Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfто для любого номера п можно указать такую точку z в круге |z| < 1, что \Rn{z)\>z0, где в качестве е0 можно взять произ
вольное положительное число, например, положить е0 = 1. То гда при 0 < s0 < 1 нельзя подобрать такой номер п , чтобы при
п> п во всех точках круга |z|<l выполнялось неравенство
|/?л(г)<е|. Это означает, по определению 3, нарушение условия равномерной сходимости на множестве {z.jz|<l}, т.е. сходи
мость рассматриваемого ряда в круге |z|<l не является равно
мерной.
Согласно неравенству треугольника имеем 1 = |l - z + z |< |l-z | + |z|,
и поэтому для замкнутого круга |z|< l-5,5e(0,l) получаем
|
|
л+1 |
[\—sV*+1 |
|
|
|
|
Взяв |
|
|l —z |> l —|z|> 5 . В этом случае Д,(г)=|— j|< -— |
||||
любое s0 > 0, |
потребуем, чтобы было выполнено неравенство |
|||
(i—sV,+1 |
|
|
принимая во |
|
------ -— <1. Отсюда (w + l)ln(l-5)<ln(e8) или, |
||||
внимание, что |
ln(l-5) < 0, |
имеем л + 1> ln(sS) |
. Таким обра |
|
|
|
ln(l - 6)' |
|
|
зом, выбрав п |
ln(s5) |
, убеждаемся, что при п > п |
дей- |
|
= |
||||
|
> (1 - 8 ) |
|
|
|
ствительно |
(z) | < е для всех точек z, принадлежащих замкну |
|||
тому кругу |z| < 1 - 8.
Утверждение. Если ряд (2.179) равномерно сходится на множестве М и cp(z) - ограниченная по модулю на множестве М
00
функция, то ряд Хф(2)' fn(z) равномерно сходится на М.
/1=0
Доказательство этого утверждения легко провести, исполь зуя определение 3. Пусть дано е > 0, тогда можно указать такой
номер п*, зависящий от е, что при п > п для всех г е М выпол
няется неравенство |^„(z) I < — . Следовательно,
А
1 > 0 0 •/*(*) = |ф00 | |
S/.W < А — = е, |
|
к=п+\ |
к-п+\ |
А |
при п> п и z е М . А это и означает, что ряд |
£cp(z)- f n(z) сх°- |
|
|
|
я=0 |
дится равномерно на множестве М.
Теорема 1 (критерий Коши [2]). Для равномерной сходимо сти ряда (2.179) на множестве М необходимо и достаточно, что
бы для каждого е >0 существовал такой номер п e N , что для
всех точек z е М при любых п > п и п* е N было выполнено неравенство
(2.182)
Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Если существует схосо
дящийся знакоположительный числовой ряд £ а п , такой, что,
п=0
начиная с некоторого номера п° e N , выполнено неравенство
\fn(z)\<an{n>n°), z e M , то ряд (2.179) равномерно сходится
на множестве М. Доказательства теорем 1 и 2 подробно рас смотрены в работе [2].
Замечание 1. Числовой ряд |
со |
, используемый в признаке |
л=0
Вейерштрасса, называют мажорантой ряда (2.179).
Теорема 3. Степенной ряд
£ c „ ( z - z 0)" |
(2.183) |
п=0
с кругом сходимости \ z - z 0\<R сходится равномерно в любом
замкнутом круге |z - z 0J<#,, где Ri <R.
Для доказательства выберем произвольное положительное
число R{ <R и рассмотрим такую точку z*, что \z*-z0\ = Rx.
