- •1.1. Характерные особенности современных НИ
- •1.2. Типовая структура АСНИ
- •1.3. Задачи, решаемые АСНИ
- •1.3.1. Задачи автоматизации экспериментальных исследований
- •1.3.2. Автоматизация этапов НИ, носящих творческий характер
- •1.5. Экономический эффект от автоматизации НИ
- •1.6.1. Экспериментальные исследования
- •1.6.2. Цели автоматизации экспериментальных исследований
- •1.6.3. Назначение АСНИ-Э
- •1.6.5. Структуры АСНИ-Э
- •1.6.6. Функциональная структура АСНИ-Э
- •1.6.7. Основные направления работ по созданию АСНИ-Э
- •Контрольные вопросы
- •2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •2.3. Второй способ оценки спектральной плотности
- •2.4. Получение вторым способом сглаженной оценки спектральной плотности
- •2.5. Оценка взаимных корреляционных функций двух эргодических случайных процессов
- •Контрольные вопросы
- •3. ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •3.1. Оценка частотной характеристики исследуемого объекта, представляющего собой линейную динамическую систему
- •1 GAfk)
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
- •4.1. Генеральная и выборочная совокупность случайной величины X
- •4.2. Задачи, решаемые при статистической обработке результатов измерений случайной величины X
- •4.3. Оценивание по выборке статистических характеристик случайной величины X
- •4.4. Общие свойства точечных оценок
- •4.5. Методы получения точечных оценок параметров закона распределения случайной величины X
- •4.5.1. Метод моментов
- •4.5.2. Метод максимума правдоподобия
- •4.6. Законы распределения, наиболее широко используемые при статистической обработке результатов измерений
- •4.6.1. Нормальное распределение
- •4.6.2. Распределение %2
- •4.6.3. Распределение Стьюдента
- •4.6.4. Распределение Фишера
- •4.7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •4.8. Корреляционный анализ
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- •5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта
- •5.2. Метод наименьших квадратов
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Решение задачи определения математической модели исследуемого объекта
- •5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта
- •5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •6.1. Теория эксперимента
- •6.2. Основные понятия планирования эксперимента
- •6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
- •6.4. Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
- •6.4.1. Вид модели
- •6.4.2. Полные факторные планы
- •6.4.3. Дробные факторные планы
- •6.5.1. Вид модели
- •6.5.2. Применение полных факторных планов для моделей типа (6.40)
- •6.5.3. Применение дробных факторных планов для модели типа (6.40) и порядок смешивания оценок коэффициентов
- •6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р
- •6.6. Планы для квадратичных моделей
- •6.6.1. Вводные замечания
- •6.6.2. Ортогональные центральные композиционные планы
- •Контрольные вопросы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Файзрахманов Рустам Абубакирович, Липатов Иван Николаевич
- •АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
\H (f)\eJ^ |
>_ I Gxy(f) |
|^/б^,(/) |
|
о.ЛЛ |
|
Из (3.5) получим |
|
|
|Я (/) 1= 3 ^ |
, |
|
1 |
1 GAf) |
(3.5)
(3.6)
Ф( /) = © ,,(/)• |
(3-7) |
На рис. 3.2, а показан примерный график функции |
|#(/)|. На |
рис. 3.2, б приведен примерный график функции ф(/). |
|
Рис. 3.2
Определим оценки АЧХ и ФЧХ исследуемого объекта для дис-
кретных частот / к = kf к = 0,1,2,...,«?* Из (3.6), (3.7) с уче-
т
том соотношений (2.60), (2.61) получим
HL |
(3.8) |
1 GAfk) |
|
Ф* - ф(Л) - arctg% Л |
(3.9) |
Gк j
Таким образом, по формулам (3.3), (3.8) определяется АЧХ иссле дуемого объекта, а по формуле (3.9) вычисляется ФЧХ исследуемого объекта.
