Элементы математической физики

Различие в постановке первой внутренней и внешней первой краевой задачи для двух и трех независимых переменных можно пояснить, сопоставив два физических примера.

Пример 6.1. Если дан шар радиусом R, на поверхности которого поддерживается постоянная температура u0, и требуется определить стационарное распределение температуры во внешнем про-

задачи, которое обращается в нуль на бесконечности, то есть при

r→ при u0 ≠ 0.

Пример 6.2. Рассмотрим теперь двумерную задачу. Общее решение уравнения Лапласа на плоскости U(ρ) = C1 ln ρ + C2 ограничено, только если C1 = 0. Поэтому, если на окружности радиусом R задано постоянное граничное значение u0 ≠ 0, то u = u0 – это единственное ограниченное решение этой задачи и никакого другого решения, которое обращалось бы в нуль на бесконечности, не существует.

Совершенно иначе обстоит дело с решением второй краевой задачи (задачи Неймана). Решение второй внутренней краевой задачи определяется с точностью до произвольной постоянной, то есть решений бесконечно много, все они записываются в виде u(M) = const. При этом вторая внешняя краевая задача имеет единственное решение, регулярное на бесконечности.

6.6. Решение задачи Дирихле для круга

Для некоторых простых областей (круг, прямоугольник, шар и цилиндр) решение краевых задач для уравнений эллиптического типа может быть найдено методом Фурье разделения переменных. Но решение соответствующих задач Штурма–Лиувилля представляет определенную сложность, так как в большинстве случаев приводит к так называемым специальным функциям (см. [5]).

Однако и внешняя и внутренняя задачи Дирихле для круговой области на плоскости могут быть решены с использованием только тригонометрических функций.

91

elib.pstu.ru

Запишем постановку внутренней задачи Дирихле для круга и приведем ее решение в форме интеграла Пуассона. Решение естественно искать в цилиндрической системе координат (ρ, φ).

Постановка задачи Дирихле для круга

Требуется найти функцию u = u(ρ, φ), удовлетворяющую уравнению Лапласа

u = 0 при ρ < R,

то есть внутри круга радиусом R, и граничному условию u = f при ρ = R,

то есть на границе этого круга. Здесь f = f (φ) – заданная функция. Если функция f(φ) является непрерывной, то внутри круга ра-

диусом R решение задачи Дирихле выражается с помощью интеграла Пуассона:

Решение внешней задачи Дирихле для круга через интеграл Пуассона записывается так:

J ( , ), R, u(ρ, φ) =

f ( ), R.

В заключение отметим, что уравнение Лапласа, как и уравнение Пуассона, используется при исследовании и моделировании:

–неоднородностей земной коры методами электроразведки;

–надежности технических объектов методами магнитной дефектоскопии;

–процессов теплоотдачи зданиями и сооружениями;

92

elib.pstu.ru

–гидродинамических процессов, в том числе процессов фильтрации жидкостей;

–процессов сердечной деятельности на основе электрокардиографии,

а также при исследовании многих других стационарных процессов природного и техногенного характера.

Нарушение стационарности часто свидетельствует о накоплении неоднородностей, об изменении скоростей протекания процессов, о наличии других признаков, являющихся предвестниками аварий и катастроф. Решения стационарных задач ложатся в основу принципиальных схем мониторинга потенциально опасных промышленных объектов с целью разработки методов предотвращения чрезвычайных происшествий и минимизации их последствий.

Контрольные вопросы

1.Приведитепримеры задач, приводящих куравнению Лапласа.

2.Выпишите постановки первой, второй и третьей краевой задач для уравнения Лапласа. Как еще называется первая (вторая) краевая задача для уравнения Лапласа?

3.Выпишите уравнения Лапласа в сферических и цилиндрических координатах.

4.Какие функции называются гармоническими? Укажите их важнейшие свойства, сформулируйте принцип максимального значения.

5.Выпишите условия, гарантирующие единственность и устойчивость решений первой и второй краевой задачи для уравнения Лапласа.

6.Чем отличаются требования, гарантирующие единственность и устойчивость внешней и внутренней задач Дирихле?

7.В чем состоит принципиальное отличие решений задач Дирихле на плоскости и в пространстве?

8.Приведите примеры гармонических функций, поясните их свойства на примерах.

9.Как ставится задача Дирихле для круга?

10.Выпишите решение внутренней (внешней) задачи Дирихле для круга в форме интеграла Пуассона.

