Элементы математической физики

где u(x) = [u(t2,x)−u(t1,x)] – изменение температуры в произвольной точке x участка (x1,x2) за промежуток времени (t1,t2).

Величина Q3 – это количество тепла, которое выделяется внутри стержня за счет тепловых источников. В момент времени t величина Q3 определяется плотностью F(t,x) тепловых источников в точке x.

Тепло может выделяться внутри стержня при прохождении электрического тока вследствие химических реакций и других причин. К примеру, если тепло выделяется в результате прохождения электрического тока силой I по стержню, сопротивление которого на единицу длины стержня равно R, то функция источника F = I 2R.

В общем случае за промежуток времени (t1,t2) на участке (x1,x2) стержня выделится количество тепла Q3,

На основании закона сохранения энергии уравнение баланса тепла за промежуток времени (t1,t2) на участке (x1,x2) стержня можно записать в следующей форме:

Q + Q3 = Q2.

Отсюда, пользуясь формулами (5.3), (5.4) и (5.5) для произвольных участков (x1,x2) стержня и промежутков времени (t1,t2), получим уравнение теплопроводности в интегральной форме:

Выполнив серию математических преобразований и переход к пределу при t1,t2→t и x1,x2→x, последнее уравнение можно представить в дифференциальной форме:

61

elib.pstu.ru

Уравнение (5.6) называют уравнением теплопроводности. Сделаем несколько замечаний.

Уравнение теплопроводности для однородного стержня, то есть при постоянных k, c и , можно представить в виде

ut = a2 u xx + f(t,x),

где a2= k , f(t,x)= F (t,x) . Величина a2 называется коэффициентом c c

температуропроводности. Однородное уравнение

ut = a2 u xx

описывает процесс распространения тепла в случае отсутствия источников тепла внутри стержня, то есть при f(t,x) = 0.

Если однородный стержень не теплоизолирован с боков, то для описания теплопереноса в стержне дополнительно требуется знать:

–температуру θ(t,x) окружающей среды;

–коэффициент h теплообмена стержня с окружающей средой;

–функцию плотности F1(t,x) внешних источников тепла, заданную на боковой поверхности стержня.

Тогда уравнение теплопроводности с боковым теплообменом можно записать в следующем виде:

5.1.2. Вывод уравнения диффузии

Концентрация u газа (раствора), равномерно заполняющего некоторый объем V, – это отношение его количества (массы) Q к объ-

62

elib.pstu.ru

ему V, то есть u = VQ . Отсюда Q = uV. Если же некоторая среда за-

полнена газом (раствором) неравномерно, то имеет место его диффузия из мест с более высокой концентрацией в места с меньшей концентрацией.

Рассмотрим процесс диффузии газа в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой. Пористость характеризуется коэффициентом пористости k, определяемым как отношение объема пор к полному объему, занимаемому пористой средой.

Расположим трубку на отрезке [0,l] оси x. Предположим, что трубка достаточно тонкая и в каждый момент времени t концентрация по сечению x трубки одинакова. Тогда процесс диффузии может быть описан функцией u(t,x), представляющей концентрацию в момент времени t в сечении x, где t > 0, 0 < x < l. Площадь сечения x обозначим S. Коэффициент пористости в общем случае меняется по длине трубки, то есть k = k(x).

За промежуток времени (t1, t2) концентрация газа в сечении x изменится на величину [u(t2,x) − u(t1,x)]. Непрерывное изменение концентрации газа на участке (x1,x2) вызывает изменение Q его количества, которое с учетом коэффициента k(x) пористости среды можно вычислить следующим образом:

Таким образом, Q – это количество газа, которое протекло за промежуток времени (t1,t2) через участок (x1,x2) трубки.

С другой стороны, это же количество газа можно вычислить на основании закона Нернста, зная плотность W(t,x) диффузионного потока.

Плотность W стационарного диффузионного потока определяется как масса газа, протекающая через единицу площади за единицу времени. Для нестационарного потока плотность W = W(t,x) оп-

63

elib.pstu.ru

ределяется через коэффициент диффузии D(x) по следующей формуле:

W(t,x) = −D(x) u(t, x) .

x

Тогда в согласии с законом Нернста масса dQ газа, протекающая через сечение x за промежуток времени (t, t+dt), вычисляется следующим образом:

dQ = W(t,x)S dt.

