Физические теории пластичности

который в конечном итоге выражается через сдвиги по СС. Кристаллит далее рассматривается как совокупность областей однородно деформируемого материала (пластическое деформирование реализуется однородным одиночным сдвигом), отделенных тонкими прослойками – границами. В границах упругая и пластическая составляющая градиента места терпит разрыв, градиент места f удовлетворяет условиям совместности в слабом смысле (почти всюду, кроме прослоек, где градиент места может испытывать разрыв по сдвигам вдоль границы). По величине разрыва пластической составляющей градиента места с помощью приведенного выше соотношения устанавливается плотность дислокаций в прослойке; таким образом, граница представляется дипольной стенкой дислокаций, принадлежащих двум СС по обе стороны от прослойки.

Предусматривается возможность образования многоуровневых границ–прослоек, для чего используется модель бинарного дерева (ветвящегося графа, из каждого узла исходят либо 2, либо 0 ветвей; градиент места в узлах равен среднему градиентов места, приписанных ветвям; на нулевом уровне («корне») градиент места равен среднему для кристаллита). Наличие многоуровневых прослоек, в которых допускается сдвиг, позволяет при их достаточном количестве обеспечить любую предписанную деформацию за счет одиночных сдвигов. Приведены примеры определения различно ориентированных границ в ГЦК-крис- таллах, которые согласуются с экспериментально наблюдаемыми субструктурами при различных видах нагружения. В заключительной части статьи приведен способ внесения в модель абсолютных масштабов тонкой структуры, основанный на введении в полную энергию аддитивной добавки от собственной энергии дислокаций; приведены примеры вычисления размеров ячеек дислокационных субструктур, результаты находятся в хорошем качественном и количественном соответствии с экспериментальными данными.

В статье [115] рассматривается упругопластическая модель для описания деформирования материалов с ГПУ-решеткой, где наряду со сдвиговой модой деформирования учитывается двойникование. Используется мультипликативное разложение градиента места, повороты решетки описываются ортогональным тензором, входящим в полярное разложение упругой составляющей градиента места. В отличие от большинства работ, в которых оперируют дискретными наборами ориентаций решеток монокристаллов (зерен), образующих поликристаллический агрегат, в работе используется континуальное представление

131

функции распределения ориентаций (ФРО), для которой формулируется эволюционное уравнение балансового типа.

Модель применена для расчетов кривых «интенсивность напряжений – интенсивность деформаций» и эволюции ФРО при стесненной осадке и простом сдвиге титановых образцов и свободной осадке магниевого сплава. Результаты расчетов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными и результатами расчетов, полученных с использованием других моделей (работающих с дискретными наборами ориентаций).

Значительное внимание в последние годы уделяется субмикроскопическим и нанокристаллическим материалам, получаемым методами интенсивной пластической деформации и порошковой металлургии и обладающими уникальными физико-механическими свойствами. В связи с этим возникает потребность в моделях, учитывающих размеры зерен и зернограничную фазу. В [155] рассматривается самосогласованная упругопластическая модель, согласно которой зерна поликристалла описываются сферическими кристаллитами произвольной ориентации, окруженными аморфными областями – границами зерен. Размеры зерен полагаются случайными величинами с логнормальным законом распределения. Приведен вывод разрешающих соотношений для каждой из фаз. Модель применена для исследования напряженно-деформированного состояния при растяжении поликристаллических медных образцов со средним размером зерна 20 мкм, 110 нм и 49 нм. Детально исследуется влияние среднего размера зерна и дисперсии на напряжение течения, неоднородность пластических деформаций и напряжений.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 5

1. Какие соотношения применяются в качестве определяющих

вбольшинстве физических теорий?

2.Приведите и проанализируйте основные гипотезы модели Линя.

3.Приведите кинематические и определяющие соотношения для кристаллита, применяемые в модели Линя.

4.Изложите алгоритм применения модели Линя для исследования упругопластического деформирования поликристаллического представительного макрообъема.

5.Перечислите достоинства и недостатки модели Линя.

132

6.Какие физические модели применяются для удовлетворения условий равновесия на границах кристаллитов?

7.Каким образом модифицируется закон Гука в случае геометрически нелинейных задач?

8.Проанализируйте закон упрочнения, используемый в работах Токуды и Краточвила.

9.Используя мультипликативное разложение градиента места, получите аддитивное разложение градиента скорости перемещений на упругую и пластическую составляющие.

10.Запишите определяющие соотношения гипоупругости и гиперупругости.

