Физические теории пластичности
..pdf
y |
k +1 |
= y |
|
+ h |
(1− α) f ( x |
, y |
|
) + α f |
x |
|
+ |
h |
, y |
|
+ |
h |
f ( x |
, y |
|
) |
|
k |
k |
k |
|
k |
|
k |
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
2α |
|
|
2α |
k |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с коэффициентом α = 1 . 2
На третьей итерации можно ожидать повышения порядка аппроксимации до третьего и т.д. Однако необходимо иметь в виду, что сама исходная схема Адамса–Моултона (8.40) имеет второй порядок, а значит, целесообразно ограничивать общее число итераций двумя (так как точность выше второго порядка никак не достижима только за счет более точного определения yk +1 как решения (8.40)). Алгоритм реализации
схемы Адамса–Моултона для системы уравнений аналогичен приведен-
ному выше с заменой скалярных переменных |
на векторные ( y → { y}) . |
Согласно вышеприведенному подходу |
итерационного определе- |
ния значений неизвестных на конец шага из схемы Адамса–Моултона второго порядка получаются следующие соотношения для определения вектора неизвестных на конец шага { yk +1} :
{yk+1} ={yk } + |
h |
({ f ( xk , y1k ,…, ynk )}+{ f (xk+1, y1k |
(1) ,…, ynk |
(1) )}) = |
|
|||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
={y |
} + |
h |
{ f ( xk , y1k ,…, ynk )}+ |
|
|
|
|
(8.43) |
||
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
2 { f (xk+1, y1k +h f1 ( xk |
, y1k ,…, ynk ),…, ynk |
+h fn ( xk , y1k |
,…, ynk ))} |
|||||
|
|
|||||||||
где использованы обозначения:
y |
( x) |
1 |
( x) |
y2 |
|
{y} = |
|
...
yn ( x)
– вектор неизвестных,
f |
( |
|
|
1 |
|
f |
2 ( |
|
{ f } = |
|
|
|
|
( |
fn |
||
x, y |
( x),..., y |
n |
( x)) |
|
1 |
|
|
||
x, y1 ( x),..., yn |
||||
( x)) |
||||
|
|
|
– вектор правой части. |
|
|
... |
|
|
|
x, y |
( x),..., y |
n |
( x)) |
|
1 |
|
|
||
211
Схему (8.43) также называют схемой «предиктор-корректор»: в соответствии с ней на первой итерации каждого шага по времени скоростные соотношения интегрируются по явной схеме Эйлера (вычисляются y1k (1) ,…, ynk (1) ), на второй итерации, по сути, происходит уточнение
найденных по схеме Эйлера неизвестных.
Рассмотрим процедуру интегрирования уравнений модели на некотором временном шаге t [tk , tk +1 ]. На начало шага t = tk известны значения параметров отклика и всех внутренних переменных: напряже-
ния макроуровня Σ(k ) ; для каждого кристаллита: |
σ(k ) , |
γ((ik)) , |
τ((ik)) , τC(k()i ) , |
|||||||
i = 1,..., K , µ(k ) , o(k ) , |
Nm(k ) , |
m = 1,..., M , |
Ψ (k ) , π, β, b(i ) , n(i ) , m(i ) |
; также |
||||||
задано |
нагружение |
ˆ v(t) , |
для простоты рассмотрения |
алгоритма |
||||||
примем |
нагружение |
постоянным на |
шаге |
об |
ˆ v(t=) |
ˆ v(t |
|
|
||
ˆ v= |
k +1 |
) , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
об |
|
|
об |
|
|
W = skew( ˆ V) . |
||||
D = D(tk ) = D(tk +1 ) , D = sym( ˆ V) , W = W(tk ) = W(tk +1 ) , |
||||||||||
Необходимо в результате интегрирования уравнений двухуровневой модели на шаге t [tk , tk +1 ] определить значения вышеперечисленных
переменных на конец временного шага t = tk +1 .
I. На первой итерации выполняется интегрирование системы уравнений с помощью явной схемы Эйлера.
Вычисления на мезоуровне
1. В цикле по кристаллитам осуществляются вычисления скоростей сдвигов, скоростей критических напряжений, определяются сдвиги и критические напряжения на конец шага для первой итерации (индекс кристаллита опущен).
