Физические теории пластичности

изменяются при переходе к другому базису (по вполне определенному закону [50]). Согласно этому закону при разложении векторов «старого»

Сопоставляя (7.29) 1 и (7.32), (7.29) 3 и (7.31), легко обнаружить, что компоненты и базисные векторы преобразуются с помощью взаимообратных матриц, что и предопределяет неизменность тензоров при заменах систем координат.

Для решения поставленного выше вопроса (о природе введенного объекта π) расширим обычную алгебру тензорного исчисления новой операцией – позиционного умножения. Рассмотрим ее на примере двух тензоров М (ранга т) и N (ранга п). Позиционным (p, q) произведением (1 ≤ p ≤ т, 1 ≤ q ≤ п) тензоров М и N будем называть тензор L ранга (т + п – 2), определяемый соотношением:

151

ров М и N, gij – (контравариантные) компоненты метрического тензора. То, что L представляет собой действительно тензор, можно показать аналогично приведенному выше примеру, доказательство предоставляется читателю.

С использованием введенной операции позиционного умножения выражение (7.28) можно записать в виде:

Таким образом, π действительно является тензором (4-го ранга), однако отличным от тензора πх. При этом из приведенных выводов вытекает, что левую часть соотношения (7.25) можно представить в виде: f e (πx : εex ) f e T = π: de . Следует отметить, что в цитируемой работе

приводится несколько иной вид тензора π:

К сожалению, авторам не удалось доказать правомочность такого перехода, вероятно, он не верен.

Преобразуем правую часть соотношения (7.25):

152

Подставим разложение упругой составляющей градиента скоростей перемещения le на симметричную de и антисимметричную части we в последнее соотношение:

π: de = k − (de + we ) k − k (de + we )T =

(7.38)

=k − we k + we k − de k − k de .

В(7.38) учтено, что deT = de , weT = − we . Группируя слагаемые в соотношении (7.38), перейдем к виду

Проанализируем члены в левой и правой частях соотношения. В левой части учтем, что для металлов, подвергаемых упругопластическому деформированию, компоненты напряжений на несколько порядков меньше упругих модулей (случай гидростатического нагружения при сверхвысоких давлениях из рассмотрения исключается), в силу чего 2-м и 3-м слагаемыми в левой части (7.39) можно пренебречь. В правой части, учитывая, что рассматривается геометрически нелинейная проблема при произвольных градиентах скоростей перемещений (а следовательно, произвольных we ), 2-м и 3-м членами в общем случае пренебречь не представляется возможным. Соотношение (7.39) тогда примет вид

153

Используя (7.7), преобразуем (7.40) к следующему виду:

где введено обозначение производной Яуманна взвешенного тензора на-

Далее авторы статьи конкретизируют выражения для скоростей сдвигов γ(k ) . Отмечается, что γ(k ) зависят, в первую очередь, от напряженного состояния через сдвиговые напряжения на каждой k-й СС. Для описания скорости сдвига γ(k ) используется степенной закон Хатчинсо-

на [105].

где γ(0k ) – скорость сдвига при сдвиговых напряжениях τ (k), равных критическим τ(ck ) , которые полагаются одинаковыми для всех СС, m – па-

раметр скоростной чувствительности материала. Скорости сдвигов однозначно определяются соотношением (7.44) и в теориях вязкоупругого типа отличны от нуля при любых сдвиговых напряжениях на СС, не равных нулю; в упруговязкопластических моделях скорости сдвигов полагаются равными нулю при τ(k) < τ(ck ) . При этом не возникает вопроса

о выборе активных СС и их числе, все скорости сдвигов определяются независимо по сдвиговым напряжениям.

В цитируемой работе приводится часто используемый простейший закон изотропного упрочнения, согласно которому упрочнение (изме-

154

нение τ(ck ) ) принимается одинаковым для всех СС и зависящим от накопленного суммарного сдвига γ:

Рассматривается также более сложная форма закона упрочнения. Изменение критических напряжений определяется соотношением

где hαβ – функция накопленного сдвига γ (7.45) 2. В недеформированной конфигурации каждое τ(ck ) принимается равным τ0. Соотношение для hαβ принято аналогичным предложенному в работе [106]:

безразмерный параметр q определяет отношение величины латентного упрочнения к деформационному, h (размерность Па) – параметр, характеризующий активное (деформационное) упрочнение, δαβ – символ Кронекера. Принятый в работе закон латентного упрочнения подтвержден экспериментальными данными [150]. Для компланарных систем отношение латентного упрочения к деформационному упрочнению близко к 1, для некомпланарных – изменяется в диапазоне от 1,0 до 1,4. При вычислениях для компланарных СС параметр q = 1, для некомпланарных q = 1,4.

