п л2~ п

(3.25)

/=1 аг /=1

Как видно, в результирующий вектор сил F входит лишь сумма внешних сил. Сумма всех внутренних сил оказывается равной нулю в силу третьего закона Ньютона: f jk = -/* , . Записывая левую часть уравнения (3.25) с учетом

определения центра масс, получаем искомое уравнение

dt

Отсюда следует, что при отсутствии внешних сил или при равенстве нулю результирующей внешних сил скорость центра масс постоянна: vc = const.

3.3. Колебания пружинного маятника

Различного рода колебания широко представлены в нашем мире. Достаточно вспомнить, что без звуковых колебаний мы остались бы глухими, а без электромагнитных - слепыми. Широко распространены колебания и в механике. Неслучайно поэтому физики, механики и математики с давних пор уделяли изучению колебаний много внимания. Книг по теории колебаний множество. До сих пор пользуется популярностью книга академика Л.И. Мандельштама [8], который является одним из создателей нелинейной теории колебаний.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, описывающие колебания в системах с одной степенью свободы. В соответствующих дифференциальных уравнениях будем полагать, что сила зависит только от координат. Одной из простейших механических систем, дающих колебания, является пружинный маятник (рис. 12). При отклонении груза от положения равновесия возникает возвращающая сила, пропорциональная величине отклонения (закон Гука).

Уравнение движения (второй закон Ньютона) имеет вид

В этом параграфе для разнообразия производные по времени будем обозначать точками, как это часто делают в физике.

Рис. 12. Пружинный маятник Ось х соответствует направлению колебаний, начало координат выбрано в

точке равновесия (такой выбор позволяет не учитывать растяжение, обязанное силе тяжести). Знак минус в правой части уравнения отмечает тот факт, что упругая сила всегда направлена на возвращение системы к равновесию. Коэффициент к называют коэффициентом жесткости пружины. Независимость этого коэффициента от величины деформации характерна для малых отклонений от равновесия.

Уравнение (3.27) обычно записывают в виде

Вычислите вторую производную от (3.29), подставьте ее в (3.28) и убедитесь, что (3.29) есть действительно решение уравнения (3.27) при любых начальных условиях. Между параметрами первой и второй форм существует взаимно однозначное соответствие

Вторая форма записи удобна тем, что в ней сразу видна амплитуда колебаний. Так как аргумент во второй форме определяет фазу колебания, величину ср0 называют начальной фазой. Первая форма удобнее для

удовлетворения начальных условий.

Таким образом, мы знаем бесчисленное множество решений дифференциального уравнения, описывающего гармонические колебания. Конкретное решение определяется начальными условиями для координаты и скорости

где х0, х0 - заданные значения соответственно координаты и скорости в

начальный момент времени.

Согласно первой форме решения в начальный момент времени должно быть выполнено соотношение

Взяв производную от функции х(/) и положив / = 0, получим второе соотношение

С учетом (3.32), (3.33) конкретное решение может быть записано в виде

врешении останется только первое слагаемое. И наоборот, если отклонение

вначальный момент времени равно нулю, в уравнении останется только второе слагаемое. В общем же случае присутствуют оба слагаемых и в соответствии

с формулой (3.30) амплитуда колебаний А = yjxl + (x0/ со0)2

Для полного понимания свойств полученного решения полезно вычислить потенциальную и кинетическую энергию колеблющегося тела:

и убедиться в том, что сумма потенциальной и кинетической энергии от времени не зависит:

Опыт говорит о том, что любые колебания без подпитки энергии затухают. Сохранение энергии при колебаниях говорит о том, что в использованной модели не учтены диссипативные процессы. Ближе к реальной ситуации модель с учетом силы вязкого сопротивления пропорциональной скорости. Учет этой силы приводит к необходимости решать следующее дифференциальное уравнение:

где Ь - коэффициент сопротивления (Ь >0).

Поделив все слагаемые на массу, запишем это уравнение в «стандартном»

Коэффициент Р называют коэффициентом затухания. С точки зрения

математики (3.38) - дифференциальное уравнение с постоянными коэф­ фициентами. Со времен Эйлера на первом этапе нахождения решения таких уравнений отыскивают корни так называемого характеристического уравнения. Характеристическое уравнение получается при подстановке в дифференциальное уравнение замены х = ехр(^0- В нашем случае эта замена дает (после сокращения на ехр(7.0) квадратное уравнения для X:

А теперь можно воспользоваться знаменитой формулой Эйлера, связывающей экспоненциальную зависимость с тригонометрическими функциями:

е/г = cosг +/sinz .

Но можно обойтись и без формулы Эйлера, заметив, что в (3.45) выделена экспоненциальная зависимость от времени. Это обстоятельство подсказывает искать решение в виде произведения двух функций:

Подстановка (3.46) в дифференциальное уравнение (3.38) дает знакомое нам дифференциальное уравнение для функции w:

Сравнение этого уравнения с уравнением для незатухающих колебаний (3.28) позволяет утверждать, что функция w(f) будет иметь решение вида (3.29) . Следовательно, можно положить, что

Из этого решения видны два отличия по сравнению со случаем без учета трения. Первое отличие заключается в том, что амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненте. Второе отличие заключается в том,

что колебания происходят с уменьшенной циклической частотой со = yj(o20- $ 2

Оба эти отличия понятны с физической точки зрения - вязкое трение всегда уменьшает энергию системы и уменьшает скорость движения. Но точные зависимости этих эффектов получены математикой.

Обсудим характеристики затухания. Время, за которое начальная

Угловое ускорение определяется как производная от угловой скорости:

_ _ dco __d2cp

(3.58)

Зная угловую скорость и угловое ускорение, можно вычислить ускорение произвольной точки N вращающегося тела (рис. 14):

Из определения этих ускорений следует, что тангенциальное ускорение направлено по касательной, а нормальное перпендикулярно ему. При равномерном вращении касательное ускорение равно нулю.

Пока описана лишь кинематика вращательного движения. Для описания динамики вращательного движения необходимо ввести еще два понятия - момента силы и момента импульса.

Моментом силы относительно какой-либо точки О называют векторную величину

Величину / называют плечом силы.

Момент импульса материальной точки относительно фиксированной

Соответственно, моментом импульса механической системы, состоящей из п материальных точек, является сумма

При вычислении производной от момента импульса учтено, что векторное произведение скорости на импульс равно нулю в силу параллельности соответствующих векторов. Для получения связи момента импульса с моментом силы следует воспользоваться вторым законом Ньютона, дающим связь производной от импульса по времени с силой:

dt

Фактически уравнение динамики вращательного движения уже получено. Оно утверждает, что производная от момента импульса системы определяется суммарным моментом сил

Однако следует помнить, что это уравнение получено пока для системы частиц, а не для абсолютно твердого тела. Для абсолютно твердого тела компоненты момента импульса выражаются с помощью соответствующих произведений моментов инерции относительно трех осей на угловые скорости:

Для вычисления момента инерции тела относительно выбранной оси рассмотрим вначале, как обычно, момент инерции материальной точки. Для упрощения вывода будем предполагать, что вращение происходит вокруг одной фиксированной оси. При этом нам можно опустить индекс, соответствующий выбранной оси. Тогда момент инерции материальной точки с номером / и массой mi вычисляется по формуле (рис. 15)