1а) Определяются скорости сдвигов и сдвиги на конец шага:
γ(k )(1) = γ |
|
H |
( |
τ(k ) |
− τ(k ) |
) |
|
τ((ik)) |
|
|
1/ m sign ( |
τ(k ) ), τ(k ) = b(k )n(k ) : σ(k ) , i = 1,..., K , |
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
τc(k(i)) |
|
||||||||||||
(i ) |
|
0 |
|
|
(i ) |
c(i ) |
|
|
|
|
(i ) |
(i ) |
(i ) (i ) |
||
din(k )(1) |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ γ((ik))(1)m((ik)) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ((ik)+1)(1) |
= γ((ik)) |
+ ∆ t γ((ik))(1) , |
i= 1,..., K. |
|
|
|
|||||||||
212
1б) Находятся скорости критических напряжений и критические напряжения на конец шага:
τc(k(i)(1)) = f (γ((ik)) , γ((ik))(1) ) , |
i = 1,..., K , |
τc(k(i+)1)(1) = τc(k(i)) + ∆ t τc(k(i)(1)) |
, i= 1,..., K. |
2. В цикле по кристаллитам осуществляются вычисления скоростей и значений на конец шага остальных переменных мезоуровня для первой итерации (индекс кристаллита опущен). Разделение на два цикла выполнено для реализации предлагаемой модели поворота, где спин решетки кристаллита зависит как от скоростей неупругих сдвигов в нем, так и от скоростей неупругих сдвигов в соседних зернах.
2а) Определяется скорость моментных напряжений относительно КСК:
|
K |
(mr )m(k )(1) = µ qm(k ) × ∑ γ((ik))(1)n((ik))b((ik))− |
|
|
i |
K
∑ γ(mj()k )(1) j
nm(k )bm(k ) qm(k ) ,
( j ) ( j )
m = 1,..., M ,
(µr )m(k )(1) = −Є (mr )m(k )(1) , m = 1,..., M ,
M
(µr )(k )(1) = ∑(µr )m(k )(1) .
m=1
2б) Находится «решеточная» составляющая поворота ω2 :
(k )(1) |
A |
(µ |
r |
) |
(k )(1) |
+ |
H µ |
(k ) |
, при |
µ |
(k ) |
= |
µc |
и µ |
(k ) |
: (µ |
r |
) |
(k )(1) |
≥ 0, |
||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|||||||
ω2 |
= |
1 |
(µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
впротивномслучае. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
2в) Определяются «материальная» составляющая поворота и полный спин решетки:
ω1 |
= |
1 |
( ˆ v − |
ˆ v−) ∑ |
1 |
γ |
(i ) |
(b(i ) |
n(−i ) |
n(i ) |
b(i )−) (β |
( k ) |
: σ |
) d |
+ |
|
(k )(1) |
|
T |
|
K |
|
i ( k )(1) |
( k ) |
( k ) |
( k ) |
( k ) |
|
( k ) |
in ( k )(1) |
|||
|
|
2 |
|
|
i =1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+din ( k )(1) (β( k ) : σ( k ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ω(k )(1) |
= ω (k )(1) |
+ ω (k )(1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213
2г) Находится скорость моментных напряжений относительно ЛСК:
m(k )(1) = ω(k )(1) m(k )
µ(k )(1) = −Є m(k )(1) .
M
− m(k ) ω(k )(1) + ∑(mr )m(k )(1) , m=1
2д) Определяются моментные напряжения на конец шага:
µ(k +1)(1) = µ(k ) + ∆ t µ(k )(1) .
2е) Находятся скорости изменения нормалей и их ориентация на конец шага:
m(k )(1) = m(k ) m(k ) m(k ) − ˆ m(k ) =
q (q D q )q v q , m 1,..., M ,
qm(k +1)(1) = qm(k ) + ∆ t qm(k )(1) , m = 1,..., M .
2ж) По тензору спина определяется соответствующий вектор скорости поворота:
φ(k )(1) = 1 Є: ω(k )(1) .