В этой точке ряд (2.183) в силу теоремы Абеля сходится абсо
лютно, т.е. |
сходится числовой знакоположительный |
ряд |
||
I |
Для |
любой точки z |
в замкнутом |
круге |
/1=0 |
|
|
|
|
z - z (\ < R l |
имеем |
|z - z 0|< |z * -z 0|, |
откуда Сл(г - г 0)"|< |
|
С„(z* - 20 У . Поэтому согласно признаку Вейерштрасса
(см. теорему 2) ряд (2.183) сходится равномерно в замкнутом круге \ z - z 0\<Rv
Замечание 2. Если функциональный ряд сходится равно мерно на любом ограниченном замкнутом подмножестве данной области D, то такой ряд называют равномерно сходящимся внутри области D.
Свойства равномерно сходящихся рядов сформулируем в виде нескольких теорем.
со
Теорема 4. Если члены функционального ряда £ / я(г) не-
п-О
прерывны на множестве М, а сам ряд сходится на этом множе
стве равномерно, то сумма S(z) этого ряда также будет непре
рывной на М.
Теорема 5. Пусть все члены функционального ряда £ / n(z)
я=0
непрерывны на некоторой кусочно-гладкой дуге у кривой
f„{z) и этот ряд сходится на дуге у равномерно. Тогда этот ряд
можно почленно интегрировать:
js(z)dz={ £ / n(z)] dz = £ J/„(z). |
(2.184) |
у |
V \ n = 0 |
) |
/1 = 0 v |
Теорема 6. Если члены функционального ряда Y,fn(z) яв‘
п -0
ляются аналитическими функциями в области D и этот ряд схо дится равномерно внутри D, то справедливы утверждения:
1) Сумма S(z) этого ряда является аналитической функци
ей в области D.
2) Функциональный ряд можно дифференцировать почлен
но в области D любое число раз, т.е. для любого к е N |
верно |
||
равенство |
|
|
|
|
S (k){ z ) = t f (k){z\ |
z e D |
(2.185) |
|
л=О |
|
|
3) |
Ряд в правой части |
(2.185) сходится |
равномерн |
внутри D.
Доказательства этих теорем приведены в работах [7, 9]. Следствие. Сумма степенного ряда является аналитической
функцией в круге его сходимости. Степенной ряд можно по членно дифференцировать любое число раз в круге сходимости, а также интегрировать по любой кусочно-гладкой кривой, цели ком лежащей в круге сходимости.
2.25. Ряд Тейлора
Теорема 1. Если функцияДг) аналитична в круге | z - z0 \< R, то она представима в виде суммы степенного ряда
№ |
= £ с й(г - z 0)n, \ z - z 0\<R. |
(2.186) |
|
п=0 |
|
Доказательство. |
Пусть z - произвольная |
точка круга |
\z - ZQ\ < R .Выберем число г так, что г < R и круг |г - z0|< г со держит выбранную точку z Обозначим через L окружность |г -z0| < г (рис. 2.39). Так как функция f(z) аналитична в круге \z - z0\ < г и на его границе I , то согласно интегральной формуле Коши верно равенство
(2.187)
5 - г
Чтобы представить значения функции ftz) в точке z как сумму ряда, разложим в ряд правую часть равенства (2.187). С этой целью преобразуем выражение
i k
У
—-— следующим образом: |
|
|
j |
|
\ ~ z |
|
О |
\ |
|
|
|
/ ---► |
||
1 |
1 |
|
4 ^ |
X |
|
|
|
||
S -Z |
fe - z 0) - ( z - z 0) |
|
|
Рис. 2.39 |
|
1 |
1 |
|
|
|
f e - zo) |
i_ £ z £ o ’ |
|
|
|
|
t>~zo |
|
|
Для фиксированной точки z при ^ е L имеем
\ Z - Z n
< 1,
£>~Z0 г
так как | z —z0\< г согласно выбору числа г. Поэтому
z |
Zi |
= i y = |
i |
1 |
|||
3 U |
Zn |
п=0 |
i - q j_ £ T io ’ |
поскольку ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q, по модулю меньшим единицы. Таким обра зом, при %е L имеем
|
Z - Z . У |
(Z ~ZQУ |
(2.188) |
|
= г |
|
|
^ з ~ Z ^ |
Z0 J |
|
|
Заметим, что функциональный ряд в равенстве (2.188) справа имеет мажоранту
f .
