Элементы математической физики

Отметим, что при этом на функцию f(t, x) необходимо наложить дополнительные условия, чтобы гарантировать существование несобственного интеграла (5.41) [1].

Решение общей начальной задачи, то есть задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности (5.12) с ненулевым начальным условием (5.13), очевидно, можно получить как сумму решения (5.41) неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием с решением (5.40) однородного уравнения с ненулевым начальным условием.

Итак, решение u(t, x) общей начальной задачи (5.12), (5.13) о распространении тепла на бесконечной прямой

ut = a2 uxx + f (t, x), (t > 0, − < x < ),

u (0, x) = φ(x), − < x <

с помощью функции Грина (5.30) можно представить в следующей форме:

Контрольные вопросы

1.Как ставится задача о распространении тепла в стержне?

2.Запишите уравнение теплопроводности для стержня. К какому типу относится это уравнение?

3.Как ставится одномерная задача газовой диффузии?

4.Запишите уравнение распространения тепла в трехмерном пространстве.

81

elib.pstu.ru

5.Приведите примеры краевых условий для одномерного уравнения теплопроводности.

6.Чем различаются краевые условия первого, второго и третьего рода для уравнения теплопроводности?

7.Выпишите постановку первой краевой задачи для уравнения теплопроводности стержня.

8.Запишите постановку начальной задачи для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Какие физические процессы описывает эта краевая задача?

9.Чем отличается начальная задача для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой?

10.Какие физические процессы представляет краевая задача без начальных условий?

11.Сформулируйте принцип максимума для уравнения теплопроводности. Какой физический смысл имеет этот принцип?

12.Выпишите формулировку теоремы единственности решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

13.Выпишите формулировку теоремы единственности для начальной задачи распространения тепла на бесконечной прямой.

14.Опишите алгоритм решения однородной первой краевой задачи с помощью метода Фурье. В каком виде получаем решение этой задачи?

15.Что такое фундаментальное решение уравнения теплопроводности?

16.Запишите формулу для вычисления функции Грина. Почему эту функцию называют функцией мгновенного источника?

17.Выпишите вид решения первой краевой задачи с нулевыми начальными и краевыми условиями для неоднородного уравнения теплопроводности.

18.Выпишите вид решения неоднородного уравнения теплопроводности стержня с однородными краевыми и ненулевым начальным условиями.

19.Опишите алгоритм и выпишите окончательную формулу решения общей первой краевой задачи для уравнения теплопроводности стержня.

20.Запишите формулу для нахождения решения задачи о распространении тепла на бесконечной прямой.

82

elib.pstu.ru

6. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа связаны с исследованием стационарных процессов различной природы. Эти уравнения описывают установившиеся колебательные процессы, а также процессы распространения тепла, диффузии газов и растворов в тех случаях, если начальные условия перестают оказывать на них заметное действие. Такие процессы достаточно часто описываются с помощью уравнения Лапласа u = 0.

6.1. Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона

Приведем примеры стационарных процессов, математическое описание которых приводит к уравнениям Лапласа и Пуассона.

Задача о стационарном распределении тепла в пространстве

Процесс распространения тепла в пространстве при наличии источников тепла описывается трехмерным неоднородным уравнением теплопроводности

фициент температуропроводности, а f1 = cF , где F – плотность теп-

83

elib.pstu.ru

В стационарном случае производная по времени равна нулю: ut ≡ 0, и уравнение (обычно называемое уравнением Пуассона) принимает вид

В отсутствие источников тепла это уравнение превращается в уравнение Лапласа u = 0.

Задача о потенциальном течении жидкости

Пусть внутри некоторого тела T, ограниченного поверхностью S, со скоростью v = (vx, vy, vz) течет несжимаемая (с постоянной плотностью ρ) жидкость, причем предполагается, что источники жидкости внутри тела отсутствуют. Течение считаем стационарным и безвихревым. Вектор скорости стационарного течения не зависит от времени t, то есть v = v(x, y, z).

Если течение не вихревое, то вектор скорости v выражается через вектор градиента некоторой скалярной функции φ = φ(x, y, z) (называемой потенциалом или потенциальной функцией) в следующей форме:

Отсутствие источников означает, что

div v ≡ vxx + vxy + vxz = 0.

Подставляя в последнее выражение координаты скорости, получаем равенство

2 2 2

div grad φ ≡ x2 + y2 + z2 ≡ Δφ = 0,

то есть потенциал скорости стационарного безвихревого потока жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа.

84

elib.pstu.ru

Задача о стационарном течении электрического тока

Пусть через однородную проводящую среду, находящуюся внутри некоторого тела T, ограниченного поверхностью S, протекает стационарный электрический ток с объемной плотностью I = I(x, y, z). Если в среде нет объемных источников тока, то

Электрическое поле E через проводимость λ и плотность I тока определяется по закону Ома следующим образом:

λ E= I.

Стационарное электрическое поле является потенциальным, то есть существует такая скалярная функция φ= φ(x, y, z), что E = −grad φ. Для потенциального поля

Подставляя последнее выражение в равенство (6.2), получаем, что потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа

Задача электростатики

В заключение приведем одну из задач электростатики, решение которой сводится к решению уравнения Пуассона. Основная задача электростатики – отыскание поля, создаваемого системой зарядов на заданных проводниках.

Система уравнений электромагнитного поля – это система уравнений Максвелла. Уравнение Максвелла относительно напряженности E электростатического поля имеет вид

div E = − 4πρ,

85

elib.pstu.ru

и отыскание вектора E сводится к отысканию скалярной функции – потенциала φ, который связан с E уравнением

E = −grad φ.

