Элементы математической физики

чить тождественное равенство. Дифференцируя функцию (2.4) по переменной x, для произвольной функции c1(y) получим, что ux = c1(y)ex ≡ u(x,y), то есть уравнение (2.4) действительно обратилось в тождество. Решение примера закончено.

Приведенный пример иллюстрирует тот факт, что в общем случае решение уравнения в частных производных может содержать произвольные функции, для нахождения которых необходимо задавать дополнительные условия. Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, это могут быть начальные и краевые условия. Для дифференциального уравнения в частных производных относительно неизвестной функции двух переменных задавать эти условия придется на границах некоторых двумерных областей.

Для нахождения множителя c1(y) дополнительное условие можно задать, например, на прямой x = 0, расположенной на плоскости (x, y). Если это условие задать в виде равенства

то частное решение уравнения (2.3), удовлетворяющее условию (2.5) – это функция u(x, y) = excos y. Если переменную x интерпретироватькак время, тоусловие (2.5) рассматриваетсякак условиеКоши.

2.2. Примеры решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Вобщем виде дифференциальное уравнение второго порядка

счастными производными относительно неизвестной функции двух переменных u(x, y) может быть записано в следующей форме:

Здесь F – это заданная функция восьми переменных; x и y – независимые переменные; u(x,y) – искомая функция этих переменных,

elib.pstu.ru

рого порядка. Если функция F линейна, то уравнение (2.1) называется линейным.

В качестве иллюстрации особенностей, которые возникают при решении уравнений в частных производных второго порядка, приведем несколько простых примеров.

Пример 2.2. Найти общее решение u(x,y) дифференциального уравнения второго порядка в частных производных

uxy = 0.

Пример 2.3. Найти общее решение уравнения uxy = x + y.

Пример 2.4. Найти общее решение u(x,y) дифференциального уравнения второго порядка в частных производных

uxy + 4ux = 0.

Решение. Чтобы решить это уравнение, выполним замену переменных: ux = w(x,y). Тогда uxy = wy, и рассматриваемое уравнение запишется в виде уравнения первого порядка относительно неизвестной функции w = w(x,y):

wy+4w = 0.

Разделяя в этом уравнении переменные w и y, получим

w(x, y) = −4 y.

В результате интегрирования обеих частей последнего равенства получаем, что ln w(x, y) −4y + c(x), где c(x) – произвольная функция переменной x. Отсюда

w(x, y) = c*(x) e−4y,

22

elib.pstu.ru

где, очевидно, c*(x) = ec(x) – новая произвольная функция. Возвращаясь к искомой функции u(x,y), получаем следующее уравнение в частных производных первого порядка:

ux = c*(x) e−4y.

Разделяя переменные и представляя функцию c*(x) через новую произвольную функцию c(x) в виде c*(x) = c(1x) , можно полу-

чить равенство

u = c(x) e−4y x.

Интегрируя его по переменной x, получаем общее решение рассматриваемого уравнения, которое можно представить в виде

u(x, y) = c1 (x) e−4y + c2(y),

где c1(x) и c2(y) – две произвольные функции переменных x и y соответственно.

Пример 2.5. Найти общее решение уравнения uxy + x ux = 3.

Пример 2.6. Решить задачу Коши: uxy + x ux = 3.

Пример 2.7. Решить задачу Коши: uxy + ux = 3.

В более сложных случаях для поиска общих и частных решений уравнений в частных производных необходимо опираться на

23

elib.pstu.ru

общую теорию, важнейшие результаты которой в краткой форме представлены ниже.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными.

2.Дайте определение и приведите примеры решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.

3.Дайте определение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

4.Дайте определение решения дифференциального уравнения

вчастных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

5.Дайте определение и запишите общий вид линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

6.Дайте определение и запишите общий вид квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

7.Приведите примеры решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

8.Приведите примеры решения задачи Коши для простейших дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

24

elib.pstu.ru

3. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Для обеспечения безопасности в техносфере особенно важными являются задачи распространения колебаний (например, электрических колебаний или колебаний земной коры), задачи диффузии (например, при выбросах вредных веществ в гидроили атмосферу), задачи распространения тепла или продвижения фронта горения при пожаре и тому подобные задачи, описывающие физические, химические или механические процессы. Задачи такого рода, как правило, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, поэтому их так и называют:

уравнения математической физики.

Теория уравнений математической физики, занимая особое положение в описании важнейших физико-химических, биологических, экономических и других процессов, связанных с изменением функций многих переменных, к настоящему времени достаточно полно разработана. Она представляет несомненный практический интерес при решении проблем техносферной безопасности, поэтому далее имеет смысл перейти непосредственно к классификации уравнений математической физики.

3.1.Классификация уравнений

счастными производными второго порядка

Для компактности записи уравнений математической физики обычно пользуются следующими обозначениями для производных:

25

elib.pstu.ru

Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x, y называется соотношение между неизвестной функцией u(x, y) и ее частными производными до второго порядка включительно:

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0.

Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

a11 uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + F1(x, y, u, ux, uy) = 0, (3.1)

где a11, a12 , a22 являются функциями переменных x и y.

Если коэффициенты a11, a12, a22 зависят не только от x и y, но являются функциями переменных x,y, u, ux, uy, то такое уравнение вида (3.1) называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uxy, uyy, так и относительно функции u(x, y) и её первых производных ux, uy:

a11 uxx +2 a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu + f = 0, (3.2)

где функция f и коэффициенты a11, a12 , a22, b1, b2, c зависят только от x и y.

