Физические теории пластичности

Вопросы к разделу «Введение»

1.Что понимается под мезо- и микроструктурой? Какие характеристики мезоструктуры оказывают наибольшее влияние на физико-меха- нические макросвойства материалов?

2.Чем объясняется необходимость исследования эволюционирующей мезо- и микроструктуры?

3.Почему одни и те же по химическому составу поликристаллические материалы способны демонстрировать как изотропные, так

ианизотропные макросвойства? Приведите примеры изменения симметрийных свойств.

4.Дайте краткое определение двух основных подходов, используемых для построения определяющих соотношений.

5.Назовите основные понятия, определения и структуру конститутивных моделей материала, основанных на использовании внутренних переменных.

6.Назовите основные положительные и отрицательные стороны моделей с внутренними переменными.

7.Приведите краткое описание многоуровневых моделей.

21

наблюдаются «родовые признаки» теорий указанных авторов, особенно Дж. И. Тейлора.

Установление масштабных уровней, вовлекаемых в рассмотрение в конкретном варианте ФТП, определяется требованиями исходной постановки задачи, особенностями исследуемых процессов, известными сведениями или гипотетическими представлениями о лидирующих и аккомодационных процессах, определяющих неупругое деформирование. Решение вопроса о выборе уровней не лишено и субъективного компонента – квалификации исследователя, его приверженности тем или иным подходам, доступностью тех или иных инструментальных средств и т.д. В настоящее время диапазон микромасштабов чрезвычайно широк – от 10–19 до 10–3 см3.

Для изложения современных физических теорий пластичности необходимо напомнить некоторые основные понятия, определения и соотношения нелинейной МДТТ.

1.1. ОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕЗАВИСИМЫХ ОТ ВЫБОРА СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ТЕНЗОРЗНАЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ

Одной из сложнейших задач МДТТ в целом и ФТП в частности является проблема построения ОС для случая геометрически нелинейных проблем (больших градиентов перемещений). В настоящее время ее решение часто осуществляется обобщением известных «геометрически линейных» ОС. В качестве примера рассмотрим обобщение ОС Максвелла на случай больших градиентов перемещений. Определяющие соотношения Максвелла имеют вид:

где D – тензор деформации скорости, λ , µ– индифферентные скалярные характеристики материала, λ * = λ , µ* = µ; «*» отмечены величины, определяемые наблюдателем системы отсчета, движущейся относительно исходной. Наличие производной σ тензора напряжений Коши в левой части уравнения приводит к нарушению требования индифферентности ОС (1.1). Действительно, в соответствии с требованием независимости от выбора системы отсчета (аксиома № 3 [35, 50]) вид уравнения не дол-

23

жен меняться при замене системы отсчета (или наложении жесткого движения). Тогда из (1.1) должно следовать

Последнее соотношение, как нетрудно видеть, не совпадает по виду

·

с ОС (1.1). Причина кроется в неиндифферентности производной σ

(несмотря на индифферентность σ).

Выход из данной ситуации в большинстве работ по геометрически

·

нелинейным ОС заключается в замене материальной производной σ на независящую от выбора системы отсчета производную (коротационную или конвективную) σr . В этом случае определяющее соотношение (1.1) принимает вид

Напомним, что коротационные и конвективные производные определяются как скорости изменения параметров, фиксируемые подвижным наблюдателем, в первом случае – в жесткой, во втором – в деформируемой подвижной системе отсчета. При этом следует отметить трудности применения конвективных производных, связанные со сложностью отделения изменения параметров за счет физических причин (воздействий) от изменений вследствие деформирования базиса.

При малых квазижестких поворотах (и малых скоростях этих поворотов) соотношение (1.2) сводится к (1.1). Возникающая при таком подходе к обобщению ОС неединственность определения независимых от выбора системы отсчета мер скоростей напряжений, деформаций

24

и других параметров разрешается с привлечением дополнительных гипотез и физического анализа [31].