-« |
- 2оУ” ' |
л *0 Г |
я=0Г |
где q |
* |
И -*0 |
! |
n . |
|
= J------- |
1 < 1, |
поэтому на основании признака Веиер- |
|
|
|
г |
|
|
штрасса равномерной сходимости функционального ряда этот ряд сходится на L равномерно. Учитывая это, подставим пред ставление (2.188) в (2.187) и проинтегрируем почленно. В ре зультате получим
|
|
ZQY* |
(2.189) |
||
сО |
” |
1 |
/fe)d ? |
||
|
|||||
|
|
|
|
||
/7 = 0 |
|
г * 1 к - ъ Г ' |
|
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
■ |
lt / f e ) ^ |
(2.190) |
||
|
2ЛЦ^-гоУ'*1 |
||||
|
|
||||
Из (2.189) получим (2.186).
Определение. Степенной ряд (2.186), коэффициенты кото рого находятся по формулам (2.190), называют рядом Тейлора для функции fiz) комплексного переменного z по степеням 2 - % При этом с„ в (2.186) называют коэффициентами Тейлора для функции комплексного переменного. Представление функции её рядом Тейлора называют разложением этой функции в ряд Тейлора.
Сравнивая (2.190) для вычисления коэффициентов с„ с формулой (2.173) для п-й производной аналитической функ ции, получим
f(")(z |
) |
(2.191) |
с„= — ^ |
, л = 0, 1,2, |
|
л! |
|
|
Теорема 2. Всякий степенной ряд, имеющий положитель ный радиус сходимости, является рядом Тейлора своей суммы.
Доказательство этой теоремы легко провести. Сумма S(z)
степенного ряда с0 + cl( z - z 0)+c2( z - z Q2 +... |
является анали |
тической функцией в круге сходимости, а сам ряд можно по членно дифференцировать любое число раз, т.е.
м |
f,c„n{n -1 )..(* - ^ + lX^ - г0Г* |
5 (A)(z) = J (c„(z - z0 У) |
|
n-k |
n-k |
Полагая в этих равенствах z = ZQ, находим
так как в этом случае все члены ряда, кроме первого, равны ну лю. Таким образом, коэффициенты степенного ряда вычисляют ся через производные суммы этого ряда по формулам (2.191). Значит, степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.
Следствие. Если аналитическая функция в окрестности точки z0 имеет представление в виде степенного ряда по степе ням z - z0, т о э т о представление единственно.
Теорема 3. Пусть функция^) анатитична в замкнутом кру ге \z - z0\ < г и на границе L :\z - z0\ = г этого круга удовлетво ряет неравенству |/( z ) |< ^ , тогда коэффициент ряда Тейлора
функции f{z) с центром в точке г0 удовлетворяет неравенствам:
\сп\ < ^ ,и = 0 ,1,2, |
(2.192) |
Для доказательства учтем, что |^- z0| = г при q е £ , и использу ем оценку интеграла (2.151), из (2.190) получаем
1 . /fe)d $ |
1 |
А-2лг |
А |
2 * [ fc - z 0Y+1 |
2к |
г '1+| |
г” ' |
Неравенство (2.192) называют неравенством Коши.
Теорема 4 (теорема Лиувилля). Целая функция, ограничен ная на всей плоскости, постоянна.
Доказательство теоремы. Подробное доказательство приве дено в [7].
Пример 2.38. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
z = 0 функцию |
* • и найти область сходимости полученно |
го разложения. |
|
Представим выражение в виде
( 1 - ^ )
(~ 2Х~ 3)-(~ 2 - и + 1) / :)2 ,
п\
при условии, что |- z\ < 1 .
