3.5. Колебания физического маятника

Полученное уравнение является нелинейным. Однако при малых углах отклонения маятника от вертикали можно сделать приближенную замену sin(cp) « ф и получить линейное уравнение

А это уже знакомое нам уравнение для гармонических колебаний (см. параграф о колебаниях пружинного маятника). И, следовательно, его общее решение имеет вид

Параметры этого решения - амплитуда колебаний А и начальная фаза ср0 - определяются из двух начальных условий для угла ср(0) и угловой скорости ф(/). Таким образом, мы полностью описали колебания физического маятника для случая малых отклонений маятника от положения равновесия. Погрешность линеаризации (замена sin(cp)->cp) можно оценить с помощью формулы разложения синуса в ряд Маклорена (см. параграф о формуле Тейлора):

Требуя, чтобы второе слагаемой в этой формуле было меньше первого в 100 раз, получим ограничение для амплитуды

(3.80)

Укажем, что мажорантная оценка (1.42) требует выполнения более жесткого неравенства ф < 8,1°.

Важным результатом сведения уравнений движения к виду (3.77)

Из этой формулы, как частный случай, получается формула для периода собственных колебаний математического маятника. Для математического маятника, масса которого сосредоточена на расстоянии / от точки подвеса,

имеем / = ml2 Подстановка этого значения момента инерции в формулу (3.81) дает формулу, известную со времен Галилея:

3.6. Колебания в электромагнитном контуре

Приведем еще один пример колебательной системы. Рассмотрим электрический контур, состоящий из трех элементов - конденсатора, сопротивления и катушки индуктивности (рис. 18). Второй закон Кирхгофа для замкнутой цепи требует, чтобы сумма падений напряжения на этих элементах равнялась нулю:

+R J +2-= о,

с

Рис. 18. Колебательный контур

где L - индуктивность катушки; J -

величина тока в цепи; R - омическое

сопротивление цепи; q - величина заряда на конденсаторе; С - электроемкость конденсатора.

Ток в цепи определяется скоростью изменения заряда на конденсаторе: J =dq/dt. Учитывая этот факт, уравнение (3.83) может быть приведено к виду

Вид уравнения (3.84) также нам знаком по колебаниям пружинного маятника с учетом силы сопротивления, пропорциональной скорости. Следовательно, мы вновь можем воспользоваться изложенным материалом и отыскивать решение в виде затухающих колебаний

Следует отметить существенное отличие этого уравнения от соответствующего уравнения для свободных колебаний. В случае свободных колебаний уравнение было однородным. В однородном уравнении во все слагаемые линейно входит неизвестная величина q(t) или ее производные. Это означает, что нулевое решение q(t) = 0 является решением однородного уравнения при нулевых начальных условиях. Уравнение (3.89) уже не является однородным за счет слагаемого в правой части. Поэтому нулевое решение не проходит ни при каких начальных условиях.

Математика (теория дифференциальных уравнений) советует искать решение неоднородного уравнения в виде суммы двух решений. Первое из этих решений должно быть общим решением соответствующего однородного уравнения. Обозначим это решение как q^t). А в качестве второго решения нужно взять частное решение полного неоднородного уравнения. Будем считать, что таковым решением является функция q(t). Таким образом, согласно совету математики общим решением уравнения (3.89) является сумма:

Как видно, задача усложнилась. Но на помощь приходит изящество математических рассуждений. Вспомним, что в предыдущем параграфе было найдено общее решение однородного уравнения в виде

В установившемся режиме колебаний пропадает зависимость от начальных условий. Именно этим решением и интересуются обычно при изучении вынужденных колебаний. Но следует помнить, что можно построить и полное решение, которое опишет переходный процесс к установившимся колебаниям.