2 2з) Находится ориентационный тензор (совмещающий кристалло-
графическую и лабораторную системы координат) после первой итерации путем последовательного определения:
– оси поворота
e(k )(1) |
= |
φ(k )(1) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
| φ(k )(1) |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– угла поворота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ φ(k )(1)= ∆ t | φ(k )(1) | , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
– тензора поворота за шаг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆ R |
(k )(1) |
|
φ |
(k )(1) |
1)e |
(k )(1) |
e |
(k )(1) |
cos(∆ |
φ |
(k )(1) |
sin(∆ |
φ |
(k )(1) |
(k )(1) |
I , |
|||||
|
= (cos(∆ |
|
|
+) |
|
|
+ |
|
+)I |
|
) e × |
||||||||||
– ориентационного тензора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
O(k +1)(1) = ∆ R(k )(1) |
O(k ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Примечание. Тензор O связывает компоненты произвольного век- |
|||||||||||||||||||||
тора в кристаллографической aКСК |
, i = 1, 2, 3 , |
и лабораторной системе |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат aiЛСК, i = 1, 2, 3 :
214
aiКСК = OijЛСКaЛСКj , i = 1, 2, 3 ,
aЛСКj = OЛСКji aiКСК, i = 1, 2, 3 ,
где OijЛСК – компоненты O в лабораторной системе координат. Аналогичные преобразования для компонент произвольного тен-
зора второго ранга Т на R3 принимают вид:
TijКСК = OinЛСКTnmЛСКOЛСКjm = OinЛСКOЛСКjm TnmЛСК ,
TijЛСК = OniЛСКTnmЛСКOmjЛСК = OniЛСКOmjЛСКTnmЛСК ,
для тензора четвертого ранга –
GijklКСК = OinЛСКOЛСКjm OkpЛСКOkqЛСКGnmpqЛСК ,
GijklЛСК = OniЛСКOmjЛСКOpkЛСКOqkЛСКGnmpqКСК .
2и) Определяются значения b((ik)+1)(1) , n((ik)+1)(1) , m((ik)+1)(1) , c(k +1)(1) , B(k +1)(1)
(по O(k +1)(1) и известным компонентам в кристаллографической системе координат с использованием вышеприведенных соотношений).
2к) Находятся скорости напряжений и напряжения:
σ(k )(1) = ω(k )(1) σ(k ) − σ(k ) ω(k )(1) + п(k ) : (D − din (k )(1) ) ,
σ(k +1)(1) = σ(k ) + ∆ t σ(k )(1) .
3.Вычисления на макроуровне
3а) Определяются значения внутренних переменных макроуровня:
–тензор спина
Ω(k )(1) =< ω(k )(1) > ,
–тензор эффективных упругих свойств, его флуктуаций, флуктуаций деформации скорости, спина и напряжений:
П(k ) =< п(k ) > ,
п(k )′ = п(k ) − < п(k ) >, din(k )(1)′ = din(k )(1) − < din(k )(1) >, ω(k )(1)′ = ω(k )(1) − < ω(k )(1) >, σ(k )′ = σ(k ) − < σ(k ) >,
– неупругая составляющая тензора деформации скорости
215
Din(k )(1) =< din(k )(1) > + (П(k ) )−1 |
: < п(k )′ : din(k )(1)′ > − |
|
− (П(k ) )−1 |
: ( < ω(k )(1)′ σ(k )′ > − < σ(k )′ ω(k )(1)′ > ). |
|
3б) Находятся скорости напряжений и напряжения после первой итерации.
Σ(k )(1) = −Ω(k )(1)T Σ(k ) − Σ(k ) Ω(k )(1) + П(k ) : (D − Din(k )(1) ) ,
Σ(k +1)(1) = Σ(k ) + ∆ t Σ(k )(1)
II. Выполняется вторая итерация схемы Адамса–Моултона, находятся значения переменных на конец шага.
Вычисления на мезоуровне
1. В цикле по кристаллитам осуществляются вычисления скоростей сдвигов, скоростей критических напряжений, определяются сдвиги и критические напряжения на конец шага для второй итерации (индекс кристаллита опущен).
