Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdf19. Вычислить следующие интегралы:
а) |
jz lm z 2dz, |
Z,:|z| = l, -n < a rg z < 0 ; |
|
|
|
L |
|
|
|
б) |
\z Re zdz, L :|z| = 1. Обход против часовой стрелки: |
|||
|
/, |
|
|
|
в) |
Jzz dz, L :|z| = 1. Обход против часовой стрелки; |
|
||
|
L |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
г) |
\ze2dz ; |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
д) |
J(2z + l)dz; |
|
||
|
1+/ |
|
|
|
е) |
/+1 |
|
|
|
Jz3dz; |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ж) |
j(3z4 - 2 z 3)d z ; |
|
||
|
1 |
|
|
|
з) |
fezdz, |
L : дуга параболы, соединяющая точки |
г,=0, |
|
|
L |
|
|
|
z2=\ + i ; |
|
|
|
|
и) |
jcoszdz, |
I : отрезок прямой, соединяющий |
точки |
|
|
L |
|
|
|
П |
|
|
|
|
Zj —“ j Z2 71 + Z, |
|
|
||
к) |
27 |
\ |
|
|
J(z3 - zje 2 d z ; |
|
|||
|
1+/ |
|
|
|
л) |
l |
|
|
|
J(z -/)e'*’dz; |
|
|||
|
0 |
|
|
|
м) |
/ |
|
|
|
Jzco szd z; |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
H) r^n(z + ^ (j2 по дуге окружности -^ = 1. Imr > 0.
, z + 1
Re z > 0.
20. С помощью интегральной формулы Коши вычислит следующие интегралы (все окружности обходятся против часо вой стрелки):
a) |
J |
|
d z ; |
|
|
-] Z *4"2Z |
|
||
6 ) |
J |
- J — 7d z > |
||
|
|j-/|=l 2 |
+1 |
|
|
3) |
|
|
sin-nz |
d z ; |
J |
— |
|||
|
1--Ч-2z“ + 2z -3 |
|||
ч |
f |
|
sm 12 |
A |
r) |
|
|
|
|
Д) |
J - Щ - d z ; |
|
||
|
--=1 ze r+2 |
|
||
. |
г |
cos(z + in) |
, |
|
e) |
|
|
|
|
ж) \ z \ = S z |
+ 1 6 |
|
||
3) |
I |
|
dz |
|
|
|
|
||
|
z|-4 (22 +9)(z + 9) ’ |
|||
|
|
sh —(z + /) |
|
|
и) |
{ |
г |
-dz; |
|
|
z|=i |
- 2 z |
|
|
X) |
I |
sinzsin(z -l) dz |
||
|
|z|=2 |
|
Z -Z |
|
21. Вычислить следующие интегралы:
ccos z
a)J —— d z ; l-l=i г
6) |
J |
^ |
d z |
; |
|
|
М = > |
z |
|
|
|
|
|
|
. |
71 |
|
|
|
|
sin —z |
||
B) |
I |
7 |
Г\2/ |
|
|
|
н и ( г " 1) |
V - V |
|||
|
к |
z s h z |
dz |
||
|
|
|
|
ч |
|
Д) |
J |
|
z d z |
||
|
|
|
|
||
|
-3|=6 ( z - 2 f ( z + 4) ’ |
||||
ч |
r |
|
cheim |
A |
|
e) |
J |
|
d 7 d z > |
||
|
|z-2|=3 ^ |
- 4Z |
|
||
* ) |
J |
-y c °s — |
dz; |
||
|
И - ;2 |
2 + 1 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
3) |
l |
|
|
|
dz: |
|
H = I (Z 2 + 4 ) Z |
|
|||
. |
f |
1 -sinz |
, |
|
|
и) |
J |
-----j— d z; |
|||
|
i |
|
г |
|
|
|
И- |
|
|
|
|
к) |
* |
|
|
d z . |
|
Г Г 7p |
|
||||
м - Д * |
_1f |
|
22. Исследовать на сходимость ряды
. cos in a) Z - ^ - ;
_ |
^ |
nsin in |
6) |
Z —Г 7 - ; |
|
|
n=i |
i |
. Д cosin2
b) Z — — ;
11=1 5”
г) |
I - V |
|
; |
|
|
|
п=\Пу1П |
|
|
||
Д) S |
г ~ |
> |
|||
|
п=\^П |
|
|
||
|
п=\ |
т |
|
|
|
|
|
22 COS //7 |
|||
. £ s h i-Уй |
|||||
ж) |
£ |
|
. |
.- ■; |
|
|
„=| sin/и |
||||
. |
£ |
Inn |
|
’ |
|
в) |
£ |
| . |
|
||
|
/;=1sh |
1У1 |
|
||
|
|
• |
.Я |
||
|
|
СП/ — |
|||
и) |
I - |
|
|
п . |
|
YI |
In л ’ |
||||
|
AJ=1 |
|
|
|
|
|
СО |
|
у, |
|
|
к) £ - - ? — • |
|||||
|
,,= ltgI7Itt |
23. Найти радиусы сходимости степенных рядов:
а) |
! > /пг" |
|
|
Л=1 |
|
б) |
£ е |
Я2Г" |
|
Л=1 |
|
в) |
£ |
|