Если коэффициенты a11, a12 , a22, b1, b2, c уравнения (3.2) не зависят от x и y, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение (3.2) называется однородным, если функция f(x,y) ≡ 0.

Если выполнить преобразование переменных

допускающее обратное преобразование, то мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному.

Естественно поставить вопрос: как выбрать новые переменные ξ и η, чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?

26

elib.pstu.ru

Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим уравнение вида (3.1) с двумя независимыми переменными x и y, линейное относительно старших производных:

a11 uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0.

Чтобы выполнить замену переменных в этом уравнении, преобразуем производные ux, uy, uxx, uxy, uyy, пользуясь формулами производной сложной функции двух переменных. Получим следующие равенства:

а11 = a11 2x + 2 a12 ξx ξy + a22 2y ,

a12 = a11 ξx ηx+ a12 (ξx ηy + ηx ξy) + a22 ξy ηy,

a22 = a11 2x + 2 a12 ηx ηy + a22 2y ,

а функция F не зависит от вторых производных.

Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е. если

F (x, y, u, ux, uy) = b1 ux + b2 uy + cu + f,

27

elib.pstu.ru

то функция F примет вид

F(ξ, η, u, uξ, uη) = β1 uξ + β2 uη + γu + δ

иуравнение остается линейным.

Отметим, что если преобразование (3.3) линейно, то вторые производные от функций ξ и η в формулах (3.4) равны нулю и

функция F не получит дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных. Следовательно, в результате линейных

преобразований вид функции F не изменится: F = F.

Напомним, что если линейное преобразование допускает обратное, то оно называется невырожденным.

Покажем, что переменные ξ и η можно выбрать так, чтобы коэффициент a11 был равен нулю. Для этого рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка

Пусть z = φ(x,y) – какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить ξ = φ(x,y), то коэффициент a11 , очевидно, будет

равен нулю. Можно показать, что выбор переменной η также связан с решением уравнения (3.6). Таким образом, упомянутая выше задача о рациональном выборе новых независимых переменных ξ и η связана с решением уравнения (3.6).

Знак выражения D = а122 −a11a22 определяет тип уравнения (3.1). Говорят, что уравнение (3.1) в точке М является уравнением

1)гиперболического типа, если вэтой точкеD = а122 − a11 a22 > 0,

2)параболического типа, если в этой точке D = а122 − a11 a22 = 0,

3)эллиптического типа, если в этой точке D = а122 − a11 a22 < 0.

Линейное уравнение вида (3.1) с постоянными коэффициентами a11, a12, a22 имеет один и тот же тип на всей плоскости перемен-

ных (x,y).

28

elib.pstu.ru

Можно проверить, что после преобразования переменных будет выполнено равенство

где D = ξxηy − ηxξy ≠ 0. Отсюда следует, что преобразование (3.3), допускающее обратное, не меняет тип уравнения (3.1).

Это важное замечание позволяет ввести понятие простейшей (канонической) формы для каждого из трех типов уравнений – эллиптического, гиперболического и параболического.

Каноническая форма уравнения (3.1) имеет следующий вид: 1) D = a122 − a11a22 > 0 (гиперболический тип):

uxx − uyy = Φ (x, y, u, ux, uy) или uxy = Φ (x, y, u, ux, uy); 2) D = a122 − a11a22 < 0 (эллиптический тип):

uxx + uyy = Φ (x, y, u, ux, uy); 3) D = a122 − a11a22 = 0 (параболический тип):

uxx = Φ (x, y, u, ux, uy).

С классификацией уравнений в частных производных второго порядка относительно функций многих переменных (более двух) можно ознакомиться с помощью более полных и подробных учебников по теории уравнений в частных производных (см. список дополнительной литературы).

3.2.Канонические формы линейных уравнений

спостоянными коэффициентами

Вслучае двух независимых переменных линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a11, a12, a22, b1, b2

иc имеет следующий вид:

a11 uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu + f (x,y) = 0. (3.8)

Можно показать, что с помощью замены переменных уравнение (3.8) с постоянными коэффициентами, в зависимости от его ти-

па (то есть от знака выражения Д = a122 − a11a22), может быть приве-

29

elib.pstu.ru

дено к одной из трех канонических форм относительно новой искомой функции v = u e (где λ и – некоторые постоянные) сле-

дующего вида:

1) гиперболический тип:

vξξ − vηη + γv + f (ξ, η) = 0 или

vξη + γv + f (ξ, η) = 0; 2) эллиптический тип:

= a122 − a11a22 < 0

vξξ + vηη + γv + f (ξ, η) = 0;

3)параболический тип:

=a122 − a11a22 = 0

vξξ + b3 vη + f (ξ, η) = 0.

Простейшие уравнения в частных производных второго порядка имеют свои общепринятые названия в зависимости от физических процессов, которые они описывают.

Приведем примеры.

Пусть t – время, (x, y, z) – пространственные переменные. Дифференциальный оператор второго порядка

≡ x22 + y22 + z22

называют (трехмерным) оператором Лапласа.

Простейшее однородное уравнение гиперболического типа с одномерным оператором Лапласа

utt − a2 uxx = 0, a2 = const,

описывает малые свободные колебания тонкой струны. Это же уравнение в электротехнике носит название телеграфного уравнения, так как оно описывает электрические колебания в проводах.

30

elib.pstu.ru