Интегралы этого уравнения (решения) называют характеристиками. Характеристическое уравнение распадается на два уравнения:

Знак подкоренного выражения (дискриминант D ) определяет тип уравнения: при D >0 уравнение гиперболического типа, при D =0 уравнение параболического типа, при D < 0 уравнение эллиптического типа. В различных частях области определения переменных уравнение может иметь различный тип. В случае постоянных коэффициентов тип уравнения один для всей области. Следует отметить, что замена переменных не меняет типа уравнений.

4.2. Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности в декартовых координатах имеет вид

где % ~ коэффициент температуропроводности; У|(/, х, у, z) - заданная функция, определяет мощность внутренних источников тепла. Коэффициент температуропроводности зависит от теплопроводности среды а , плотности р и удельной теплоемкости с: %=и/(р-с). Уравнение справедливо для случая постоянных значений параметров а, р, с и, следовательно, %.

В одномерном случае (нет зависимости от координат у и z) уравнение имеет вид

Уже было упомянуто, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа. Убедимся в этом, составив дискриминант D из предыдущего параграфа и полагая, что первой независимой переменной является время, а второй - координата:

D = 4 - а„а22 = 0 - lx = -X < 0.

Для формулировки конкретной задачи, описываемой уравнением (4.9), необходимо задать функцию источников тепла, два граничных условия и начальное условие. В качестве простейшего примера рассмотрим случай без внутренних источников тепла (/[ = 0) с начальным состоянием (/ = 0) в виде гармоники с номером п\

при нулевых граничных значениях на концах рассматриваемого интервала по

хот JC= 0 до х =1\

Легко проверить, что точным решением поставленной задачи является функция

Полезно отметить свойства этого решения. Во-первых, видно, что любые гармоники монотонно по экспоненциальному закону убывают с течением времени. Во-вторых, гармоники с большим номером убывают быстрее. Медленнее всего убывает первая гармоника с п = 1. Из закона убывания первой гармоники находится характерное время выравнивания неоднородности по температуре:

За характерное время амплитуда первой гармоники уменьшается в е раз (е-основание натуральных логарифмов, е «2,718). Согласно формуле (4.13) характерное время пропорционально квадрату длины и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности. Мы сознательно заостряем внимание на этих фактах, так как они позволяют из решения одной задачи с выбранными параметрами (/, %) предсказать характерные времена при других параметрах.

Приведем пример. Допустим, что мы решили задачу об остывании шара радиусом 1 см и знаем, что его максимальная температура убывает в е раз за 10 секунд. Не решая задачу об остывании шара размером в 100 раз больше в аналогичных условиях, можно достоверно утверждать, что максимальная температура большого шара также уменьшится в е раз за время, равное 10 • 1002 секунд « 27,8 часа.

Рассмотрим расширение поставленной задачи, напомнив, что использованное начальное условие было выбрано в виде одной гармоники с номером п (4.10). Расширение задачи позволяет использовать в качестве

В этом случае задача решается с помощью разложения функции (4.14) в ряд Фурье:

Л=1

Из математического анализа известно, что любая гладкая функция может быть представлена в виде сходящегося ряда (4.15). Это означает, что при достаточно большом значении числа слагаемых N погрешность представления (4.15) оказывается малой. После замены функции, задающей начальное условие, в виде конечного ряда Фурье приближенное решение задачи находится с использованием принципа суперпозиции в виде суммы:

Использованный нами принцип суперпозиции (сумма решений уравнения также является решением уравнения) справедлив для линейных задач. Точность решения (4.16) определяется числом слагаемых и гладкостью функции ср(х).

Продолжим расширение постановки задачи, напомнив, что в качестве граничных условий мы использовали нулевые значения (4.11). Если граничные условия первого рода (заданные постоянные значения) имеют вид

решение задачи следует искать в виде

в котором коэффициенты Ап аппроксимируют функцию

Разобранные примеры относятся к граничным условиям первого рода. Ситуация меняется, если граничные условия иного рода. Решить задачу при произвольных граничных условиях помогает метод разделения переменных, который излагается в следующем параграфе.

4.3. Метод разделения переменных

Метод разделения переменных позволяет найти решение многих уравнений математической физики (не только уравнения теплопроводности).

Однако описание метода выполним именно для разобранного выше уравнения параболического типа.

Метод предполагает, что решение уравнения можно представить в виде произведения функций только от одной независимой переменной. В случае одномерного уравнения теплопроводности в декартовых координатах метод предлагает находить решение в виде

где T (t)- функция только времени; Х (х)~ функция только координаты.

Штрихи в (4.21) обозначают соответствующую обыкновенную производную. После деления на %T(t) X(x) соотношение приводится к виду, из которого вытекает, что

где X - параметр разделения.

Утверждение (4.22) следует из того факта, что комбинации функций различных независимых аргументов могут быть равны лишь в случае их равенства одинаковой постоянной. Следствием (4.22) являются два уравнения:

Для уравнения (4.23) нужно использовать начальные условия, а для уравнения (4.24) - граничные условия.

Дальнейший этап метода заключается в поиске решений уравнения (4.24). Рассмотрим вначале случай нулевых граничных условий. В этом случае для нахождения решения Х(х) образуется так называемая задача Штурма - Лиувилля. Известно, что всегда существует нулевое решение Х(х) = 0, которое называют тривиальным. Нас же интересуют не тривиальные решения. Оказывается, что не тривиальные решения существуют не при любых значениях параметра разделения, а лишь при определенных значениях, которые называются собственными значениями задачи. Соответствующие функции, удовлетворяющие уравнению, называются собственными функциями.

С помощью проверки легко убедиться, что решением уравнения (4.24) могут быть тригонометрические функции

граничными условиями для задачи ШтурмаЛиувилля. В случае нулевых

Согласно принципу суперпозиции и предположению (4.20) решением нашей задачи будет сумма решений:

(л = 1, 2, ..., N). Это вносит некоторую погрешность в решение. Оценка этой погрешности может быть сделана путем перебора значения числа слагаемых

N

В построенном решении не определены пока начальные значения Г„(0). Их значения определяются из заданного начального условия

Отсюда видно, что коэффициенты Г„(0) являются коэффициентами разложения известной функции ср(х) в ряд Фурье и могут быть определены путем интегрирования:

I n

Мы разобрали подробно случай граничных условий первого рода. Укажем, что меняется в случае других граничных условий. При других граничных условиях меняется решение задачи Штурма - Лиувилля. Рассмотрим пример с граничными условиями

du(t, 0)

дх

u(t, /) = 0. (4.33)

В этом случае требуется найти решение уравнения (4.24) с граничными условиями Х ’(0) = 0, Х(1) =0. Левое граничное условие подсказывает нам выбор функции

так как производная от косинуса в нуле равна нулю. Правое граничное условие требует, чтобы

Дальнейшие этапы метода аналогичны, но следует помнить, что суммирование начинается с нуля и начальная функция ср(х) раскладывается в ряд не по синусам, а по косинусам.

Заметим, что был рассмотрен вариант с одной пространственной переменной. В случае трех пространственных перменных и области в форме параллелепипеда метод разделения предлагает отыскавать решение в виде

Штурма - Лиувилля. В областях другой геометрии (цилиндр, шар, шаровая полость) удобнее решать задачу в других координатах и также применять метод разделения переменных.