- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.2. Производная функции
- •1.3. Интерполяция я экстраполяция функций
- •1.5. Формула Тейлора
- •1.8. Обработка экспериментальных данных
- •1.9. Метод наименьших квадратов
- •1.10. Контрольные вопросы к главе 1
- •2, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
- •2.1. Поток векторной величины
- •2.2. Связь потока с дивергенцией
- •2.3. Ротор и циркуляция вектора
- •2.4. Контрольные вопросы к главе 2
- •3.3. Колебания пружинного маятника
- •3.5. Колебания физического маятника
- •3.6. Колебания в электромагнитном контуре
- •3.7. Вынужденные колебания
- •3.9. Сложение колебаний
- •ЗЛО. Контрольные вопросы к главе 3
- •4. ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
- •4.1. Классификация уравнений математической физики
- •4.2. Уравнение теплопроводности
- •4.4. Уравнения эллиптического типа
- •4.5. Волновое уравнение
- •4.6. Уравнение Шредингера
- •Список литературы
1.9. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (МНК) известен в математике со времен Гаусса. Немецкого математика Гаусса (1777-1855) часто называют королем математики. МНК полезен при обработке результатов измерений или наблюдений, содержащих случайные ошибки. Метод позволяет находить приближенные аналитические зависимости по полученным экспе риментальным данным. Можно без преувеличения сказать, что МНК позволяет находить исследуемые закономерности. Поэтому необходимо
знать основные понятия этого метода, используемые для |
обработки |
экспериментальных данных. |
|
Типичная постановка задачи МНК такова. Имеется таблица значений аргумента (/ = 1, п) и соответствующих им значений функции у .. Полагается,
что значения функции получены с некоторой погрешностью. Требуется выяснить параметры предполагаемой аналитической зависимости у = fix ) так, чтобы сумма квадратов отклонения табличных значений от этой функции была минимальна. Сумма квадратов отклонения, называемая еще суммой квадратов невязок,
S = 2 > ,(/(c„ с2, ср>х^ - уУ , (1.77) /=)
где ck(k = 1, 2, ..., р) - параметры формулы.
Весовые коэффициенты р> могут учитывать «значимость» (точность) /-го измерения. Если нет каких-либо сведений о зависимости точности измерений
от его номера, весовые коэффициенты опускаются. |
Задача заключается в |
||
нахождении параметров, дающих минимум суммы |
(1.77). |
Параметрами |
|
функции f{x) |
могут быть, например, коэффициенты при известных выбранных |
||
функциях фДдг): |
|
|
|
|
/( * ) = X е* •%(*)• |
|
о -78) |
|
*=1 |
|
|
Такой |
случай аппроксимации исследовал |
русский |
математик |
П.Л. Чебышев.
Как правило, для корректности постановки задачи требуется, чтобы число параметров было меньше числа измерений ( р < п ). Найденные параметры
ближе к реальным параметрам при большом числе измерений (л > р).
В соответствии с законами математики минимум суммы квадратов невязок достигается при равенстве нулю частных производных от суммы квадратов невязок S по всем параметрам:
— = 0, * = 1, 2, |
(1.79) |
дск |
|
Естественно предполагается, что искомая функция является аналитической и зависит от параметров непрерывным образом.
Задача поставлена, и теперь требуется решить систему уравнений (1.79). Но возникает ряд вопросов. Первый из них - всегда ли эта задача имеет решение? Второй - единственно ли оно? И практический вопрос - как найти соответствующее решение?
Трудность нахождения решения зависит от системы уравнений (1.79), которые в свою очередь определяются видом функции /(* ). Система уравнений (1.79) может оказаться нелинейной.
Доказано, что в случае многочлена система уравнений оказывается линейной и задача имеет единственное решение. Опишем этот случай, полагая,
что |
|
f i x ) = Рт{х) = а0+а,х + а'х2+... + атхт |
(1.80) |
Параметрами многочлена являются коэффициенты ак(к = 0, 1, ..., т). Число этих коэффициентов (число параметров р ) равно т+1. Для построения системы уравнений (1.79) находим частные производные
ЛС |
П |
|
£ ~ = 2Z iK - P J x M (* = 0, 1, ...,« ) . |
(1.81) |
|
дак
В формуле (1.77) мы положили р>.=1. Приравнивая нулю найденные производные, убеждаемся в том, что соответствующая система уравнений линейна по отношению к искомым коэффициентам. Система уравнений (к =0, 1, ..., т ) имеет следующий вид:
п |
\ |
( п |
\ |
( п |
\ |
( п |
\ |
|
|
а0+ |
2 > " |
) |
а\ + £ |
х*+2 в2+...+ |
|
|
II |
. /=1 |
J |
V /=1 |
^ /=1 |
) |
|
У |
/=1 |
( 1.82)
Матрица коэффициентов этой системы симметрична. Определитель этой системы не равен нулю, следовательно, система разрешима. Выпишем все уравнения системы для часто используемого случая - полинома первой степени, когда данные аппроксимируются линейной зависимостью вида f ix ) = аа + а,х:
л\
п-а0 + 2 > , a , = Z ^ ' |
(1.83) |
|
п |
\ |
( п |
у |
п |
|
2 > / 1 |
а0+ Z * - 2 |
) |
Z у л - |
|
|
/=1 |
/ |
V /=1 |
|
|
Еще раз подчеркнем, что для метода наименьших квадратов требуется |
|||||
выполнение неравенства |
n>(m-r 1). Если число параметров многочлена равно |
||||
числу заданных значений |
{ п -т л -1), система |
имеет решение, проходящее |
|||
через заданные точки; при этом, по сути дела, решается задача интерполяции. Покажем пример применения МНК для обработки данных по
радиоактивному распаду. Полагаем, что в результате п измерений в моменты
времени |
/, (/ = 1, 2, ..., п) получены значения интенсивности распада |
/V, . Из |
физики |
известен закон радиоактивного распада |
|
|
N(t) = N0• exp (—Л./). |
0-84) |
Возникает вопрос -- как с помощью полученных измерений определить константу радиоактивного распада - X I Если использовать в сумме квадратов невязок функцию (1.84), метод приведет к необходимости решать нелинейную систему' уравнений. Решать нелинейную систему уравнений сложнее, чем линейную. Но оказывается, что задача может быть сведена к линейной. Для этого достаточно вспомнить, что в логарифмическом масштабе уравнение (1.84) превращается в линейное
/(О - 1п(.¥(/)) = ln(7V0) - Xt |
(1.85) |
Следовательно, необходимо прологарифмировать значения /V,., положив у, = 1п(А,), и сумму квадратов невязок записать в виде
S = £ ( .V/-1п(ЛГ0) + Ц )2 |
(1.86) |
|
||||
В результате приравнивания нулю |
|
|||||
производных от этой суммы по двум |
|
|||||
параметрам |
(1п(А0) |
и X) |
придем |
|
||
к линейной системе. |
|
|
|
|||
На |
рис. 6 |
приведен |
пример, |
|
||
качественно |
показывающий |
распо |
|
|||
ложение |
данных |
измерения |
отно |
|
||
сительно |
прямой. |
Аналогичный |
график |
Рис. 6. Пример с определением |
||
всегда |
полезно |
приводить |
после |
константы радиоактивного распада |
||
нахождения |
функции, |
чтобы |
увидеть |
|
||
степень погрешности и убедиться в правильности решения (глаз человека легко заметит серьезную ошибку в аппроксимации).