1а) Определяются скорости сдвигов, скорость деформации и сдвиги на конец шага:
|
|
|
|
τ((ik)+1)(1) |
|
|
1/ m |
|
|
||
γ((ik))(2) = γ0 H (τ((ik)+1)(1) |
− τc(k(i+)1)(1) ) |
|
sign (τ((ik)+1)(1) |
), |
|||||||
τc(k(i+)1)(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
τ((ik)+1)(1) |
= b((ik)+1)(1)n((ik)+1)(1) : σ(k +1)(1) , |
|
|
||||||||
din(k )(2) |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ γ((ik))(2)m((ik)+1)(1) , |
|
|
|||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
γ((ik)+1) = |
γ((ik)) + |
∆ t |
(γ |
((ik))(1) +γ((ik))(2) ) , i = 1,..., K. |
|
||||||
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1б) Находятся скорости критических напряжений и критические напряжения на конец шага:
τc(k(i)() |
2) |
= f (γ((ik)+1)(1) , γ((ik))(2) ) , i =1,..., K , |
||||
τc(k(i+)1) |
= τc(k(i)) |
+ |
∆ t |
(τc(k(i)(1)) + τc(k(i)() |
2) ) , i = 1,..., K. |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2. В цикле по кристаллитам осуществляются вычисления скоростей и значений на конец шага остальных переменных мезоуровня для первой итерации (индекс кристаллита опущен).
216
2а) Определяется скорость моментных напряжений относительно КСК:
(mr )m(k )(2) |
= µ qm(k +1)(1) × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
n(mj()k +1)(1)b(mj()k +1)(1) |
|
||||
× |
∑ γ((ik))(2)n((ik)+1)(1)b((ik)+1)(1)− ∑ γ(mj()k )(2) |
|
|
|
qm(k +1)(1) |
||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(µr )m(k )(2) |
= −Є (mr )m(k )(2) , m = 1,..., M , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(µr )(k )(2) = ∑(µr )m(k )(2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2б) Находится «решеточная» составляющая поворота ω2 : |
|||||||||||||||||||
ω2 |
|
= |
|
1 |
(µr )(k )(2) |
+ |
1 |
µ(k +1)(1) , при |
|
|
|
µ(k +1)(1) |
|
|
|
= µc(k+1)(1) иµ(k+1)(1) : (µr )(k )(2) ≥ 0, |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(k )(2) |
|
A |
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(µ ) |
впротивномслучае. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
r (k )(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
2в) Определяются «материальная» составляющая поворота и полный спин решетки:
ω1 |
|
= |
|
1 |
( ˆ v − |
ˆ v−) ∑ |
1 |
γ |
(i ) |
(b(i ) |
n(i ) − n(i ) |
b(i ) |
) − |
|
(k )(2) |
|
|
T |
K |
|
i ( k )( 2 ) |
( k +1)(1) |
( k +1)(1) ( k +1)(1) |
( k +1)(1) |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
i =1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−(β( k +1)(1) |
: σ( k +1)(1) ) din ( k )( 2 ) + din ( k )( 2) (β( k +1)(1) |
: σ( k +1)(1) ), |
|
|
||||||||||
ω(k )(2) |
= ω (k )(2) |
+ ω (k )(2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2г) Находится скорость моментных напряжений относительно ЛСК:
M
m(k )(2) = ω(k )(2) m(k +1)(1) − m(k +1)(1) ω(k )(2) + ∑(mr )m(k )(2) , m=1
µ(k )(2) = −Є m(k )(2) .
2д) Определяются моментные напряжения на конец шага:
µ(k +1) = µ(k ) + ∆ t (µ(k )(1) + µ(k )(2) ) .
|
2 |
|
|
2е) Находятся скорости изменения нормалей и их ориентация на |
|||
конец шага: |
|
|
|
qm(k )(2) |
= (qm(k +1)(1) D qm(k +1)(1) ) qm(k +1)(1) − ˆ v qm(k +1)(1) , m = 1,..., M , |
||
qm(k +1) |
= qm(k ) + |
∆ t |
( qm(k )(1) + qm(k )(2) ) , m = 1,..., M , |
|
|||
|
2 |
|
|
217
при необходимости вектор нормали qm(k +1) нормируется.
2ж) По тензору спина определяется соответствующий вектор скорости поворота:
φ(k )(2) = 1 Є ω(k )(2) .