133

Кроме того, следует отметить, что в вязкоупругих моделях не имеет смысла вводить понятие активности системы скольжения, так как при любых положительных касательных напряжениях соотношение Хатчинсона будет давать ненулевую скорость сдвига, поэтому при анализе поведения материалов на мезоуровне для вязкоупругих моделей рассматриваются накопленные сдвиги на всех потенциально возможных СС и оценивается в каждый момент деформирования относительная скорость сдвигов на различных СС. При этом и критическое напряже-

ние сдвига изменяет свой первоначальный смысл, который оно

имело в жесткопластических и упругопластических моделях как касательное напряжение начала скольжения; оно выступает теперь в роли материальной функции процесса, определение которой при идентификации модели следует осуществлять в совокупности с установлением других параметров вязкоупругого закона – γ0 и п. Однако физический

смысл τ(ck ) как сопротивления движению дислокаций при этом сохраня-

ется, что позволяет относительно независимо от других параметров модели формулировать для него законы упрочнения.

Весьма противоречивые данные приводятся в литературе для параметра γ0 , значения которого по различным источникам отличаются

на 4–5 порядков. С детальным анализом влияния параметра γ0 на пове-

дение модели можно ознакомиться в работе [59], где рассмотрены характерные особенности вязкопластического соотношения для определения скоростей сдвигов. В соответствии с двухуровневой физической моделью ГЦК-поликристалла [48] рассмотрен представительный объем поликристаллического тела с равномерным случайным распределением ориентаций кристаллических решеток отдельных зерен, испытывающий деформацию одноосного сжатия вдоль одной из осей неподвижной лабораторной системы координат; параметры материала соответствуют чистой меди. Упрочнение и развороты зерен в статье не рассматриваются. В качестве определяющего соотношения для скоростей сдвигов в отдельных зернах выбрано соотношение (6.2). Выделен параметр µ ,

связывающий характерную скорость деформирования (в процессе с постоянной скоростью деформации) и скорость сдвига в СС при достиже-

135

нии критического касательного напряжения: γ0 = µε, выявлены харак-

терные зависимости от данного параметра характеристик напряженнодеформированного состояния. Показано, что характер диссипации энергии пластическими сдвигами зависит от значения µ , точнее: при µ > 1

скольжение сдвигом характеризуется меньшим набором активных систем скольжения и большими скоростями сдвигов, при µ < 1 – большим

количеством активных СС и меньшими скоростями сдвигов в них. Также показано, что суммарная скорость сдвига по всем СС не зависит от данного параметра, а зависит от скорости деформирования. Выявлена обратная зависимость предела текучести от µ , однако при значениях

µ > 1 предел текучести одинаков и модель по сути становится упруго-

пластической.

Остановимся на одной из самых простых моделей вязкого типа [60]. В качестве закона течения принят типовой закон (6.1); как уже отмечалось выше, этот закон применяется чрезвычайно часто, основные отличия теорий вязкого типа состоят в принимаемых законах упрочнения, учете (или неучете) влияния температуры, вводимых в рассмотрение механизмов деформирования. В цитируемой работе применен ани-

зотропный закон упрочнения τ(k)c = ∑hkl γ(l)∂ , где hkl – матрица модулей

k

упрочнения, которую следуя [110] для ГЦК-кристаллов предлагается принять в виде:

где h0, τs, а – материальные параметры, определяющие скорость упрочнения (τs – так называемое напряжение насыщения), принятые постоянными для всех СС. Матрица gkl для ГЦК-кристаллов (12 СС) представ-

ляется в блочной форме:

136

где А – матрицы размерностью 3×3, все компоненты которой равны 1, q – характеризует отношение скорости латентного и деформационного упрочнения. Тензор пластической составляющей градиента скорости перемещений выражается классическим соотношением:

где m((kS)) и m((kА)) – соответственно симметричная и несимметричная части фактора Шмида,

m((kS)) = 12 (b(k )n(k ) + n(k )b(k ) ) , m((kА)) = 12 (b(k )n(k ) − n(k )b(k ) ) .

Тогда тензор пластической составляющей градиента скорости перемещений можно представить в виде суммы скорости неупругой деформа-

В силу того, что упругими и термическими деформациями пренебрегают, определяющее соотношение для описания вязкопластического поведения материала принимает вид:

где p (s) – так называемый тензор вязкопластических свойств (4-го ранга), s – девиатор тензора напряжений Коши. Показывается, что в случае 5 активных систем скольжения тензор p (s) обратим, тогда можно разрешить (6.6) относительно напряжений:

В силу пренебрежения в рассматриваемой работе упругими деформациями упругая составляющая градиента места равна ортогональ-

ному тензору, f e = re , который полагается ответственным за повороты кристаллической решетки. Данная модель в цитируемой работе используется в сочетании с самосогласованной схемой, однако использовать ее можно и в рамках статистического подхода.

