Физические теории пластичности
..pdf
|
l = d + w = d + wl + w p , |
K |
K |
где d ≡ d p = ∑m(S)0(k ) γ(k ) , wl = (rl )–1 rl – спин решетки, w p = ∑m((Аk ))0 γ(k ) , |
|
k=1 |
k=1 |
причем тензоры m(S)0(k ) |
и m((Аk ))0 (симметричная и антисимметричная час- |
ти ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скорости принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зернах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом вида (6.2).
Следует отметить, что хотя в вязкопластических моделях активными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для данного типа кристалла СС, не все они будут линейно независимы; например, на каждой кристаллографической плоскости линейно независимыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эвристическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦКкристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. При определении скоростей сдвигов на СС используется принцип минимума сдвига, решается соответствующая задача оптимизации;
K
кинематическое ограничение d = ∑m((S)0k ) γ(k ) вносится с использованием
k=1
множителей Лагранжа.
С использованием предлагаемой модели решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной начальной ориентацией, одноосной осадки, осадки в условиях плоскодеформированного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с использованием других моделей, и экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.
Представляется целесообразным упомянуть работу [69], содержащую значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодных для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ тек-
141
стуры и дислокационных субструктур. Теоретические исследования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.
Вопросы к главе 6
1.В чем состоит основное отличие вязкоупругих и вязкопластических моделей?
2.Предложите модификации соотношения (6.2) для учета влияния температуры.
3.Как изменятся соотношения (6.1) и (6.2) при удвоении систем скольжения (то есть при переходе к положительным сдвигам)?
4.Приведите физическое объяснение закона упрочнения (6.3)–(6.4).
5.Является ли система уравнений (6.6) однозначно разрешимой? Каковы критерии ее разрешимости относительно s?
6.Приведите выражение тензора р в (6.6) для случая одноосного напряженного состояния и одиночного скольжения по СС ГЦК-решетки (ориентацию решетки по отношению к оси нагружения выбрать самостоятельно), определите обратный тензор р–1.
7.Получите самостоятельно выражение (6.9).
8.Запишите математическую постановку задачи оптимизации для
K
модели [141] с учетом ограничения типа равенства d = ∑m((S)0k ) γ(k ) . Что
k=1
можно сказать о единственности ее решения?
9. Как описывается ротация кристаллической решетки в рассматриваемых моделях?
142
ГЛАВА 7. УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
7.1. АНАЛИЗУПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко- и упруговязкопластичности, выполненных до 1985 года, содержится в статье [64]. В ней подробно рассматривается конститутивная модель неупругого деформирования ГЦК поликристаллического агрегата при больших градиентах перемещений. Поскольку данная статья является одной из основополагающих и весьма часто цитируемых работ по ФТП, представляется целесообразным ее детальное рассмотрение. Предлагаемая модель является двухуровневой. Элементом макроуровня является поликристалл, мезоуровня – кристаллит (зерно), способный неупруго деформироваться скольжением краевых дислокаций. Связь низшего масштабного уровня с верхним осуществляется осреднением. Как отмечают авторы, модель пригодна для определения текстуры материала и напря- женно-деформированного состояния при различных историях нагружения зерен ГЦК-агрегата.
Одной из важных особенностей модели является выбор физически обоснованных законов упрочнения, основанных на экспериментальных данных. В модели описывается деформационное и латентное упрочнение, используются чувствительные к скорости деформирования уравнения состояния и соответствующие параметры материала. Основой предлагаемой модели является конститутивная упругопластическая модель Тейлора– Бишопа–Хилла. В работе предложен ряд модификаций, позволяющий, в частности, решить проблему выбора неединственности активных СС.