Модель поликристалла

В цитируемой работе авторы рассматривают агрегат, состоящий из большого числа зерен. Отклик каждого зерна описывается ОС (7.42). Через Sext обозначается внешняя поверхность поликристалла, ограничивающая представительный макрообъем V.

Рассматривается квазистатическое нагружение, массовыми силами пренебрегается, граничные условия в перемещениях принимаются такими, что деформации являются однородными в образце. Переход от мезоуровня к макроуровню представляет собой осреднение по объему [102]. В предлагаемой модели условия совместности и равновесия вы-

155

полняются в каждом зерне, но равновесие может быть нарушено между зернами.

Далее в рассмотрение вводится первый тензор Пиола–Кирхгоффа kI, связанный с взвешенным тензором Кирхгоффа соотношением

Сила dP, действующая в произвольный момент времени t на единичную площадку в Kt, но отнесенная к единице площади в K0, опреде-

где N и dS задают направление и площадь материальной площадки в отсчетной конфигурации K0.

Через F обозначается деформационный градиент макроуровня, который согласно принимаемой гипотезе Фойгта однороден в рамках представительного объема. Принимается гипотеза, что первый тензор Пиола–Кирхгоффа kI удовлетворяет условию равновесия в пределах каждого зерна (но не между ними). Записывается работа внешних сил по объему агрегата, которая представима суммой интегралов по подобъемам, далее используется теорема Гаусса–Остроградского:

где Vg – объем g-го зерна, ∆t – разница усилий между зернами по границе зерна; Sint – межзереннная граница в агрегате. Заметим, что пер-

вый член правой части является суммой по всем межзеренным границам в агрегате.

Условия однородных перемещений на внешней границе Sext можно представить в виде u = F x . Тогда последнее выражение можно записать следующим образом:

156

Далее авторами работы принимается существенное допущение, лежащее в основе процедуры осреднения, которое состоит в том, что второе слагаемое левой части (7.51) пренебрежимо мало по отношению к остальным слагаемым. Отметим сомнительность этой гипотезы и отсутствие каких-либо попыток ее обоснования со стороны авторов цитируемой работы. Тогда (7.51) можно записать:

Полагая F однородным по всему объему поликристаллического агрегата, (7.52) приводится к виду:

Данная модель использовалась для вычисления напряженно-де- формированного состояния упрочняющегося материала ГЦК-поликрис- талла. Авторы работы отмечают, что предлагаемая модель пригодна для описания формирования текстуры материала. Проанализировано влияние упрочнения на текстуробразование и рассмотрено влияние параметра скоростной чувствительности m на текстурообразование. Хорошее согласование с экспериментами показывают результаты расчетов при принятой низкой скоростной чувствительности (использовано m = 0,005); уменьшение этого параметра приводит к более четко выраженной текстуре, что не так хорошо согласуется с экспериментальными данными. В работе представлены обратные полюсные фигуры при различных схемах нагружения (сжатие, растяжение) и на различных стадиях деформирования.

Подробно рассмотрена процедура численного решения. Исследовалось поведение поликристаллической меди (закон распределения начальной ориентации зерен – равномерный) при растяжении и сжатии в условиях осевой симметрии и плоскодеформированного состояния. Использовались смешанные граничные условия, объемными силами пренебрегалось, принята гипотеза Фойгта; в качестве процедуры определения осредненных напряжений для представительного объема поликристалла принято осреднение по объему. Приведены результаты рас-

157

чета развития текстуры, отмечается существенное влияние на её эволюцию параметра латентного упрочнения. Представлены расчетные кривые «интенсивность напряжений – интенсивность деформаций» для различных значений параметра латентного упрочнения. Отмечается достаточно быстрый (при εи ≈ 0,1) выход упрочнения на уровень насы-

щения; дальнейший рост интенсивности напряжений при больших деформациях ( εи ≥ 0, 4 ) связывается с формированием текстуры («геомет-

рическое упрочнение»).