Изменение Q количества газа за конечный промежуток времени (t1,t2) на участке (x1,x2) может быть вычислено через интеграл по переменной t следующим образом:

Баланс массы газа за промежуток времени (t1,t2) на участке (x1, x2) с учетом равенств (5.8) и (5.9) приводит к уравнению диффузии в интегральной форме:

x2

k(x) [u(t2,x)− u(t1,x)] S dx =

x1

Дальнейшие традиционные преобразования и переход к пределу при t1,t2→t и x1,x2→x приводят к уравнению диффузии в дифференциальной форме:

Уравнение (5.10) описывает процесс диффузии газа (раствора) в пористой среде с коэффициентом пористости k в отсутствие ис-

64

elib.pstu.ru

точников внутри полой трубки и при условии, что диффузии вещества через стенки этой трубки не происходит.

В частном случае, если коэффициент диффузии D = const, уравнение (5.10) можно записать в следующем виде:

ut = a2 u xx , a2 = Dk .

5.1.3. Распространение тепла в пространстве

Процесс распространения тепла в пространстве можно описать с помощью температуры как функции времени t и трех пространственных переменных x, y, z: u = u(t, x, y, z). Процесс теплообмена в теле с непостоянной температурой возникает за счет тепловых потоков, направленных от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой, и зависит от трех параметров: коэффициента k теплопроводности тела, его плотности ρ и коэффициента теплоемкости c, в общем случае зависящих от пространственных переменных x, y, z.

При наличии источников тепла внутри тела уравнение теплопроводности можно записать в виде

где F(t, x, y, z) – функция плотности тепловых источников.

Если среда, в которой распространяется тепло, является однородной, то есть при постоянных k , c и ρ, последнее уравнение принимает вид

мощью оператора Лапласа это уравнение обычно записывают в виде

65

elib.pstu.ru

Все полученные в гл. 5 уравнения в частных производных, как нетрудно проверить, относятся к параболическому типу. Как обычно, для выделения единственного решения каждое из полученных уравнений необходимо дополнить дополнительными условиями.

5.2. Начальные и краевые условия для уравнения теплопроводности

В уравнениях параболического типа старшая производная по времени t – это производная первого порядка. Поэтому начальное условие для него состоит в задании единственного условия: значения искомой функции в начальный момент времени t0 (можно считать, что t0 = 0).

Важнейшие типы граничных условий опишем на примере уравнения теплопроводности стержня.

Граничные условия различны в зависимости от температурного режима на границах x = 0 и x = l стержня. Краевые условия, формулировка которых опирается на физические законы в линейной форме, принято разделять на три основных типа (рода).

1. Граничные условия первого рода задают значения температуры на конце стержня:

u(t, 0) = μ1(t), 0 ≤ t ≤ T.

Здесь μ1(t) – это функция, определяющая значения температуры на конце x = 0 стержня на промежутке 0 ≤ t ≤ T наблюдения за процессом.

2. Граничные условия второго рода

ux (t, 0) = ν1(t), ν1(t) = + Q(t,0) 0 ≤ t ≤ T k

66

elib.pstu.ru

определяют значение первой производной ux искомой функции в точке x = 0 через заданное значение теплового потока Q(t,0), протекающего через торцевое сечение x = 0 стержня. Знак (+) в формуле для ν1(t) свидетельствует о том, что в данном случае направление теплового потока совпадает с направлением возрастания координаты x (от x = 0 вправо вдоль стержня). Здесь k – коэффициент теплопроводности стержня.

3. Граничные условия третьего рода

ux (t, 0) = + λ [u (t, 0)] − θ1(t)], 0 ≤ t ≤ T

имеют вид линейной зависимости между значениями искомой функции u и ее производной ux и в соответствии с законом Ньютона описывают условия теплового обмена на конце x = 0 стержня. Здесь θ1(t) – известная температура окружающей среды; λ – коэффициент теплообмена.

Аналогичным образом задаются граничные условия первого, второго и третьего рода на втором конце x = l стержня. При задании граничных условий второго и третьего рода на втором конце стержня, то есть при x = l, необходимо учесть, что тепловой поток рассматривается в направлении, противоположном направлению оси x, что приводит к изменению знака величин тепловых потоков с плюса (+) на минус (−) в соответствующих формулах.

Рассмотренные выше примеры – это примеры линейных краевых условий. Комбинация таких условий на концах x = 0 и x = l стержня приводит к смешанным линейным краевым задачам. Более сложный вид имеют разнообразные нелинейные краевые условия.

