18. Истории возникновения интегрального и дифференциального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии;

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Основной предпосылкой для создания дифференциального исчисления явилось введение в математику переменных величин (Декарт). В общих чертах построение дифференциального и интегрального исчислений было завершено в трудах Ньютона и Лейбница к концу 17 в., однако вопросы обоснования с помощью понятия предела были разработаны Коши лишь в начале 19 в.

Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на таких важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.

19. Актуальные и потенциальные бесконечно малые

Наиболее смело и систематично с проблемой бесконечности работал Аристотель, определив в своем труде «Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность — неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность — реально существующую величину, не имеющую конечной меры. Математики долго спорили об этих определениях, пока Кантор не доказал математически существование бесконечного числа актуальных бесконечностей с помощью инструмента, который создал сам — теории множеств.

20. Методы приближенных вычислений

Чингаузер в 17 в нашел универсальную, как ему казалось, формулу для решения уравнений, но она работала только для уравнений 3 степени. Эйлер обобщил эту формулу для уравнений 4 степени. Лопиталь, Бернулли, Ньютон, Крамер занимались поиском универсальной формулы, но это их привело к нахождению методов приближенных вычислений корней n степени

Роль доказал, что между 2 соседними точками экстремума существует не более одного корня. Экстремумы можно найти, приравняв производную f(x) к нулю, получим уравнение меньшей степени, а это значит, что решить его легче.

Уравнение степени n должно иметь не более n корней

21. Формирование алгебры

9-11 век – Мухаммед бен Мусса аль-Хорезми дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями. Ввел современное название алгебры

«Краткая книга об исчислении аль-джебр и аль-мукабара».

Перенесение членов – уравновешение

(x²+ax=b x²+b=ax)

x²+10x=39

22. Уравнения степеней выше 5

Для решения уравнений степени большей и равной 5, не существует общего решения

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:

• При степени n многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена является группа перестановок S_n

• При n>=5 группа перестановок S_n не является разрешимой.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение n-й степени при n>=5, не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например, метод Ньютона.

23. Теорема Кантора

Любое множество A менее мощно, чем множество всех его подмножеств 2^A

24. Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.