3.2. Использование оценок спектральных плотностей в задаче фильтрации для определения
качества работы фильтра
На рис. 3.3 показана схема, поясняющая процесс формирования ошибки фильтрации е(/).
Рис. 3.3
На рис. 3.3 обозначено: g(t) - полезный случайный сигнал, изме ряемый датчиком; n{t) - помеха (погрешность измерения датчиком сигнала g(t)); x(t) - измеренный случайный сигнал на выходе датчи ка (сигнал на входе фильтра); y(t) - сигнал на выходе фильтра; е(/) - суммарная погрешность измерения сигнала g(t) или ошибка фильт рации; W (jf) - частотная характеристика фильтра. Случайные сиг налы g(t) и n(t) не коррелированы между собой.
Изображенная на рис. 3.3 схема может быть представлена в сле дующем виде (рис. 3.4).
На рис. 3.4 обозначено: Sg(f) - сглаженная оценка двухсторонней
спектральной плотности сигнала g(t) ; Sn(f) - сглаженная оценка
двухсторонней спектральной плотности помехи n(t); е„(/) - случай
ная составляющая ошибки фильтрации e(t) ; eR(t) |
динамическая со |
|
ставляющая ошибки фильтрации е(/); S (/) - |
сглаженная |
оценка |
двухсторонней спектральной плотности составляющей s„(/); S |
( f) - |
сглаженная оценка двухсторонней спектральной плотности состав
ляющей sR(0; |
w\ (jf) = w (Л) -1 • |
|
|
||
S' ( /) |
и S'Ei( /) определяются соотношениями: |
|
|||
|
|
stg(/ ) = |^10 / )f SK(/ ); |
(зло) |
||
|
|
5ел(/) =|^0/)Г5„(/). |
(3.11) |
||
Оценка дисперсии Д ошибки фильтрации e(t) |
вычисляется по |
||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
А |
= Д |
+ Д.., |
(3.12) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
= Я |
( / ) # ; |
(3.13) |
|
|
|
К |
( Я # |
(З.н) |
|
|
|
-00 |
|
|
Здесь Д |
- оценка дисперсии составляющей eR(0 |
ошибки фильтра |
|||
ции е(/); |
Д |
- оценка дисперсии составляющей £„(/) ошибки фильт |
|||
рации е(/). |
|
|
|
|
|
Оценка среднеквадратического значения стЕ ошибки фильтрации |
|||||
s(/) определяется в виде |
|
|
|
||
|
|
|
З е = Д " . |
(3.15) |
|
Оценка р коэффициента фильтрации р вычисляется по формуле |
|||||
|
|
|
Р = ?^ |
(3.16) |
|
где с (| - |
оценка среднеквадратического значения |
<уп помехи n{t). |
Оценка р показьшает, во сколько раз оценка стЕ меньше оценки ст„. Оценка р характеризует качество работы фильтра.
3.3.Использование оценок спектральных плотностей
взадаче синтеза оптимального фильтра
На рис. 3.5 показана схема, поясняющая процесс формирования ошибки фильтрации e(t).
На рис. 3.5 обозначено: т(() - полезный случайный сигнал; n(t) -
помеха; x(t) - сигнал на входе оптимального фильтра; z(t) - сигнал на
выходе оптимального фильтра; H (jf ) - оценка частотной характери стики оптимального фильтра; m{t) и n{t) - некоррелированные между
собой случайные сигналы.
Будем определять оценку частотной характеристики оптимально го фильтра, обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки
воспроизведения полезного сигнала m{t) при наличии помехи |
п(1). |
Другими словами, критерий оптимальности J , используемый в зада |
|
че синтеза оптимального фильтра, имеет вид |
|
J = min 5^, |
(3-17) |
где 5е - оценка среднеквадратического значения ошибки фильтрации s(/); о2е - оценка дисперсии ошибки фильтрации б(г) .
