий кризис случился по причине вычисления бесконечно малых величин, стремящихся к нулю, но никогда его не достигающих. (Последнее будет важно для наших дальнейших
рассуждений). Одни математики считали их не отличными от нуля и отбрасывали при вычислениях, другие же считали их числами, хоть и
очень маленькими. Эта неразрешенная проблема в свое время поставила под вопрос научность математики. Не существовало четкого определения предела. Предел строго не определяли, а просто содержательно описывали, основываясь на механических и геометрических примерах. Дифференциал изначально приравнивали к приращению функции, и это приводило к парадоксам. Отсутствовало общее понимание того, что мы называем функцией. Такое понятие как непрерывность функции мыслилось чисто
интуитивно. Математики того времени считали все функции непрерывными и не пытались их разделять таким образом. Выход был найден не скоро, только в начале XIX в. Огюстом Коши. Он обозначил бесконечно малые как величины, существующие в их исчезновении, представляя, по существу, бесконечно умаляющееся.
Третий кризис математики
Третий кризис, который продолжается и по сегодняшний день, связан, в основном, с теорией множеств. Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п. Аристотель, определил в своем
труде «Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность – неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность – реально существующую величину, не имеющую
конечной меры.
Теория соизмеримых отрезков
Если отрезки имеют общую меру, то они имеют бесконечное множество общих мер. Одна из них больше всех остальных и называется наибольшей общей мерой данных отрезков. Если меньший из двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных отрезков.
Пусть некоторый отрезок c содержится в отрезке a ровно 4 и в отрезке b ровно 3 раза: a=4c, b=3c. Отрезок c в таком случае называют общей мерой отрезков a и b. Ясно, что если взять любую долю отрезка c, то она также будет содержаться в каждом из данных отрезков a и b целое число раз. Например, если c_1=0,1c, то a=40c_1 , b = 30c_1; если c_2=0,01c, то a = 400c_2, b = 300c_2 и т. д.
Идеи интегрального исчисления в Древней Греции
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда:
1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного;
2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю;
3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа
Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
Геометрия Евклида. «Начала»
Евклидова геометрия — это геометрия, основанная на аксиомах, сформулированных в книге Евклида «Начала». Выводы древнегреческого математика считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет. Только в XIX веке было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах — труд Лобачевского положил начало перевороту в математике. В евклидову геометрию входят планиметрия — раздел геометрии, исследующий фигуры на плоскости, и стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
В «Началах» Евклида содержались следующие утверждения, принимаемые без доказательства:
Постулаты:
Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.
И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
И чтобы все прямые углы были равны между собой.
И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы:
Равные одному и тому же равны между собой.
И если к равным прибавим равные, то получим равные.
И если от равных отнимем равные, то получим равные.
И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
И если удвоим равные, то получим равные.
И половины равных равны между собой.
И совмещающие равны.
И целое больше части.
И две прямые не могут заключить пространства.
Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).
В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII–IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.
Три задачи древности
Задача о квадратуре круга.
Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу.
2. Задача о трисекции угла.
Требуется произвольный угол разделить на три равные части.
3. Задача об удвоении куба.
Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.
Формулы нахождения корней уравнений 3 и 4 степени. Тарталья
Вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)
a0x3 + a1x2 + a2x + a3= 0, (1)
где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа, Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.
На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.
На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