Следует отметить сложность и важность решения данного вопроса, поскольку физически необоснованный выбор объективных производных может привести к качественно неверным результатам, зачастую трудно выявляемым на предварительной стадии оценки модели. При этом самым сложным является вопрос определения «движения без жесткого вращения» сплошной среды. Данный вопрос в исследованиях по нелинейной механике часто подменяется проблемой независимости ОС от выбора системы отсчета. Конечно, последнее требование должно быть выполнено; как показано выше, осуществить его выполнение достаточно просто. Однако это не снимает вопроса о выборе меры поворота при обобщениях геометрически линейных соотношений на случай больших градиентов перемещений. Действительно, в общем случае движения деформируемой среды невозможно выделить тройку некомпланарных материальных волокон, сохраняющих свою взаимную ориентацию в течение всего исследуемого процесса движения. (При наличии такой совокупности материальных волокон меру ротации тройки единичных векторов, направленных вдоль этих волокон, можно с полным основанием считать мерой жесткого поворота). При произвольном движении деформируемой среды любая выбранная тройка волокон испытывает изменение углов между ними.

В связи с этим в нелинейной механике часто применяется понятие квазитвердого движения, вводимого для принятого представления

движения среды совокупностью квазитвердого и деформационного движений. Именно мера последнего вводится в определяющее соотношение как эквивалент меры деформаций в геометрически линейном ОС. Ортогональная тензорзначная функция, характеризующая поворот в квазитвердом движении, используется затем при определении коротационных производных. Заметим, что данный подход тоже не может претендовать на единственность. Однако в любом случае введение мер квазитвердого движения, способа обобщения геометрически линейного ОС на случай больших градиентов перемещений, анализ принимаемых при этом гипотез должны предшествовать экспериментальным исследованиям и лежать в основе программы экспериментов, учитываться при интерпретации и обработке опытных данных.

25

1.2. КЛАССИЧЕСКИЙ И ОБОБЩЕННЫЕ КОНТИНУУМЫ

Под обобщенными континуумами (ОК) в широком смысле этого термина будут пониматься все тела, не описываемые классическими теориями механики сплошной среды (МСС) (и МДТТ – в частности). Заметим, что само название определяет класс тел – это именно континуальные модели. Прежде чем переходить к рассмотрению сути обобщенных континуумов, необходимо сформулировать и попытаться ответить на некоторые вопросы (на первом этапе – общего характера).

Прежде всего, а не плодим ли мы новые сути без нужды (Оккама)? Не является ли введение ОК желанием построить очень сложную для понимания теорию (уже в силу этого вызывающую уважение к ее авторам), с использованием которой в дальнейшем можно будет получать красивые результаты, объяснить которые не в состоянии ни авторы теорий, ни их последователи? Если же такие теории все-таки необходимы, то в каких процессов и для каких сред? Каковы области применимости той или иной теории, что от нее можно ожидать, а чего она в принципе не способна описать? Каков должен быть предварительный физикомеханический анализ, чтобы решить вопрос о необходимости применения ОК и конкретном выборе теории ОК? В случае отсутствия полностью адекватной изучаемому материалу и процессу его деформирования теории ОК каково должно быть направление модификации, наиболее близкой для достижения поставленных целей и задач модели ОК?

Конечно, трудно рассчитывать на сиюминутные ответы на все поставленные вопросы, но исследователи, занимающиеся ОК, должны таки ставить подобные вопросы и искать на них ответы.