Оценка оптимальной частотной характеристики фильтра опреде
ляется соотношением |
|
чО Л о |
(3.18) |
-t ^ О/) |
y(t) = m(t);
s x(f) = s m(f) + s„(/y, s yx(f) = s nu(f) = s m(f);
ФОЛ|2= s x(f) = s m(f) + s n( / y , >
ФОЛ|2=ФОЛФ'ОЛ;
Ф’ОЛ =Ф(-./Л.
Здесь Sm( /) - сглаженная оценка двухсторонней спектральной плот ности полезного сигнала m(t); Sn(f) - сглаженная оценка двухсто ронней спектральной плотности помехи n{t); Sx( /) - сглаженная оценка двухсторонней спектральной плотности сигнала x(t); S vx( f)
-сглаженная оценка взаимной спектральной плотности сигналов y(t)
их(?); Smx( f ) - сглаженная оценка взаимной спектральной плотно сти сигналов m(t) и x(t).
Представим H (jf ) в виде
Я (# ) = 1 т ” , |
(3.20) |
|
где |
|
|
= |
0 |
(3.21) |
|
|
|
я С |
/ |
|
№ = |
t > 0. |
(3.22) |
-iv ОЛ |
|
|
Двойной интеграл в формуле (3.18) вычисляется просто, если от- |
||
s yx(f) |
представлено дробно-рациональнои |
|
ношение --------- может быть |
||
V ол |
|
|
функцией, которую несложно разбить на реализуемое и нереализуе мое слагаемое (операция «расщепления»):
Щ.Ю = |
1 |
1 1 Х(Л" |
|
ФОЛ _Ф’00_+ |
ФОЛ _Ф*ОЛ_ |
причем реализуемая часть отличается знаком «+», а нереализуемая - знаком «-».
Тогда формула (3.18) для оценки частотной характеристики опти мального фильтра с учетом условия физической реализуемости запи
сывается так: |
|
1 |
(3. 23) |
Н(Ж> = |
|
Ш ) |
v'CJO |
где квадратные скобки со знаком «+» внизу означают, что второй множитель в формуле (3.23) представляет собой функцию j f с по люсами в верхней полуплоскости, иными словами, в разложении на простые дроби рациональной дроби, заключенной в квадратные скобки, должны быть отброшены все простые дроби, соответствую щие корням знаменателя, расположенным в нижней полуплоскости переменной j f
Пример 3.1. Сглаженная оценка двухсторонней спектральной
плотности Sm(f) полезного сигнала m(t) имеет вид |
|
?Da |
(3-24) |
$ .(/) = “ Г 5 ?". |
где Д а - соответственно дисперсия и коэффициент нерегулярности
сигнала »»(/). |
|
Сглаженная оценка двухсторонней спектральной |
плотности |
S„( /) помехи n(t) определяется соотношением |
|
-?„(/) = с2, |
(3.25) |
где с2 - интенсивность белого шума (помеха n{t) представляет собой белый шум).
Найдем оценку частотной характеристики H(jf) оптимального фильтра, обеспечивающей минимум 5Е, где а Е - оценка среднеквад
ратического значения ошибки фильтрации e(t).