Модель мезоуровня
Описание пластического течения, как и многих других моделей ФТП, основывается на работах [164–166]. Некоторые конститутивные соотношения, используемые в данной работе, можно найти в [65, 103]. Зерно деформируется упруговязкопластически, механизмом неупругого деформирования мезоуровня является движение краевых дислокаций. Градиент деформаций (транспонированный градиент места) f записывается с помощью соотношения Ли [121]:
143
f = f e f in , |
(7.1) |
x
где f in = ei ei описывает скольжение дислокаций по кристаллографическим СС и связывает отсчетную конфигурацию K0 с разгруженной Kx,
x
f e = eˆi ei – характеризует упругое деформирование и переводит промежуточную конфигурацию Kx в текущую Kt. Выше использованы обо-
значения основного (взаимного) лагранжева базиса в отсчетной |
ei ei , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
xi |
ˆ ˆi |
) конфигурациях. |
|
|
|
промежуточной ei e |
и текущей ei (e |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Каждая k-я система скольжения определяется направлением сдви- |
||||||
|
|
|
o (k ) |
o (k ) |
|
|
га b(k) и нормалью плоскости скольжения n(k). Векторы b |
и n |
явля- |
ются ортонормированными в недеформированной решетке (в отсчетной и промежуточной конфигурациях), в деформированной решетке (в текущей конфигурации) в анализируемой статье эти направления описываются соотношением:
|
|
|
|
ˆ |
(k ) |
|
e |
o (k ) |
(k ) |
o (k ) |
e−1 |
|
|
||
|
|
|
|
= f |
b |
, nˆ |
= n |
f |
. |
(7.2) |
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||
b |
Нетрудно |
проверить, |
что |
в |
текущей |
|
конфигурации |
векторы |
|||||||
, n |
(k ) |
также |
ортогональны. В |
статье не |
обсуждается происхождение |
||||||||||
ˆ (k ) |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второго соотношения; вообще-то, вектор нормали преобразуется при переходе от отсчетной к актуальной конфигурации совершенно аналогично со-
отношению для вектора направления скольжения: n |
|
= f |
|
o (k ) |
o |
(k ) |
|
. |
(k ) |
|
n |
= n |
f |
eT |
|||
ˆ |
|
e |
|
|
|
|
Вероятно, авторы неявно принимают, что тензор упругих искажений в разложении упругой составляющей градиента места f e близок к ортогональному тензору (т.е. упругими искажениями пренебрегается); в этом
случае f |
e−1 |
≈ f |
eT |
, векторы b |
(k ) |
, n |
(k ) |
являются единичными. |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя мультипликативное разложение градиента деформации (7.1), можно определить градиент скорости перемещений l:
l = f f −1 = f e f e−1 + f e f in f −in f e−1 = le + lin , |
(7.3) |
144
где le и lin – упругая и неупругая составляющие градиентов скоростей перемещений в текущей конфигурации. Полагая, что пластическая деформация осуществляется сдвигами по известным СС, используя (7.3) и разложение lin на симметричную din и антисимметричную части win, записывается неупругая составляющая градиентов скоростей перемещения lin:
in |
−1 |
e e−1 |
in |
|
in |
(k ) ˆ |
(k ) |
ˆ |
(k ) |
|
l = f f |
− f |
f |
= d |
+ w |
|
= ∑ γ b |
|
|
(7.4) |
|
|
|
n |
|
k
где γ(k ) – скорость сдвига по k-й CC, din – пластическая составляющая
тензора деформации скорости, win – пластическая составляющая тензора вихря. Для каждой k-й СС вводятся в рассмотрение симметричные и антисимметричные тензоры:
(k ) |
1 |
ˆ |
(k ) |
|
(k ) |
|
(k ) ˆ (k ) |
(k ) |
1 |
ˆ (k ) |
|
(k ) |
|
(k ) ˆ (k ) |
|
|
m(S) = |
|
(b |
|
ˆ |
|
ˆ |
b ), |
m(A) = |
|
|
(b |
ˆ |
|
ˆ |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
n |
|
+ n |
2 |
n |
|
− n b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда din и win можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
din |
= ∑ γ(k )m(S)(k ) , |
win = ∑ γ(k )m((Аk )) . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
(7.5)
(7.6)
Далее авторы, используя (7.3), раскладывают соответствующие составляющие на симметричную и антисимметричные части:
d = de + din , w = we + win . |
(7.7) |
Для дальнейшего рассмотрения кинематики деформирования вводится аналог тензора Коши–Грина, определенный в терминах разгру-
женной конфигурации εex . Напомним, что тензор Коши–Грина определяется в отсчетной конфигурации K0 [31]:
ε = |
1 |
(f T f − I) , |
(7.8) |
|
|||
2 |
|
|
где I – единичный тензор; тензор εex определяется следующим образом:
εex |
= |
1 |
(f e T f e − I) . |
(7.9) |
|
||||
|
2 |
|
|
145
Найдем связь этого тензора с упругой составляющей тензора деформации скорости de:
|
|
|
|
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de = |
1 |
|
f e f e−1 |
+ f e−T f e T |
|
. |
|
|
(7.10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для этого продифференцируем соотношение (7.9) и полученное |
|||||||||||||||||
выражение слева скалярно умножим на fe–T, справа – на fe–1. |
|
||||||||||||||||
f e−T εex |
f e−1 = f e−T |
1 |
(f e T f e + f e T f e ) f e−1 = |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
2 |
( |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1 |
|
f e−T f e T f e f e−1 + f e−T f e T f e f e−1 |
|
= |
(7.11) |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
f e−T f e T + f e f e−1 |
|
= de . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда следует связь тензоров εex |
и de: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
de |
= f e−T εex f e−1 , |
εex |
= f e T de f e . |
|
(7.12) |
Рассмотрим связь тензора скорости деформаций Коши–Грина ε и скорости упругого тензора Коши–Грина в разгруженной конфигурации εex . Продифференцируем соотношение (7.8) и используем мульти-
пликативное разложение градиента деформаций f = f e f in :
ε= |
1 |
(f T f + f T f ) = |
1 |
(f inT f eT + f inT f eT ) f e f in + |
1 |
f inT f eT (f e f in + f e f in ) = |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
( |
|
|
2 |
) |
2 ( |
2 |
) |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= f inT |
1 |
|
|
f eT f e |
+ f eT f e |
|
f in + |
1 |
|
f inT f eT f e f in + f inT f eT f e f in |
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= f inT εex |
f in + |
1 |
(f inT (f eT f e − I + I) f in + f inT (f eT f e − I + I) f in ) = |
(7.13) |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
(f inT (2εex + I) f in + f inT (2εex + I) f in ) = |
|
|
|
||||||||||
= f inT εex |
f in + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f inT εex f in + f inT εex f in + f inT εex f in + 12 (f inT f in + f inT f in ) =
= f inT εex f in + f inT εex f in + f inT εex f in + εin0 ,
146
где εin0 обозначена скорость неупругого тензора Коши–Грина в отсчет-
ной конфигурации K0 ( εin0 = 12 (f in T f in − I) ).
