Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

Подставляя полученные выражения в условия (2.118) Ко­ ши - Римана, приходим к равенствам

Умножая первое равенство на coscp, второе - на sincp, а за­

тем складывая, находим

Умножая первое равенство на sincp , второе - на coscp,

а затем вычитая из первого второе, получим

Стало быть,

Отсюда при г * 0 (при z * 0)

2Vr -e 2

Учитывая последнее соотношение, можно записать

(производная найдена для ветви функции Vz , расположенной справа).

2.17. Правила дифференцирования функции комплексного переменного. Аналитические функции

Из определения производной функции комплексного пере­ менного и свойств предела получаем основные правила диффе­ ренцирования, аналогичные соответствующим правилам диф­ ференцирования функций действительного переменного [3]. Пе­

(g(z0)* 0 ) также имеют производные в точке zo, причём

(а • f(z ) +р • g(z))'|(z = z0) = а • f \ z ) +p • g'(z)

' ( / ( Д g(z))'|(z = z0) = /'( z 0)-g(z0) + /( z 0)-g'(z0) (2.126)

Пример 2.25. Найти производную функции /(z ) = zm, где

т - целое отрицательное число.

Функция /(z ) = zm дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме точки z = 0, причём

Определение. Функцию fiz), определённую в окрестности точки z0 G С, называют аналитической (голоморфной) в этой точке, если fiz) дифференцируема в некоторой окрестности г0. Функцию, аналитическую в каждой точке области D с С , назы­ вают аналитической в этой области. Часто говорят о функции, аналитической в замкнутой области D , подразумевая под этим, что все точки D являются точками аналитичностиДг).

Существуют функции комплексного переменного, анали­ тические во всей комплексной плоскости С. Их называют целы­ ми функциями.

Для проверки функции на аналитичность пользуются кри­ терием дифференцируемости функции комплексного перемен­ ного. Приведём его.

Пусть дана функция f{z) = u{x,y)+iv{x,y). Выделим дейст­ вительную Re f(z) = и(х. у) и мнимую lm f(z) = v(x, у) части функции Дг), а затем проверим в окрестности точки z0(x0, уо) дифференцируемость функции и и v (установить непрерывность частных производных) и выполнение условий Коши - Римана.

Пример 2.26. Проверить на аналитичность функцию /(z ) = cos z

Запишем cos z = cos(x+ iy) =cosx• ch y - isinx- shу Соста­ вим функции H(x,y) = cosx-chy; Hv(x,y) = -siiu-shy, они диф­

ференцируемы в R', т.к. их частные производные

являются непрерывными в R2 При этом в R2 выполнены усло­ вия Коши - Римана. Это означает, что функция cosz является аналитической в С. Тогда

(cos z) = -sin z- ch у - icosx•sh у = -sin(x+ iy) =-sin z .

В заключение этого пункта рассмотрим вопрос о единст­ венности аналитической функции.

Теорема 1. Если /(z) - аналитическая в точке z = а функция и Да) = 0, то либо Дг) = 0 в некоторой окрестности этой точки, либо у точки z = а есть окрестность, в которой нет других нулей функции Дг), кроме z = а. Доказательство этой теоремы можно найти, например, в работе [1].

Теорема 2 (о единственности аналитической функции). Если две аналитические в области D c C функции f(z)

иfi(z) совпадают на множестве Е с D , которое имеет хотя бы од­ ну предельную точку а е D , то f\(z) =/ 2(z) всюду в области D.

Для доказательства рассмотрим функцию /(z ) = f {{z) - - Л 00, она является аналитической в области D как разность аналитических функций. На множестве Е с D по условию тео­ ремы f{ z )= 0. Надо показать, что f{ z ) = 0 в D, т.е. что множе­ ство M = { z e D :/(z ) = 0}, включающее Е, совпадает с D. Так как Е с М , то точка а, являясь предельной точкой множества Е,

М

Это означает, что z = а - нуль функции Дг). По теореме 1 либо /(г ) = 0 в некоторой окрестности г = а, либо у этой точки есть

окрестность, в которой нет других нулей функции j[z). В по­ следнем случае точка г = а не могла бы быть предельной дня множества М.