Определим сглаженную оценку двухсторонней спектральной
плотности Sx(f) сигнала x(t). Имеем |
|
||
$ Л Л = 1 ЛЛ + 1 ( Л = |
с2(Р + # Х Р -7 /) |
(3.26) |
|
(а + у/)(а - jf) ’ |
|||
|
|
|
+ СГ |
|
(3.27) |
||
Сглаженная оценка взаимной спектральной плотности Syx( f ) сиг |
||||||
налов y(t) и x(t) определяется соотношением |
|
|
||||
s„ ( / ) = « , ( / ) = 4 ^ |
|
|
||||
|
|
а |
г + / г |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Da |
.n |
(3.28) |
|
Syx(f) = Sm( f ) = т А rv |
||||||
|
|
(а + jf)(a - jf) |
|
|||
Из (3.19) имеем |
|
|
|
|
|
|
Sx( f )=чКуЛФЧуУ)- |
|
(3.29) |
||||
Из (3.26), (3.29) получим |
|
|
|
|
|
|
ФОУ) = сф + jf). |
|
(3.30) |
||||
|
|
а + у/ |
|
|
|
|
v ’UO = w - j f ) = с(р у |
• |
(3.31) |
||||
|
|
|
а - у / |
|
|
|
Подставим соотношения (3.28), (3.30), (3.31) в формулу (3.23). |
||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
т ю = ^ : р |
2^ |
|
1 |
|
(3.32) |
|
(а + у/Х р-у/). |
||||||
С ® + УЯ |
|
|||||
Приведем выражение в квадратичных скобках в формуле (3.32) |
||||||
к виду |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4._. + ^ 2 |
|
(3.33) |
||
(а + у/Х Р -у/) |
a +j f |
р - у / |
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
______ 1______ |
(d2- dx) jf + р<7, +а<У2 |
(3.34) |
||||
(а + У/ХР-у/) |
|
(« + У/ХР-У/) |
||||
|
|
|||||
Из (3.34) имеем |
|
|
|
|
|
|
d2 - dt = 0; |
] |
|
(3.35) |
|||
|
|
|
|
|
Р^У, + аг/2 = 1.1
Из (3.35) определим d, и d2. Получим
d\ = d],
4 = ( а + Р)"'
или
4 = ( а+РГ';1
d2= (а + Р)"'.
Из (3. 32), (3. 33), (3. 36) имеем
|
|
|
(а + Р Г |
, (а + Р)-I |
|
с*Ф +Ю |
а + 7/ |
р-у/ |
|
Перепишем (3.37) в виде |
|
|
|
|
Я (# ) = - |
2Da |
OL+ j f |
-7 |
/ - (- ;p )J |
с"(а + р) |
Р+ у/ L / - ;a |
(3. 36)
(3.37)
(3.38)
В формуле (3.38) 1-е слагаемое в квадратных скобках содержит ко рень знаменателя в верхней полуплоскости комплексной плоскости, т.е.
/ = /«, |
|
(3.39) |
где ja - корень знаменателя. |
|
|
Корень знаменателя ja покажем |
на |
комплексной плоскости |
(рис. 3.6). На рис. 3.6 обозначено: |
R e / |
- действительная ось; |
Imf - мнимая ось. |
|
|
В формуле (3.38) 2-е слагаемое в квадратных скобках содержит ко рень знаменателя в нижней полуплоскости комплексной плоскости, т.е.
|
/ = ~УР, |
|
(3.40) |
|
где -у'р - корень знаменателя (см. рис. 3.6). |
|
|||
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
r ^ i _ |
+ ___ I ___ j |
f ~ J a a + Jf |
|
|
/ - У а |
/ - ( - / Р ) |
|
||
Тогда формула (3.38) примет вид |
|
|
||
|
2Da |
1 |
(3.41) |
|
н а л = с2(а + р) |
р +j f |
|||
|
Следовательно, соотношение (3.41) определяет оценку частотной характеристики оптимального фильтра.
3.4. Использование оценок спектральной плотности
для определения оценки функции когерентности
Оценка функции когерентности определяется соотношением вида
% ( /) = |
с ,Д Л | |
(3.42) |
с х( Л - о у( Л
Оценка функции когерентности при всех / удовлетворяет условию
0 < у 2,(/)< 1 . |
(3.43) |
Если сигналы [х(/)-ю*] и [X /)- /” *] полностью независимы
друг от друга, то оценка функции когерентности будет равна нулю. Если оценка функции когерентности оказывается больше нуля
именьше единицы, то возможны три случая:
1)результаты измерений содержат посторонний шум;
2)исследуемый объект, связывающий сигналы y{t) и x{t),
нелинеен;
3) выход y{t) определяется не только входом x(t), но и другими
входами.