Рассмотрение в данном параграфе ограничим поликристаллическими металлами и сплавами, для начала – испытывающими только упругие искажения, класс воздействий – только деформационными. Для таких материалов классические континуальные модели, как показано многочисленными экспериментами, в ряде задач (например, при исследовании усталостной прочности) не дают результатов, удовлетворяющих современным запросам техники. Причину исследователи видят в высоких градиентах напряжений (деформаций), являющихся порождением существенной неоднородности материалов (мезо- и микроструктурой). Таким образом, одна из областей, где требуется применение ОК, – это задачи, в которых нельзя пренебрегать градиентами параметров модели (напряжений, деформаций и т.д.). Попутно заметим, что, ве-

26

роятно, именно поэтому «оселком» для тестирования моделей ОК выбираются примеры типа задачи Кирша (1898) (растяжение бесконечной пластины, ослабленной малым круговым вырезом). Конечно, здесь возникает вопрос: а почему при нынешнем уровне развития вычислительной техники не работать на таких размерах, чтобы градиентами параметров можно было бы пренебречь? Однако даже для не самых сложных задач это может потребовать ресурсов нескольких суперкомпьютеров; кроме того, в ряде задач (например, с сингулярностями) этот путь принципиально неприемлем. Во-вторых, можно придти к таким малым масштабам, что идентификация модели может оказаться весьма проблематичной. В-третьих, как представляется, модели ОК принципиально богаче, чем модели классических континуумов (КлК), поскольку в них присутствуют новые степени свободы, которые не появятся в модели КлК при каком угодно дроблении сетки.

Другой класс проблем, где, как представляется, нельзя обойтись моделями КлК, – это задачи, в которых требуется описание микроструктуры материала. К таким проблемам относятся задачи описания текстурообразования, интенсивного пластического деформирования (ИПД) в обработке металлов давлением (в том числе подготовка материала для сверхпластического деформирования (СПД)), получения субмикрокристаллических материалов, деформирование в режиме сверхпластичности (СП).

Таким образом, в первом приближении получены ответы на первые три вопроса. Чтобы сформулировать ответы на остальные, необходимо ознакомиться с содержанием, основными гипотезами, положениями конкретных теорий, чему посвящено дальнейшее изложение.

Прежде чем рассматривать конкретные теории, следует отметить, что всем моделям ОК присуще одно из двух или оба отличия от КлК, которые мы условно назовем «динамическим» и «кинематическим». Первое из них связано с заменой широко используемой в КлК гипотезой о действии одной части тела на другую только распределенной нагрузкой; иначе говоря, это действие в каждой точке сводится только к вектору напряжений. Вероятно, впервые об этом написал В. Фойгт в своей статье 1887 года [181]. Он предложил модифицировать гипотезу Коши следующим образом: действие одной части тела на другую (или внешних тел на рассматриваемое тело) в каждой точке воображаемой (или реальной) границы (внутренней или внешней) тела с единичной нормалью n определяется вектором напряжений tn и вектором моментных напряжений µˆ n.

27

Конечно, с точки зрения формальной ничто не мешает заменить одну гипотезу другой, тем более, что заменяющая в данном случае шире заменяемой, в определенном смысле поглощает ее. При этом появляется возможность в реальных телах и процессах оценить эффекты, вносимые расширением гипотезы. Однако в физике и механике необходимо добиваться достаточно ясного физического смысла всех вносимых параметров, переменных. Предположим, что рассматриваемое физическое тело представляет собой конгломерат взаимодействующих между собой частиц, причем не важно, какого масштабного уровня, это могут быть

иатомы, и молекулы, и субзерна, зерна поликристалла; важно лишь, чтобы для рассматриваемого материала (и процесса деформирования) эти взаимодействия можно было свести к взаимодействию только соседних частиц (по сути, эта гипотеза всегда эксплуатировалась в МСС

