Элементы математической физики

линейного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами:

vt = a2 vxx + bvx + cv.

С помощью замены переменной

v = u (t, x) eαx+λt, где α = b2 , λ = − b22 , 2a 2a

это уравнение приводится к виду (5.15) ut = a2 uxx.

Принцип максимума для уравнения (5.15) формулируется в виде следующей теоремы.

Принцип максимума. Если функция u(t, x), определенная и непрерывная в замкнутой области 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяет уравнению

ut = a2 uxx

внутри этой области, то есть при 0 < t < T, 0 < x < l, то максимальное и минимальное значения этой функции достигаются или в начальный момент t = 0, или в граничных точках x = 0, или x = l.

Физический смысл принципа максимума очевиден: если температура на границе и в начальный момент времени не превосходит некоторого значения M, то при отсутствии источников тепла внутри тела не может возникнуть температура, большая M.

Из принципа максимума следует теорема единственности решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Теорема единственности решения первой краевой задачи

Если две функции u1(t,x) и u2(t,x), определенные и непрерывные в области 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяют уравнению теплопроводности (5.15)

ut = a2 uxx

внутри этой области, то есть при 0 < t < T, 0 < x < l, а также одинаковым начальным

71

elib.pstu.ru

то эти функции тождественны: u1(t, x) ≡ u2(t, x).

Напомним, что функция называется ограниченной, если существует такое число M, что u(t, x) M при всех 0 ≤ t ≤ T,

− < x < + .

Теорема единственности начальной задачи для бесконечной прямой справедлива, если выполняется дополнительное требование ограниченности искомой функции u(t, x).

Теорема единственности решения начальной задачи для бесконечной прямой

Если две функции u1(t, x) и u2(t, x), непрерывные и ограниченные во всей области изменения переменных t, x, то есть при t ≥0, − < x < + , удовлетворяют уравнению теплопроводности (5.15)

ut = a2 uxx

внутри этой области, а также одинаковым начальным условиям

(5.16)

u1(0, x) = u2(0, x) = φ(x), (− < x < + ),

то эти функции тождественны: u1(t, x) ≡ u2(t, x).

Доказательства приведенных теорем можно найти, например, в учебнике А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [1].

5.5. Метод разделения переменных для однородной первой краевой задачи

Рассмотрим однородную первую краевую задачу для уравнения теплопроводности стержня.

72

elib.pstu.ru

Требуется найти функцию u(t,x), определенную и непрерывную в области 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяющую уравнению

(5.15)

ut = a2 uxx

внутри этой области, то есть при 0 < t < T, 0 < x < l, а также началь-

ному (5.13)

Согласно методу Фурье решение уравнения (5.15) будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Подставляя это выражение в уравнение (5.15), получим

X′′ (x) T (t) = a12 T′′ (t) X(x).

Разделяя переменные, с помощью обычных рассуждений получаем равенство

из которого следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения со свободным параметром μ:

elib.pstu.ru

Уравнение (5.20) с краевыми условиями (5.22) составляют задачу Штурма–Лиувилля на собственные значения, рассмотренную подробно в подразд. 1.3.

Из полученных в подразд. 1.3 результатов следует, что задача Штурма–Лиувилля (5.20), (5.22) имеет решения вида

каждое из которых соответствует своему собственному значению

Xn(x) определяется с точностью до произвольного множителя, который в выражении (5.20) принят равным единице.

Подставляя в уравнение (5.20) найденные значения параметра

ное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами

где Cn – произвольные постоянные, которые подлежат определению.

Подставляя найденные функции Xn(x) и Tn(t) в выражение (5.19), получаем частные решения un(t,x) уравнения (5.15):

каждое из которых удовлетворяет краевым условиям (5.18).

В силу однородности уравнения (5.15) и краевых условий (5.18) формальная сумма частных решений

74

elib.pstu.ru

также удовлетворяет и уравнению (5.15) и краевым условиям (5.18). Значения коэффициентов Cn находим из начальных условий (5.13). Из этих условий вытекает, что для функции (5.26) должно

выполняться следующее равенство:

то есть функция φ(x) должна представлять собой разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям sin ln x на промежутке

[0,l]. Тогда Cn – это коэффициенты Фурье, которые вычисляются по формулам

Из теории рядов Фурье известно, что если функция φ(x) непрерывна, кусочно-дифференцируема на промежутке [0,l] и удовлетворяет равенствам φ(0) = 0 и φ(l) = 0, то ряд (5.26) с коэффициентами (5.28) будет сходиться, причем равномерно, к непрерывной функ-

ции u(t, x).

Таким образом, функция u(t,x), представленная рядом (5.26) с коэффициентами Cn, вычисляемыми по формулам (5.28), полностью решает поставленную однородную первую краевую задачу (5.15), (5.13), (5.18), если функция φ(x) является непрерывной, кусочногладкой на промежутке [0,l] и удовлетворяет условиям сопряжения

φ(0) = 0 и φ(l) = 0.

Полученное решение однородной первой краевой задачи для уравнения теплопроводности стержня можно представить в интегральной форме с помощью так называемой функции мгновенного точечного источника, кратко называемой также функцией источника, или функцией Грина.

75

elib.pstu.ru

5.6.Функция источника. Решение первой краевой задачи

снулевыми краевыми условиями

Преобразуем полученное решение u(t,x) однородной краевой задачи, подставив в ряд (5.26) значения коэффициентов из формул (5.28). Меняя порядок интегрирования, получим

Полученная функция G(t, x, ζ) является суммой равномерно сходящегося ряда и называется функцией мгновенного источника (функцией Грина).