Итак, в некоторой окрестности точки z = а имеем f'{z)= 0. Очень часто на практике в теории функций комплексного переменного используют относительно упрощенный вариант

теоремы единственности. Сформулируем его в виде следствия. Следствие. Пусть функция Дг) является аналитической

в области D и Дг) = С = const на некоторой кривой у, лежащей в D, тогдаДг) = С = const и в самой области D.

Так как sin г и cos z - аналитические в С функции, то Дг) = = sin2z + cos2z - 1 также является аналитической в С функцией. Поскольку Дг) = 0, при z = х е R, то в силу следствия Дг) = О всюду в С.

2.18. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части

Пусть функция f(z) =u(x,y)+iv(x,y) является аналитиче­

ской в области D, кроме того, функции и(х,у) и v(x, у) имеют

непрерывные частные производные до второго порядка включи­ тельно.

Продифференцируем первое из условий Коши - Римана (2.118) по переменной х, а второе по переменной у, получаем

Складывая равенства (*) и учитывая, что смешанные производ­ ные функций не зависят от порядка дифференцирования в силу их непрерывности [3], находим

Аналогично находим

дх2 ду2

Действительную функцию и(х,у), имеющую непрерывные ча­ стные производные второго порядка в области D и удовлетво­ ряющую дифференциальному уравнению (2.130), называют гар­ монической функцией в D, а дифференциальное уравнение - уравнением Лапласа.

Уравнение Лапласа часто записывают в виде

Дм = 0, или У2и = 0,

где Д = V2 = — —н----j называют оператором Лапласа [11]. Gr­ ebe" ду‘

метим, что не любая пара гармонических функций образует аналитическую функцию. Функция /(г ) = м(х,у)+п’(.т,у) будет

аналитической. Если гармонические функции и(х,у) и v(x,y) связаны друг с другом условиями Коши - Римана, то их можно назвать сопряжёнными гармоническими функциями [4].

Замечание. Зная одну из сопряжённых гармонических в об­ ласти D функций и{х,у) и v{x,y), можно восстановить другую.

Покажем, что для всякой гармонической в односвязной об­ ласти D функции и(х,у) существует сопряжённая с ней гармо­ ническая в D функция v(x,_y). При этом функция v(x, у) опреде­ лена с точностью до постоянной.

Действительно, условия Коши - Римана (2.118) можно рас­ сматривать как систему дифференциальных уравнений относи­ тельно неизвестной функции v{x,y). При этом задача состоит в восстановлении функции по её частным производным. Соста­ вим выражение

Но это равенство верно, так как функция и(х,у) является гар­ монической. Поэтому в обозначенной области D существует та­ кая функция v(x,y), т.е. всюду в D верны равенства

3v ди

К ? )- С

дх д >

Функцию v(x,y) по её дифференциалу (2.132) можно восстано­ вить с помощью криволинейного интеграла

где точки (х0;у0) и (х,у) принадлежат области D.

Правая часть найденного уравнения не зависит от перемен­ ной х, поскольку

с точностью до постоянного слагаемого.

Если аналитическая функция восстанавливается по своей действительной или мнимой части через определение сопря­ жённой гармонической функции, то ответ будет получен в виде

f{z) = u(x,y)+iv(x,y).

Пример 2.28. Проверить, является ли функция и(х,у) =

= х2- у 2 + 2х действительной частью некоторой аналитической функции, и если является, то найти эту функцию.

т.е. она гармоническая на всей плоскости XOY и поэтому явля­ ется действительной частью некоторой аналитической в С

Следовательно, можно записать

v(*> у) = \{2х +2)dy +ф(х) = 2ху + 2у +ф(х).