ивесьма правдоподобна) и что эти взаимодействия являются центральными. По сути, речь идет о широко используемой модели «шарики – пружинки». Мысленно введем некоторую поверхность, рассекающую эти связи. Приведем сосредоточенные силы, действующие со стороны частиц с одной из сторон тела (назовем ее «отброшенной), разделенных введенной поверхностью, на частицы второй части к распределенным нагрузкам (вектору напряжений). Если на масштабах, сопоставимых с масштабом осреднения (континуализации), отсутствует корреляция между положением точки на разделяющей поверхности и хотя бы одной из компонент вектора напряжений (или исследователя по роду задачи не интересуют следствия такой корреляции), то распределенные напряжения могут быть приведены на данном масштабе осреднения только к вектору напряжений (конечно, постоянному в каждый момент процесса) на площадке осреднения. В противном случае необходимо или: 1) переходить на более низкий масштабный уровень (осреднения), или 2) вводить дополнительные силовые факторы, с достаточной для рассматриваемой задачи полнотой определяющих взаимодействия разделенных частей тела. Заметим, что указанная корреляция в зависимости от микроструктуры материала и процесса деформирования может наблюдаться на одних масштабах и отсутствовать на других; например, на характерных масштабах, сопоставимых с размерами зерен и субзерен, такая корреляция скорее всего будет иметь место; если же перейти к осреднению с «окном» порядка представительного макрообъема, то корреляция может

иисчезнуть. Этот характерный размер (масштаб), на котором указанная корреляция имеет место, будем называть «радиусом корреляции».

28

К «кинематическому» отличию здесь мы будем относить расширение степеней свободы континуума. Наиболее общим вариантом ОК по отношению к этой составляющей, как представляется, являются модели с конечным числом внутренних переменных произвольной природы и (тензорной) размерности, характеризующих микроструктуру материала, дислокационную субструктуру и т.д. В частности, при соответствующей физической трактовке к внутренним переменным можно отнести меры вращательных степеней свободы (континуум Коссера), микродеформаций (микроморфные континуумы), вторые и более высокого порядка градиенты вектора перемещений (материалы 2-го и более высоких порядков; материалы 2-го порядка в литературе часто называют градиентными). Следует отметить, что в этом случае в теории могут появиться термодинамически сопряженные новым кинематическим параметрам силовые факторы, т.е. появляется и «динамическое» отличие.

В каких же случаях возникает потребность во введении дополнительных степеней свободы? Во-первых, есть чисто формальная причина их возникновения при использовании термодинамического подхода к формулировке конститутивной модели – необходимость выполнения термодинамических ограничений и для континуумов с расширенными силовыми взаимодействиями, в силу чего появляются сопряженные с ними кинематические характеристики. Во-вторых, это связано с необходимостью рассмотрения изменения микроструктуры при сохранении возможности решать краевые задачи для реальных физических объектов, рассматриваемых в рамках континуального представления.

Рассмотрение ОК начнем с модели Койтера (МК) [17] как наиболее простой модели ОК. По существу, в этой модели учтен только первый, «динамический» аспект. Пусть на тело В, занимающее в актуаль-

где ρˆ – плотность, r – радиус-вектор точки. Далее обычным образом (рассматривая равновесие материального тетраэдра и устремляя его

29

размеры к нулю) можно доказать теорему Коши и ее аналог для моментных напряжений:

где σ, µˆ – (несимметричный) тензор напряжений Коши и тензор мо-

и вектор моментных напряжений, действующие на площадку с единичной внешней нормалью n. Отметим, что использованные в приведенных выше соотношениях величины имеют следующие размерности:

справедливо и для элементов поверхности тела, где оно приобретает следующий вид:

Предполагая тензоры напряжений и моментных напряжений дифференцируемыми функциями координат, из (1.3) с учетом (1.5), теоремы Гаусса–Остроградского и произвольности объема, получаем уравнения равновесия:

где ˆ – оператор Гамильтона (в актуальной конфигурации), Є – тензор

Леви–Чивита. Заметим, что никаких кинематических соображений при выводе уравнений равновесия не использовалось, совершенно аналогичными последние будут и для континуума Коссера.

Тензор напряжений Коши можно представить суммой симметричной и антисимметричной частей:

при этом антисимметричная часть может быть выражена из уравнения (1.7) следующим соотношением:

30