Для случая комбинированного нагружения (растяжение – сжатие с одновременным сдвигом) при различных предварительных деформациях растяжения и сжатия построены условные «поверхности текучести» с различным допуском на неупругие деформации. Из полученных расчетных кривых видно, что предлагаемая модель качественно описывает образование «носика» на поверхности текучести в направлении нагружения, уплощение тыльной части поверхности, эффект Баушингера.

К работе [64] вплотную примыкает работа [114]. В работе рассматривается упруговязкопластическая модель неупругого деформирования поликристалла. В отличие от более ранней работы [64] в [114] учитывается термоактивируемое движение дислокаций; законы упрочения основаны на модели «механического порогового напряжения»

(MTS – mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом

[93]. Отмечается, что модель способна описывать отклик материала на макроуровне и эволюцию кристаллографической текстуры. Численное моделирование проводилось для поликристалла тантала (ОЦК-решетка) коммерческой чистоты при деформациях около 60 %; скорость нагружения варьировалась в широких пределах от квазистатического нагружения до скорости деформирования 30 с–1; изменения температуры были в диапазоне от 200 до 525 ºС.

В цитируемой работе также используется мультипликативное разложение деформационного градиента (транспонированного градиента места):

где fe – упругая составляющая деформационного градиента, fin – неупругая составляющая, описывающая эффективное движение дислокаций по СС. В силу изохоричности неупругих деформаций det (fin) = 1, det (fe) >0.

158

Вводятся в рассмотрение следующие меры напряженного состояния: первый тензор Пиола–Кирхгоффа kI , второй тензор Пиола–

Кирхгоффа k IIx в разгруженной конфигурации Kx:

k I = det (f )f −1 σ (kTI = det (f )σ f −T ),

(7.55)

k IIx = det (f e )f e−1 σ f e−T ,

где σ – тензор напряжений Коши. Определяется тензор упругих деформаций Коши–Грина в разгруженной конфигурации Kx:

Отмечается, что неупругий градиент скорости перемещений полностью определяется движением краевых дислокаций по известным СС и представим в виде

(k ) (k )

где b , n – единичные векторы в направлении вектора Бюргерса

и нормали k-й СС. Авторы цитируемой работы отмечают, что выражения для скоростей сдвига по СС можно описать степенными соотношениями вида [105]

жения сдвига, γ0 – скорость сдвига при сдвиговых напряжениях τ(k ) , рав-

ных критическим, m – параметр, характеризующий скоростную чувствительность материала (модель называется независимой от скорости, если m → 0 ). Однако такое упрощенное описание скоростей сдвигов СС пригодно для вязкопластических материалов только в узком диапазоне скоростей деформаций и температур, но не пригодно для описания ди-

159

намических нагружений, в связи с чем предлагается модифицировать это соотношение, опираясь на уравнение Орована.

Скорость сдвига k-й CC может определяться соотношением Орована [147], которое отражает физическую картину движения дислокаций при плотности подвижных дислокаций ρ(k ) с модулем вектора Бюргерса b:

где v(k ) – величина средней скорости движения дислокаций по k-й СС, которая в общем виде является функцией сдвиговых напряжения τ(k ) , критических напряжений τ(ck ) и абсолютной температуры θ:

Отмечается, что критические напряжения сдвига характеризуют силу взаимодействия подвижных дислокаций и препятствий, плотность и взаиморасположение этих препятствий:

Для средней скорости движения дислокаций по k-й СС при сдвиговых напряжениях принимается:

Здесь τ(ck ) (0) – критические напряжения сдвига при абсолютной температуре, равной нулевой, при этом полагается, что превышение сдвиговыми напряжениями на СС значения τ(ck ) (0) невозможно.

Сопротивление сдвигу τc(k ) (0) при абсолютном нуле температуры

называется «механическим пороговым напряжением» (MTS – mechanical threshold stress) [93, 112]. Авторы работы отмечают, что в реальных материалах в силу флуктуаций микроструктуры скорость дислокаций не

160