137

Более сложная модификация модели вязкого типа рассмотрена в работе [113], в которой учтено влияние температуры, базирующееся на континуальной модели «механического порогового напряжения»

(MTS – mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом

[93]. Последняя представляет собой изотропную «скалярную» модель для предсказания напряжения течения в зависимости от скорости деформации, температуры и текущего состояния, описываемого параметром состояния, называемым механическим порогом. В первой части работы рассматривается так называемая «стандартная вязкопластическая модель Тейлора» (standard rate dependent Taylor model). В ней использу-

ется «жесткопластическое» мультипликативное разложение градиента места f:

Составляющая f p переводит отсчетную конфигурацию К0 в про-

×

межуточную Kt при отсутствии поворота (ориентация кристаллической

×

решетки остается неизменной), а ротация r переводит Kt в актуальную конфигурацию Кt. Тогда (транспонированный) градиент скорости перемещений l (в актуальной конфигурации) определяется соотношением:

об ×

Заметим, что l p = vT = f p (f p )–1 – «пластический» градиент ско-

рости перемещений, связанный со скоростями сдвигов по системам скольжения (СС) соотношением:

k =1

где γ(k ) – скорость сдвига по k-й СС, b(0k ) – единичный вектор направления скольжения (сонаправленный вектору Бюргерса), n(0k ) – единичный

вектор нормали k-й СС, определенный в промежуточной (или, что то же самое, в отсчетной) конфигурации. Вводится аддитивное разложение градиента скорости перемещений:

138

Таким образом, ротация решетки складывается из «материального вращения» (w) и ротации от «стесненного сдвига» (a). Используя далее симметричный ориентационный тензор в актуальной конфигурации

в k-й СС устанавливается следующим образом:

где σ, s – тензор напряжений Коши и его девиатор (мезоровня). Подставляя (6.11) в (6.12)1, девиатор напряжений может быть оп-

ределен решением следующей системы нелинейных уравнений:

где четырехвалентный тензор вязкопластических свойств определяется соотношением

т.е. идентичен использованному в соотношении (6.6). Следует подчеркнуть, что из определения тензора свойств p очевидна нелинейность со-

отношения (6.15), поскольку τ(k ) определяется по искомому тензору s.

139

Принимается закон изотропного упрочнения, эволюционное уравнение для критического напряжения имеет вид закона Воуса (Voce):

где h0 – начальная скорость упрочнения, τ0c , τsc – начальное напря-

жение течения и напряжение насыщения соответственно. Макроскопический девиатор напряжений определяется осреднением с весами по всем зернам.

Отмечается, что степенной закон (6.1) может рассматриваться лишь как приближенный закон, не имеющий под собой должного физического обоснования. В связи с этим в работе предлагается модифицировать указанный закон для учета скорости деформации в широком диапазоне ее варьирования и влияния температуры. В основу указанной модификация положена упомянутая выше модель механического порогового напряжения.

Подробно описывается численная процедура; для интегрирования по времени используется неявная разностная схема, система нелинейных уравнений решается методом Ньютона–Рафсона. Для установления шага по времени решена задача на одноосное сжатие при 10, 20, 40 и 100 постоянных шагах по времени; различие между результатами расчета напряжения сжатия при 10 и 100 шагах не превысило 0,24 %.

Верификация предлагаемой модели осуществляется сопоставлением полученных с ее помощью результатов расчета напряжений с результатами стандартной изотропной модели MTS. Скоростная и температурная зависимости определялись в опытах на сжатие алюминиевого сплава Al 5182 при температурах 200 и 300 оС при скоростях деформации 0,001 и 1,0 с–1. Показано очень хорошее соответствие результатов. Анализ предсказания моделью формирования текстуры осуществлен сопоставлением с результатами, полученными Kalidindi e.a. с использованием модели Тейлора; отмечается хорошее качественное соответствие результатов.

В работе [141] также используется мультипликативное разложение градиента места. Упругими деформациями пренебрегается, в силу чего упругая составляющая градиента места описывает только поворот кри-

сталлической решетки, f e = rl . Получено аддитивное разложение градиента скорости перемещений l в промежуточной конфигурации:

140