Отсюда следует, что решение задачи электростатики в тех точках пространства, где находятся заряды, сводится к решению уравнения Пуассона

div grad φ ≡Δφ = −4 π ρ

относительно потенциальной функции φ. В тех точках пространства, где заряды отсутствуют, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа.

Математически постановка основной задачи электростатики приводит к первой краевой задаче для уравнения Лапласа и записывается в следующей форме.

Требуется найти функцию φ, которая

1)удовлетворяет уравнению Лапласа Δφ = 0 во всех точках пространства вне системы проводников;

2)обращается в нуль на бесконечности;

3)принимает заданные значения φi на поверхностях проводни-

ков Si (i = 1,2,…,k).

Следствием решения этой задачи является то, что потенциал φ

уединенного проводника с зарядом e удовлетворяет равенству e = Cφ. Коэффициент пропорциональности C называется емкостью уединенного проводника, определяется формой и размерами проводника, но не зависит от величины заряда.

6.2. Постановки краевых задач для уравнения Лапласа

Постановки краевых задач приведем на примере задачи о стационарном распределении тепла в некотором трехмерном теле T, ограниченном поверхностью S.

Требуется найти функцию u(x, y, z), определенную и непрерывную в замкнутой области T+S, удовлетворяющую во внутренних

86

elib.pstu.ru

точках M(x, y, z) области T уравнению Пуассона (6.1) и одному из следующих граничных условий:

внешней нормали к поверхности S; un – производная по направле-

нию вектора n .

Задача (6.1), (6.3) называется первой краевой задачей (задачей Дирихле), задача (6.1), (6.4) – второй краевой задачей (задачей Неймана), а (6.1), (6.5) – третьей краевой задачей. Если решение ищется внутри (вне) области T, то соответствующая задача называется внутренней (внешней) краевой задачей.

6.3.Уравнение Лапласа

вкриволинейных координатах

Если процесс изучается в сферической или цилиндрической области, его удобно описывать в сферической или цилиндрической системе координат соответственно.

Оператор Лапласа в сферических координатах

Переход от декартовых к сферическим координатам осуществляется по известным формулам:

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ,

где r = OM – это сферический радиус точки M(x, y, z); φ – полярный угол проекции точки M на плоскость xOy, а θ – угол между радиу- сом-вектором точки M и положительным направлением оси Oz.

87

elib.pstu.ru

В сферических координатах (r, φ, θ) уравнение Лапласа u = 0 запишется в следующем виде:

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах

Переход от декартовых к цилиндрическим координатам осуществляется по известным формулам:

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z,

где ρ и φ – соответственно полярный радиус и полярный угол проекции точки M(x, y, z) на плоскость xOy.

В цилиндрических координатах (ρ, φ, z) уравнение Лапласа u = 0 запишется в следующем виде:

6.4. Гармонические функции и их свойства

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями. Особый интерес представляют гармонические функции, обладающие сферической и цилиндрической симметрией, то есть зависящие только от одной переменной r или ρ.

В частности, гармоническая функция u = U(r), обладающая сферической симметрией, – это решение уравнения Лапласа в сферических координатах, в рассматриваемом случае (6.6) принимающее следующий вид:

88

elib.pstu.ru

Интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение, получаем его общее решение:

то есть гармоническая функция u = U(ρ), обладающая цилиндрической (или круговой – в случае двух независимых переменных) симметрией.

Общее решение этого уравнения имеет вид

U(ρ) = C1 ln ρ + C2.

При C1 = −1 и C2 = 0 получаем частное решение

U0(ρ) = ln 1 ,

часто называемое, в случае двух независимых переменных, фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

В декартовых координатах для поиска гармонических функций используют их связь с так называемыми аналитическими функциями комплексной переменной. Справедливо следующее утверждение: действительная и мнимая части аналитической функции являются решениями уравнения Лапласа, то есть гармоническими функциями.

Среди свойств гармонических функций отметим следующие: 1. Внутри области гармоничности всякая гармоническая функ-

ция дифференцируема бесчисленное множество раз.

89

elib.pstu.ru

2.Любая гармоническая функция разлагается в степенной ряд

вокрестности любой точки из области гармоничности.

3.Принцип максимального значения. Если некоторая функ-

ция u = u(M), определенная и непрерывная в замкнутой области T, является гармонической внутри этой области, то свои максимальные и минимальные значения эта функция принимает на поверхности S этой области.

6.5. Единственность и устойчивость решений первой и второй краевых задач

С помощью принципа максимального значения можно доказать, что так как решение внутренней первой краевой задачи для уравнения Лапласа является гармонической функцией, то оно является единственным и непрерывно зависит от граничных данных.

Но внешняя первая краевая задача для уравнения Лапласа в трехмерном пространстве имеет единственное решение, только если функция u = u(M) удовлетворяет дополнительному условию (а) на бесконечности:

(а) требуется, чтобы при удалении точки в бесконечность, то есть при M→ , функция u(M) равномерно стремилась к нулю: u(M) →0.

При выполнении этого дополнительного условия решение внешней первой краевой задачи в трехмерном пространстве единственно и также непрерывно зависит от граничных условий.

В случае постановки первой краевой задачи для уравнения Лапласа на плоскости условие (а) заменяется более слабым условием (б) ограниченности искомой функции на бесконечности;

(б) требуется, чтобы функция u(M) была ограничена на бесконечности, то есть требуется, чтобы существовало такое число N, что

│u(M)│< N.

Итак, при определенных условиях решение задачи Дирихле существует единственно и непрерывно зависит от граничных условий.

90

elib.pstu.ru