:
2 2з) Находится ориентационный тензор (совмещающий кристалло-
графическую и лабораторную системы координат) после второй итерации путем последовательного определения:
–«среднего» вектора скорости поворота
φ(k ) = (φ(k )(1) + φ(k )(2) ) / 2 ,
–оси поворота
e(k ) |
= |
|
φ(k ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| φ(k ) | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– угла поворота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∆ φ(k )= ∆ t | φ(k ) | , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
– тензора поворота за шаг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆ R |
(k ) |
|
|
|
|
(k ) |
1)e |
(k ) |
(k ) |
φ |
(k ) |
sin(∆ |
φ |
(k ) |
) e× |
(k ) |
I , |
= (cos(∆ φ |
+) |
|
e + cos(∆ |
+)I |
|
|
|||||||||||
– ориентационного тензора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
O(k +1) = ∆ R(k ) O(k ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2и) Определяются значения b((ik)+1) , n((ik)+1) , m((ik)+1) , п(k +1) , B(k +1) |
(по O(k +1) |
||||||||||||||||
и известным компонентам в КСК). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2к) Находятся скорости напряжений и напряжения: |
|
|
|||||||||||||||
σ(k )(2) |
|
= ω(k )(2) σ(k +1)(1) − σ(k +1)(1) ω(k )(2) + c(k +1)(1) : (D − din (k )(2) ) , |
|||||||||||||||
σ(k +1) |
= σ(k ) |
+ |
∆ t |
( σ(k )(1) + σ(k )(2) ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисления на макроуровне
3a) Определяются значения внутренних переменных макроуровня: тензор спина
Ω(k )(2) =< ω(k )(2) >,
–тензор эффективных упругих свойств, его флуктуаций, флуктуаций деформации скорости, спина и напряжений:
П(k +1)(1) =< п(k +1)(1) >
218
п(k +1)(1)′ = п(k +1)(1) − < п(k +1)(1) >, din(k )(2)′ = din(k )(2) − < din(k )(2) >, ω(k )(2)′ = ω(k )(2) − < ω(k )(2) >, σ(k +1)(1)′ = σ(k +1)(1) − < σ(k +1)(1) >,
– неупругая составляющая тензора деформации скорости
Din(k )(2) |
=< din(k )(2) > + (П(k +1)(1) )−1 |
: < п(k +1)(1)′ : din(k )(2)′ > − |
|||
− (П(k +1)(1) )−1 |
: ( < ω(k )(2)′ σ(k +1)(1)′ > − < σ(k +1)(1)′ ω(k )(2)′ > ). |
||||
3б) Находятся скорости напряжений и напряжения после второй |
|||||
итерации. |
|
|
|
|
|
Σ(k )(2) |
= −Ω(k )(2)T Σ(k +1)(1) − Σ(k +1)(1) Ω(k )(2) + П(k +1)(1) : (D − Din(k )(2) ) |
||||
Σ(k +1) |
= Σ(k ) + |
∆ t |
( Σ(k )(1) + Σ(k )(2) ) . |
||
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
Таким образом, в результате вышеприведенных операций будут определены значения всех необходимых переменных на конец шага.
Отметим, что затраты машинного времени можно снизить при использовании параллельных вычислений: разбивать всю выборку кристаллитов, соответствующую представительному объему макроуровня, на несколько частей, расчеты на текущем шаге для которых проводить на отдельных вычислительных узлах.
ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 8
1.Назовите основные классификационные признаки многоуровневых моделей.
2.Какие гипотезы применяются в многоуровневых моделях для связи переменных различных уровней? Проведите их анализ.
3.Опишите элементы мезоуровня, используемые в многоуровневых моделях, приведите их основные характеристики.
4.Какое физическое уравнение обычно используется в качестве определяющего соотношения на макро- и мезоуровне?
5.Приведите схему построения двухуровневой модели, перечислите ее достоинства и недостатки.
6.Опишите процедуру согласования определяющих соотношений двухуровневой модели.
7.Приведите основные понятия, используемые при построении модели ротации решетки. В чем состоит отличие предлагаемой модели
219
«решеточного поворота» от известных моделей ротации (Тейлора, «материального поворота»)?
8.Запишите соотношение для определения вектора моментных напряжений, проведите его физический анализ для случая одиночного скольжения дислокаций при различной ориентации СС и границ кристаллита.
9.Приведите и проанализируйте соотношение для скорости «решеточного поворота».
10.Приведите алгоритм реализации метода Адамса–Моултона для ОДУ с векторными переменными.
11.Опишите алгоритм реализации двухуровневой упруговязкопластической модели.
12.Предложите модификацию вышеуказанного алгоритма для исследования неизотермических процессов деформирования.
220