С помощью функции Грина решение u(t,x) однородной первой краевой задачи (5.15), (5.13), (5.18) для уравнения теплопроводности стержня можно записать в следующем виде:

Можно доказать, что если функция φ(x) является непрерывной на промежутке [0,l] и удовлетворяет условиям сопряжения φ(0) = 0 и φ(l) = 0, то решение однородной краевой задачи (5.15), (5.13), (5.18) для уравнения теплопроводности является единственным и через функцию Грина (5.30) может быть представлено по формуле

(5.31).

76

elib.pstu.ru

Отметим, что представление решения через функцию Грина позволяет отказаться от требования кусочной дифференцируемости функции φ(x).

Физический смысл функции источника состоит в следующем. Пусть начальный момент времени t = 0 температура в некоторой точке x стержня равна нулю: u(0,x) = 0, а на концах стержня нулевая температура поддерживается постоянно u(t,0) = u(t,l) = 0. Тогда функция Грина G(x, ζ, t) представляет собой значение температуры в точке x стержня в момент времени t, если в точку x = ζ стержня в момент t = 0 мгновенно помещается точечный источник

тепла с мощностью Q = c .

Из свойств функции Грина отметим ее неотрицательность в квадрате 0 ≤ x, ζ ≤ l в любой момент времени t ≥ 0: G (t, x, ζ) ≥ 0.

С помощью функции Грина можно также получить решение первой краевой задачи с нулевыми начальными и краевыми условиями для неоднородного уравнения теплопроводности.

Выпишем постановку этой задачи.

Требуется найти функцию u(t,x), определенную и непрерывную в области, 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяющую неоднородному уравнению (5.12)

ut = a2 uxx + f (t,x)

внутри этой области, то есть при 0 < t < T, 0 < x < l, а также нулевому начальному

и однородным граничным условиям (5.18)

u (t, 0) = 0, u (t, l) = 0, (0 ≤ t ≤ T).

Решение этой краевой задачи существует и с помощью функции Грина (5.30) однозначно представимо в следующем виде:

elib.pstu.ru

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в учебнике А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [1].

Далее, решение u(t, x) неоднородного уравнения (5.12) с однородными краевыми условиями (5.18) и ненулевым начальным усло-

вием (5.13)

u (0, x) = φ(x)

с помощью функции Грина (5.30) можно получить, если к решению (5.33) неоднородной задачи с нулевым начальным условием прибавить решение (5.31) однородной краевой задачи (5.15), (5.13), (5.18), то есть в виде следующей суммы:

5.7. Решение общей первой краевой задачи

Рассмотрим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности стержня.

Требуется найти решение u(t, x) неоднородного уравнения (5.12) ut = a2 uxx + f (t, x), (t > 0, 0 < x < l),

удовлетворяющее начальному (5.13)

u (0, x) = φ(x), (0 ≤ x ≤ l),

и краевым условиям (5.14)

u (t, 0) = μ1(t), u (t, l) = μ2 (t), (0 ≤ t ≤ T).

Здесь φ (x), μ1(t) и μ2 (t) – заданные непрерывные функции, удовлетворяющие условиям сопряжения φ(0) = μ1(0) и φ(l) = μ2(0).

Чтобы решить поставленную задачу, введем новую неизвестную функцию v(t,x) как отклонение от некоторой известной функции U(t,x) следующим образом:

78

elib.pstu.ru

с правой частью f*(t,x) = f(t,x) − [Ut − a2 Uxx], удовлетворяющее следующим дополнительным условиям:

где φ* (x) = φ(x)−U(0, x), μ1* (t) = μ1(t)−U(t,0), μ2* (t) = μ2(t)−U(t, l).

Теперь выберем вспомогательную функцию U(t,x) следующим

Нетрудно проверить, что в этом случае будут выполняться условия

μ1* (0) = 0 и μ2* (0) = 0,

то есть для поиска функции v(t, x) мы получаем неоднородное уравнение теплопроводности (5.36) с ненулевым начальным условием (5.37) и нулевыми краевыми условиями (5.38). Однозначное решение v(t,x) такой краевой задачи, как показано выше, может быть получено по формуле (5.34), представленной выше, в подразд. 5.6.

Теперь, зная функции v(t, x) и U(t, x), решение исходной общей первой краевой задачи (5.12), (5.13), (5.14) получаем по формуле (5.35), то есть в виде суммы выражений (5.34) и (5.39):

x

u(t, x) = U(t, x) + v (t, x) = μ1(t) + l [μ2(t) − μ1(t)] +

79

elib.pstu.ru

5.8. Решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой

Напомним постановку начальной задачи для однородного уравнения теплопроводности стержня.

Требуется найти ограниченную функцию u(t,x), удовлетворяющую уравнению теплопроводности (5.15)

ut = a2 uxx (t > 0, − < x< ),

и начальному условию (5.13)

u (0, x) = φ(x), − < x < .

Если функция φ(x) непрерывна, то решение поставленной задачи Коши для однородного уравнения (5.15) существует единственно и может быть получено по следующей формуле:

тальным решением уравнения теплопроводности.

Отметим, что физически эта функция представляет температуру в точке x стержня в момент времени t, если в момент времени t = 0 в точке ζ выделяется количество тепла Q = cρ.

Далее, решение u(t,x), удовлетворяющее неоднородному уравнению теплопроводности (5.12)

ut = a2 uxx + f (t, x), (t > 0, − < x < )

и нулевому начальному условию (5.32)

u (0, x) =0, − < x < ∞,

также существует единственно и через функцию Грина может быть выражено по следующей формуле:

80

elib.pstu.ru