Давайте и мы будем выяснять, что будет происходить в колебательном контуре после переходного процесса. Для этого нам надо найти частное решение неоднородного уравнения. Вид этого решения подсказывается видом

Для проверки этой гипотезы надо подставить эту функцию в уравнение (3.89) и убедиться, что найдутся однозначные значения для параметров этого решения - амплитуды b и сдвига (отставания) по фазе ф0. Перед подстановкой (3.92) в (3.89) вычисляются соответствующие производные:

Кроме того, нужно воспользоваться формулами тригонометрии:

sin(cof - ф 0) = cos^Jsin(a>/) -sin ^ Jc o s^ r),

cos(cof - ф0) = cos^0)cos(co/) + sin ^0)sin(co/).

После подстановки производных в уравнение (3.89) и приравнивания коэффициентов с множителем sin(©/) и cos(co/) получаются два соотношения

Из последнего соотношения сразу получается формула для отставания по

фазе:

Чтоб получить формулу для амплитуды, нужно оба соотношения возвести в квадрат и исключить слагаемое с произведением 8т(ф0)со8(ф0).

После этого использование следствия теоремы Пифагора 8 т 2(ф0) + со82(ф0) = 1 дает формулу

Получив зависимости для установившихся колебаний, их нужно, естественно, проанализировать и, таким образом, понять важнейшие свойства.

Из формулы (3.96) видно, что знак сдвига по фазе зависит от знака разности частот - вынужденной со и собственной со0. Далее легко заметить, что при приближении частоты вынужденных колебаний к нулю сдвиг по фазе также стремится к нулю. Вблизи равенства со«со0 модуль тангенса велик и, следовательно, сдвиг фаз близок к п /2.

5. Время достижения установившихся колебаний зависит не только от параметра а . Будем считать, что энергия установившихся колебаний равна Ет . Для достижения этого состояния должно быть совершено число

колебаний не менее к = Ет/АЕ(АЕ - величина энергии, поставляемая в цепь

за один период).

6. Аналогичные свойства вынужденных колебаний характерны и для механических систем.

3.8. Колебания систем с двумя степенями свободы

Примеры, рассмотренные выше, описывали колебания систем с одной степенью свободы. В таких случаях для описания поведения системы было достаточно одной обобщенной координаты. В случае математического и фи­ зического маятников обобщенной координатой служил угол отклонения маятника от равновесного положения. В случае пружинного маятника мы предполагали, что положение тела однозначно описывается одной координатой. Совершенно очевидно, что в общем случае даже для одной материальной точки для однозначного определения ее положения требуется использовать три координаты, для однозначного определения положения трехмерного тела может потребоваться 6 обобщенных координат, а для однозначного определения (описания) системы из п материальных точек может потребоваться 3п координат.

Для ознакомления с математическими проблемами описания колебаний с большим числом степеней свободы рассмотрим примеры с двумя степенями свободы. На рис. 21 показан пружинный маятник. Будем считать, что тело может перемещаться как в горизонтальном направлении, так и в вертикальном. Колебания вдоль горизонтальной оси нам уже знакомы. Будем считать, что соответствующая циклическая частота таких, колебаний равна со,. Для

колебаний вдоль вертикальной координаты необходимо рассмотреть соответствующую возвращающую силу. Соответствующий расчет приводит к тому, что частота малых колебаний вдоль вертикальной координаты

(3.99)

где а0- свободная длина пружины (а0< а); а - равновесная длина пружины.

Как видно, в этом примере вторая степень свободы привела к возможным колебаниям с другой частотой. Так бывает часто, но не всегда.

Рассмотрим задачу с точки зрения соответствующих дифференциальных уравнений. Во многих случаях колебания системы с двумя степенями свободы описываются линейной системой двух дифференциальных уравнений с пос­ тоянными коэффициентами:

Рис. 21. Поперечные колебания пружинного маятника: а - положение равновесия; б- случай движения по оси х

1 У + <*2\х + а22У = °-

Выясним, в каком случае решение этой системы дает гармонические колебания с одной частотой и фазой. Для выяснения этого вопроса предполагаем, что справедливо решение вида

x(t) = cos(co/ + ср), y(t) = /4^ cos(o)/ + ф) .