После упрощения получаем
|
1 |
Yj{n + \)-zn, |
|+ z| < 1 |
(2 .1 9 3 ) |
|
|
= |
||||
( l |
- z f |
/7= 0 |
|
|
|
Пример 2.39. Найти ряд Тейлора с центром |
в точке z =О |
||||
для функции |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
/(*)=■ ( l- z ) 2(z2 + 1б) |
|
|||
Представим эту функцию в виде |
|
|
|
||
f ( z ) = — |
1 |
1 |
|
1 , |
16 |
1 - z 2 |
z2+16 |
17 |
■+ |
z2 |
|
W 17 |
1 + z" |
||||
|
|
|
|
1 |
+ — |
|
|
|
|
|
16 |
Применяя стандартные разложения и складывая почленно полу ченные степенные ряды, получим
1 |
|
|
1 |
оо |
оо |
2/7 Л |
|
|
|
|
|
||
(l- z ) 2(z2 + 16) |
17 /7=0 |
п=0 |
16/ 1+1 |
|||
=_Lf;[i+lil[П\ |
|
|
|
(2.194) |
||
•22п, |
1- z| < 1. |
|
||||
17,^о |
16п+| |
|
|
|
|
|
Пример 2.40. Найти разложение функции ехcos z в степен ной ряд в окрестности точки z = 0.
Воспользуемся тождеством |
|
|
|
|
||||
|
е*cosz = е ei:+e-'z |
е{,+,]: |
|
|
||||
Учтем, что |
\ + i = 4le |
4 |
и |
l - / = V2e |
4 Учитывая разло |
|||
жение функции ez, имеем для любого zeC: |
|
|
||||||
|
е{1+0: - |
4 |
|
п\ |
|
2п |
22 |
"___; |
|
|
л=0 |
|
|
/7=0 |
л! |
||
|
|
|
|
|
|
|
П |
- / • — П |
|
-0* _ |
4 = у ( |
• |
g |
4) |
|
|
4 |
е(| |
_ ^ 2 2 .£____ z- |
|||||||
- = е |
„=о |
|
«! |
|
|
|
л! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Окончательно получим сходящийся ряд на всей комплекс ной плоскости (z) и в любой окрестности точки z = 0:
„ |
|
. Я |
|
Я |
|
|
т |
|
ш— |
-/л— |
|
||||
» 7 |
|
в 4 +С |
4 |
•гл = У 22 ------ 4 -г» (2.195) |
|||
е cosz = 2,2- • |
|
2л! |
|
||||
/?=0 |
|
|
|
|
„То |
л! |
|
|
|
2.26. |
Ряд Лорана |
|
|||
Теорема 1 (теорема Лорана). Любую функцию /(z), анали |
|||||||
тическую в кольце |
r < |z - z 0|< i?, |
можно в этом кольце пред |
|||||
ставить суммой сходящегося ряда |
|
|
|||||
|
|
|
|
+О0 |
|
|
|
|
|
/ ( z) = Z c„(z - 2o)" |
(2Л96) |
||||
с коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
|
|
J _ |
1 Л С Д |
л е Z, |
(2.197) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
г®- |
к ^ о Г |
' |
|
||
где Z, - окружность |z - z0| = р (г < р < R).
Остановимся на доказательстве теоремы 1 подробно.
Выберем два параметра гх и Л, так, чтобы г < rx< < R,
и рассмотрим в кольце г, < |z - z 0|<i?, произвольную точку (рис. 2.40). Обозначим внешнюю границу \z - z 0\ = R\ кольца че рез L|, а внутреннюю границу |z - z 0| = r, - через Ь2. Окружим точку z простым кусочно-гладким контуром L, , который вместе с внутренностью целиком лежит внутри построенного кольца гх< |z - z01< Л,
f i t )
Функция —— является аналитической в трехсвязной об-
ласти, ограниченной составным контуром: внешним L, и внут ренними L, и L j. Из теоремы Коши для многосвязной области следует, что
т/ f e K |
r /fe)d5 [ |
, /fe) |
л, |
l 4 " * |
l 4 - ^ |
Но в силу интегральной формулы (2.163) Коши имеем