Приведем постановки простейших краевых задач для уравнения теплопроводности.

5.3. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности

К классическим краевым задачам для уравнения теплопроводности относится так называемая первая краевая задача.

67

elib.pstu.ru

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности стержня

Требуется найти функцию u(t,x), определенную и непрерывную в области 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяющую уравнению

внутри этой области, то есть при 0 < t < T, 0 < x < l, а также начальному

Здесь f(t, x), φ(x), μ1(t) и μ2 (t) – заданные непрерывные функции, причем для непрерывности функции u(t,x) в замкнутом прямоугольнике [0,l], 0 ≤ t ≤ T требуется, чтобы для функций φ(x), μ1(t) и μ2 (t) выполнялись условия

φ(0) = μ1(0), φ(l) = μ2(0),

из которых следует, что в угловых точках прямоугольника будут выполняться условия сопряжения значений искомой функции u(t,x),

то есть равенства u(0,0) = φ(0) = μ1(0) и u(0,0) = φ(l) = μ2(0).

Первая краевая задача для уравнения (5.12) называется однородной, если уравнение (5.12), а также краевые условия (5.14) одно-

родны, то есть при f(t, x) ≡ 0, μ1(t) ≡ 0 и μ2(t) ≡ 0.

Аналогично ставятся и другие краевые задачи, в том числе начальные задачи для бесконечных стержней и задачи без начальных условий.

Задача о распределении температуры на бесконечной прямой

Требуется найти непрерывную функцию u(t,x), определенную в области 0 ≤ t ≤T, − ∞ < x < +∞, удовлетворяющую уравнению

68

elib.pstu.ru

внутри этой области, то есть при 0 < t < T, −∞ < x < +∞, а также начальному условию (5.13)

u (0, x) = φ(x), (−∞< x <+∞),

где φ(x) – это заданная функция.

Начальная задача (5.15), (5.13) возникает при описании процесса теплопроводности в очень длинном стержне, когда влияние температурного режима, заданного на границах стержня, на его центральной части практически незаметно, а распределение тепла определяется в основном начальными условиями.

Первая краевая задача для полубесконечного стержня

В задаче на полубесконечной прямой влияние на процесс, кроме начального распределения температуры, оказывает тепловой режим лишь на одной из границ стержня.

Требуется найти непрерывную функцию u(t,x), определенную в области t ≥ 0, 0 ≤ x < +∞, удовлетворяющую уравнению (5.15)

ut = a2 uxx

внутри этой области, то есть при t > 0, 0 < x < + , а также началь-

ному (5.13)

u (0, x) = φ(x), (0 ≤ x < + )

и граничному условиям (5.14)

u (t, 0) = μ1(t), (t ≥ 0).

Здесь φ(x) и μ1(t) – заданные непрерывные функции, удовлетворяющие условию сопряжения в угловой точке (0,0) области:

u(0,0) = φ(0) = μ1(0).

Такая задача возникает в том случае, если интересующий исследователя участок стержня находится вблизи от одного из концов

69

elib.pstu.ru

стержня, но достаточно далеко от другого и его влиянием можно пренебречь.

Краевая задача без начальных условий

Требуется найти функцию u(t, x), определенную в области − < t, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяющую уравнению (5.15)

ut = a2 uxx

внутри этой области, то есть при − < t, 0 < x < l, а также граничным условиям (5.14)

u (t, 0) = μ1(t), u (t, l) = μ2 (t), (0 ≤ t ≤ T),

где μ1(t) и μ2 (t) – заданные функции.

Такая задача возникает в том случае, если с течением времени влияние начального распределения температуры по стержню постепенно ослабевает и к моменту наблюдения за процессом им можно пренебречь. Тогда математически процесс распределения температуры внутри стержня определяется граничными условиями и его можно описать с помощью граничнойзадачи без начальных условий.

5.4. Принцип максимума и теоремы единственности

Каждая из поставленных выше задач должна описывать физически определенный процесс, и, следовательно, малым изменениям начальных и граничных условий должно соответствовать малое изменение решения. Это означает, что математическая постановка каждой из задач должна удовлетворять условиям корректности, то есть решение должно:

–существовать;

–быть единственным;

–непрерывно зависеть от дополнительных условий.

Условия, гарантирующие корректность постановки каждой из указанных выше задач, базируются на так называемом принципе максимального значения. Приведем его формулировку для случая

70

elib.pstu.ru