Подстановка этого решения в дифференциальные уравнения дает систему алгебраических уравнений

Г(дм -O}2)Aix + anA2y = 0,

(3.101)

[ a2lAtx + (a22- а 2)Л1у = 0.

Видно, что получилась однородная система уравнений, которая всегда имеет нулевое решение. Нас же интересует не нулевое решение. Для существования не нулевого (не тривиального) решения однородной системы необходимо потребовать равенства нулю соответствующего определителя:

АА ( ( аи -a>2)(a12-(o2) - a na2l) =0.

Так как нас интересует не нулевое решение (Л, Ф0, А2 ф 0), мы получаем

для величины z s= со2 квадратное уравнение

В общем случае это уравнение даст два различных корня. Случай одного корня (равенство частот) получается лишь при обращении в нуль соответствующего дискриминанта

Таким образом, установлено, что линп> при выполнении (3.103) колебания вдоль по оси х и вдоль по оси у происходят с одной частотой. При невыполнении (3.103) частоты различны и их значения находятся из уравнения (3.102).

На рис. 22 даны четыре примера систем, в которых колебания могут быть описаны как минимум с двумя степенями свободы. В первом примере рассматриваются колебания в одной плоскости двух сосредоточенных масс (двойной маятник). Во втором примере мы предполагаем, что два тела одинаковой массы могут совершать только продольные колебания. В третьем

jm n m

о

Рис. 22. Системы с двумя степенями свободы (колебания масс ограничены плоскостью чертежа)

примере мы предполагаем, что массы могут совершать лишь колебания

вплоскости чертежа. В четвертом примере рассматриваются колебания токов

вдвух связанных контурах. Уточнения условий для механических систем

приводят к системам лишь с двумя степенями свободы. Для четвертого примера никаких предположений не требуется.

В общем случае движение систем с двумя и более степенями свободы может иметь сложный вид. Покажем, что в случае систем с линейными связями движение может быть описано как суперпозиция простых гармонических колебаний. Эти простые гармонические колебания называют еще

собственными колебаниями или модами. Моды могут отличаться по амплитуде, частоте и начальной фазе. При определенных начальных условиях может реализоваться одна мода. В общем же случае колебание является линейной суперпозицией мод.

В случае задачи, рассмотренной в начале параграфа, одна мода соответствует продольным колебаниям, а вторая мода - поперечным. Покажем способы, позволяющие угадать моды в более сложных ситуациях. Заметим, что угадывание мод требует физической и математической интуиции. Каждая мода должна, конечно же, удовлетворять дифференциальному уравнению. Для демонстрации способов угадывания мод рассмотрим второй и третий примеры, изображенные на рис. 22.

Начнем рассмотрение продольных колебаний для второго примера, предполагая, что массы тел одинаковы и три пружины имеют одинаковые длины / и коэффициенты жесткости к. Исходя из соображений симметрии, следует рассмотреть решения со следующими свойствами:

В первой моде (3.104) смещение тел происходит в совпадающих направлениях и центральная пружина, оставаясь постоянной по длине, фактически не участвует в создании возвращающей силы. Это позволяет найти

Рис. 23. Нормальные моды продольных колебаний:

а - мода с меньшей частотой; б - мода с большей частотой

частоту колебаний этой моды <й]=к1т. Вид этой моды при смещении тел вправо изображен на рис. 23, а.

Во второй моде смещения тел происходят в противоположных направлениях, тела или сближаются, или расходятся. В этом случае эффективная жесткость пружин оказывается больше, и потому колебания

7//7/77У/ЩГЩ

Рис. 24. Продольные колебания: а - равновесие; б - общий случай движения

г

Мода 2

Рис. 25. Поперечные колебания: а - равновесие; б - общий случай движения; в - мода с меньшей

частотой; г - мода с большей частотой