Целью дальнейших выкладок является получение ОС упругопластического тела. Для этого вводится в рассмотрение (упругий) потенциал, устанавливается его физический смысл; далее с помощью последнего определяется вид искомого ОС в скоростной форме.
Напомним, что существует определение упругих материалов, опирающиеся на понятие потенциала. Такие материалы называются упругими по Грину или гиперупругими. Для определения потенциала вводится элементарная работа внешних массовых и поверхностных сил [31]:
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
, |
(7.14) |
δ′A = ∫ρˆf |
δrdV |
+ ∫ t |
δrdS |
||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
V |
|
S |
|
|
|
где δr – виртуальное (возможное) перемещение, δ'A – элементарная работа (δ' свидетельствует о том, что речь идет не о вариации работы, а о работе на виртуальных перемещениях). Используя соотношение Коши, теорему Гаусса–Остроградского и уравнение движения сплошной среды, можно показать, что в случае квазистатического нагружения
|
|
( |
|
|
) |
T |
|
|
|
|
|
T |
|
δ′A = |
∫ |
ˆ |
ˆ |
∫ I |
δr |
|
d V , |
||||||
|
|||||||||||||
|
σ: |
δr |
|
|
dV= k : |
|
|||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где kI – I-й тензор Пиолы–Кирхгоффа, σ – тензор напряжений Коши.
Вводя обозначение δ′a = k I |
: |
δr T |
для элементарной работы на еди- |
|
|
|
|
|
|
ницу объема в K0, можно записать: |
|
|
||
|
δ′A = ∫ δ′ad V . |
(7.15) |
||
|
|
V |
|
|
Введенное определение дополняется требованием существования потенциала ϕ – функции некоторой меры деформации, удовлетворяющей условию
δ′φ = δ′a , |
(7.16) |
147
где δ′φ – вариация потенциала. Величина ϕ характеризует запасенную в результате деформирования упругую энергию на единицу объема в K0 [31]. Потенциальная энергия тела определяется интегрированием ϕ по объему тела.
Напомним определение производной Ft скалярно-значной функции F тензорного аргумента A, который в свою очередь зависит от ска-
лярной переменной t: |
|
|
|
||
|
dF (A (t )) |
= |
∂ F |
: AT . |
(7.17) |
|
|
|
|||
|
dt |
∂ A |
|
||
В дальнейших выкладках понадобится цепное правило для тензо- |
|||||
ров второго ранга, которое определяется соотношениями: |
|
||||
(А·B):C = (А·B·C):I = (B·C·А):I = (B·C):А = (C·А):B. |
(7.18) |
В работе принимается, что упругость кристалла не зависит от скольжения и определяется удельной энергией упругой деформации ϕ . Скорость работы напряжений в единице объема зерна определяется соотношением
k : d = k : de + k : din = k : de + ∑ τ(k ) γ(k ) , |
(7.19) |
k |
|
где k – взвешенный тензор Кирхгоффа, равный тензору Коши σ, умноженному на det (f), τ(k ) – сдвиговые напряжения по k-й СС, τ(k ) = k : m((S)k ) . Преобразуем (7.19), используя тензор скорости упругих деформаций Коши–Грина, определенный в разгруженной конфигурации
εex [103], соотношения (7.12) 1 и (7.18):
k : d = k : de + k : din = (f e−1 k f e−T ) : εex + ∑ τ(k ) γ(k ) . |
(7.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
Используя выражение для производной (7.17) и симметричность |
|||||||
тензора εex , найдем скорость изменения величины ϕ : |
|
||||||
|
dφ(εex ) |
|
∂ φ |
e |
|
|
|
|
|
= |
|
: ε |
x |
, |
(7.21) |
|
|
|
|||||
|
dt |
|
∂ εex |
|
|
148
Поскольку потенциал φ характеризует запасенную упругую энергию на единицу объема, то полная производная по времени – скорость этой величины (сравнить с первым слагаемым правой части (7.19) или (7.20)). Сопоставляя первое слагаемое правой части (7.20) и (7.21), получаем
f e−1 k f e−T = |
∂ φ |
, |
(7.22) |
||
|
|||||
|
|
|
∂ εex |
|
|
или |
|
|
|
|
|
k = f e |
∂ φ |
f e T . |
(7.23) |
||
|
|||||
|
∂ εex |
|
|
|