93

elib.pstu.ru

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для первого ознакомления с основными понятиями и постановками простейших начальных и начально-краевых задач для уравнений математической физики. Но даже достаточно простые задачи математической физики часто опираются в своем решении на так называемые специальные функции, такие как полиномы Лежандра, функции Бесселя, сферические и цилиндрические функции и т.п. Примеры задач такого рода приведены вучебнике Н.С. Кошлякова, Э.Б. Глиннера, М.М. Смирнова[6].

С физической точки зрения особый интерес вызывают задачи со свободными границами, например, описывающие процессы роста кристаллов (прил. 4, рис. П1, П2) или поведение полимерных расплавов на выходе из каналов фильер при производстве синтетических волокон и пленок. В учебнике Л.К. Мартинсона и Ю.И. Малова [2] приведено множество нелинейных моделей волновых процессов, а также моделей диффузионных процессов переноса. Отдельный класс составляют задачи, включающие описание фазовых переходов внутри реагирующих жидкостей, а также задачи, связанные с описанием взрывных процессов, которыми занимается теория горения и взрыва.

Подавляющее число задач безопасности человека в техносфере описывается системами нелинейных уравнений в частных производных, моделирующих химические и физические процессы с фазовыми переходами, со сложными непрерывными и разрывными краевыми условиями на фиксированных и подвижных границах

(прил. 5, рис. П1, П2).

Математические модели реальных процессов обычно требуют постановки и решения двух- и трехмерных задач, состоящих из систем уравнений, описывающих движение, состояние и взаимодействие различных сред со сложными начально-краевыми условиями. Такого рода задачи только в исключительных случаях допускают аналитические решения и, как правило, базируются на использова-

94

elib.pstu.ru

нии численных методов и итерационных процессов. Познакомиться

склассическим методом прогонки, с различными явными и неявными разностными схемами решения таких систем можно, например, с помощью учебника С.К. Годунова [4].

Проблемы безопасности человека в техносфере тесно связаны

сзадачами надежности технических объектов. Задачи моделирования процессов на сложных поверхностях, например расчеты лопаток двигателей летательных аппаратов, расчеты оболочек при строительстве инженерных объектов инфраструктуры и многие другие задачи теории надежности, опираются на так называемые методы конечных элементов, которые также относятся к численным методам и требуют использования вычислительной техники. Отдельные методы опираются на использование стандартных вычислительных программ, и с ними можно ознакомиться с помощью специальной литературы по численным методам. Более сложные задачи требуют разработки новых подходов и составляют научные проблемы, которые еще только предстоит решать. В последние десятилетия импульс развития получили методы решения так называемых обратных задач математической физики, которые относятся к классу некорректных задач. Это, например, задачи медицинской диагностики (прил. 3, рис. П1) и моделирования искусственных органов человека на основе моделей биомеханики.

Для оценки точности решений, полученных численными методами, часто используют так называемые тестовые задачи. Тестовая задача, как правило, это задача, допускающая аналитическое решение и в частных вариантах допускающая сравнение с решением, полученным численными методами. Поэтому изучение простейших задач математической физики составляет основу решения самых сложных задач. А отыскание классов так называемых автомодельных задач, допускающих разделение переменных и получение решения в аналитической форме, даже если это решение представляется в виде ряда по системе специальных функций, имеет несомненную ценность с практической точки зрения.

95

elib.pstu.ru

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 798 с.

2.Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: учебник для втузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2006. – 368 с.

3.Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с.

4.Годунов С.К. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1971. – 416 с.

5.Дубовский П.Б., Дискин Б.Е., Склобовский Н.К. Высшая математика. Уравнения математической физики: учеб. пособие / Ин-т атомной энергии (ИАТЭ). – Обнинск, 1993. – 74 с.

6.Кошляков Н.С., Глиннер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики: учеб.пособие / Ин-т атомной энергии (ИАТЭ). – Обнинск, 1993. – 74 с.

7.Рогов А.А., Семенова Е.Е., Чернецкий В.И. Уравнения математической физики: сб. примеров и упражнений для студентов. – Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2001. – 219 с.

8.Первадчук В.П., Кадырова Е.М., Соколов В.Ю. Уравнения математической физики: методы решения задач: учеб. пособие / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2001. – 144 с.

96

elib.pstu.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Уравнения с начальными и краевыми условиями

Рис. П1. Процесс передачи электрических колебаний по проводам описывается системой «телеграфных» уравнений.

Процесс механических колебаний провода под действием ветровой нагрузки описывается уравнением колебаний струны, закрепленной на концах

97

elib.pstu.ru