Следует отметить, что в физических уравнениях упругого типа напряжения связаны с упругими деформациями, тогда как в соотношениях неупругого типа (вязких, пластических, вязкопластических и т.д.) фигурируют соответствующие составляющие тензора деформации скорости, выражаемые через напряжения. При этом соотношения для каждой из составляющих мер деформации или скорости деформации записываются независимо. С другой стороны, кинематические соотношения связывают деформации или скорости деформации с полями соответственно (полных) перемещений или скоростей перемещений, которые не могут быть разделены на составляющие. Для объединения составляющих мер деформации или скорости деформации в «полные» применяются или мультипликативное, или аддитивное разложения мер, для чего требуется приведение мер к одному типу – либо к деформациям, либо к скоростям деформации. В рассматриваемой работе использовано аддитивное разложение тензора деформации скорости; в связи с вышеизложенным в законе упругости требуется переход к скоростям деформаций и на-
пряжений. Для этого продифференцируем соотношение k = f e |
∂ φ |
f eT : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ εex |
|
|
|
|
|
e |
|
|
∂ |
|
φ |
|
e T |
|
|
e |
∂ 2 |
φ |
|
e |
|
|
e T |
|
|
e |
∂ |
φ |
|
|
e T |
|
|
|
|||||
k = f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
+ f |
|
|
|
|
|
: εx |
f |
|
|
+ f |
|
|
|
|
f |
|
|
. |
(7.24) |
|||||||||
|
|
∂ |
|
e |
|
|
|
e2 |
|
|
|
e |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
εx |
|
|
|
|
|
∂ εx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
εx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перепишем соотношение (7.24) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
∂ 2φ |
|
|
e |
e T |
|
|
|
|
e |
|
∂ φ |
|
e T |
|
|
e ∂ |
φ |
|
e T |
|
|
|
|
||||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
: εx f |
|
= k − f |
|
|
|
|
f |
|
|
− f |
|
|
|
|
f |
|
|
. |
|
(7.25) |
|||||||||
|
∂ |
|
e 2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
εx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ εx |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
εx |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим тензор четвертого ранга |
∂ 2φ |
, определенный в разгру- |
||||||
∂ εex2 |
||||||||
|
x |
x x |
x |
∂ |
2 |
φ |
|
|
женной конфигурации Kx, как πx = πx |
ei e j ek |
el ≡ |
|
. Напомним, что |
||||
∂ εex2 |
||||||||
ijkl |
|
|
|
|
когда говорится «тензор, определенный в терминах (или в базисе) той или иной конфигурации», это означает, что компоненты тензора в соответствующем базисе имеют ясно выраженный физический (геометрический, энергетический) смысл. Разумеется, тензор в силу своих свойств можно преобразовать в любой другой базис, однако при этом, как правило, теряется физический смысл его компонент. Поскольку упругие
деформации малы, производную |
∂ 2φ |
можно определить в нуле, ис- |
∂ εex2 |
пользуя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь вторым порядком. Заметим, что для выявления симметрийных свойств πx удобно воспользоваться кристаллографической системой координат.
Левую часть соотношения (7.25) в компонентах можно писать следующим образом (вывод предоставляется читателю):
e |
x e |
|
e T |
x |
ˆ elk |
i |
ˆ |
j |
|
|
|
|
f |
(π : εx ) f |
|
= πijkl |
d |
|
ˆ |
|
|
|
(7.26) |
||
|
|
e e . |
|
|||||||||
Отметим, что справедливо равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f e (πx : (f e T de f e )) f e T = πijklx |
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
|
x |
||
f e |
ei f e |
e j f e ek f e el : de , (7.27) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в чем можно убедиться, записав правую часть (7.27) в компонентах. Введем в рассмотрение математический объект π:
π= πijklx |
|
x |
x |
|
x |
|
x |
|
(7.28) |
f e ei f e e j f e ek f e el . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возникает вопрос о природе введенного объекта: является ли он тензором? Заметим, что π образован из компонент тензора 4-го ранга πх в базисе разгруженной конфигурации и полиадного базиса в актуальной конфигурации. Напомним, что тензор – величина инвариантная по отношению к выбору системы координат, в то время как его компоненты
150