|
,,=0V1 “ / у |
|
г) |
|
|
д) |
£ c h - z ” ; |
|
|
п=1 |
и |
е) |
£ |
Y |
|
»=iV.Inin j
Ж) £ / V |
; |
|
|
|
|
/7=0 |
|
|
|
V V» • |
n i |
п |
; |
|
з) X sm — z |
|
|||
|
/7=1 |
n |
|
|
и) 2 COS"4iz" |
||||
|
n=l |
Vn |
|
|
K) |
n=ism |
|
|
v |
|
(l + /wj |
24. Найти области сходимости следующих рядов:
a) f ; f - + m l(z + l + i)" n=iV« У
B ) Z |
+ Х (1 + ш )(г- 2 + /)" |
п=1 и ” (z — 2 + /)" |
л=0 |
Л"
Г)2 -
n = \ \ z )
,У
а )
п =o W
д) ± т- - 7 - ^ г + 2 я( в+ 1 -*Г
л=1 (Z + 1 - |
1 ) |
п=0 |
|
||
оо |
1 |
оо |
~П |
|
|
« O ^ l -/7r + I' |
/■) /7+ 1 3 |
|
|||
/7=1 Z |
n=oZ |
|
|
||
ч £ |
|
sinzrt |
^ ( z - i f |
||
ж) I |
7— - |
л=о |
л/ |
||
/7=1 ( z - If |
|||||
з) S V ! r + Z - ^ г ; |
|
||||
/7=1 Л |
Z |
/7=1 wz |
|
||
" |
2n- l |
” |
(z + i)" |
||
И) Х / |
|
.\л + ^ л , |
V1’ |
||
;.=l(z + l/ |
n=o(l + n) |
||||
. |
|
/ |
I n |
/ |
,Y> ( z - i f |
K) 2(Z - ; ) + 4„?O ^ (2/У
а) , 1<Н<2;
(z -2 )(z ~ 3 )
1
б) — , 0 <z < 1; z + z
в ) ------ - |
1 < Ы < 4; |
(z + 2)(l + z 2) |
1 1 |
е) - 1 — 1 < |z + 2| < 3 ;
|
z |
—I |
|
|
|
|
ж ) |
7 |
т |
Ь |
8 ' 1<|г+2|<4; |
||
з) |
г^ |
Ц |
з |
' 2 < |г ~ 1|<4” ; |
||
и) |
(z2- 4)2 |
2 < |
z |
< +оо : |
||
|
|
|
|
|||
к) — ---------7 |
•, |
l< |z |< 2 . |
||||
|
(z2 ~ 4)(z2 -1) |
|
|
26. Для функции /(z ) найти нули и определить их порядки:
a) |
f ( z ) = z4 + 4z2 ; |
|
б) / 0 0 = |
sin z |
|
z |
||
в) /(z ) = z2s in z ; |
||
D |
/ W |
= z^ ; |
д) /(z ) = l + chz; е)
ж) f ( z)={z + ni)sh z; з) f (z) =cos z3 ■
н) A z) = {z2 +*2)(l + e~z}>
к) f{z) = cos z + ch iz .
27. Найти особые точки и определить их характер у сле дующих функций:
1 а) 1 - sin z
1-co sz
б)
1
в) |
еz-t-2 . |
|
г) cos—; |
|
|
|
z |
|
^ |
zD+ 2z4 + z3 |
|
ч |
1 |
1 |
е) - т - т + — ; в -1 z
ж) е
з) |
sin |
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
и) ch—; |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
cosz-1 |
|
|
|
28. |
Найти вычеты в особых точках следующих функций: |
|||
а) / « — |
2 |
“ Ь |
|
|
|
Z |
Я |
||
|
|
----- |
Z |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
I |
|
б) /(z ) = z V ;
ch z
В) /(* ) = (z2+ l)(z - 3 )’
Г) / W = T- ^ — |
|
I • |
2 |
----sin |
Z |
4 |
|
Д) /(* ) = • 3( z - l ) ’ |
|
e) /(z)= |
2 5 |
(д + 1^ |
- 2)? |
_2
e -
ж) / ( г) = 1 + z4 ’
з) /( z ) = Z 2s i n - ; z
/ ( z ) = cos—+ z3 z
sin2z
/
(z + /) z —
29. Вычислить интегралы на основании теоремы Коши
овычетах:
a)Jztg7tzdz;
--N
б) f - 5-^----- d z ; Hi2z3(z+ i)
в) J
|г-/|=3 Z - / Z
г) J |
z2sin —dz; |
Н4 |
* |
ч |
г |
smnz |
, |
д) |
J |
—-----dz; |
|
|
И=л/Зг |
|
|
е) |
J |
zdz |
|
|
|
||
|
z+ l|= 4 ez +3 |
|
|
ж) |
|
z2dz |
|
J — |
|
||
|
1^1 SU1 z c o s z |
||
ч |
с |
ezdz |
|
з) |
J —A------ i---- |
||
|2-/i=i z +2z |
+1 |
||
и) |
J |
e'r dz |
|
|
: ^ (*-*)* |
’ |
|
к) |
j zJ sin—dz. |
||
I--N |
z |
|
30. Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
s |
г |
г2+1 |
|
а) |
/ |
— j d z ; |
|
|
М-1 |
2 |
|
б) |г|= 2 |
* + |
2 |
|
. |
, |
lOOOz + 2 , |
|
в) |
J |
-------r^rr-dz; |
|
|
М-2 |
|
1224 |
|
1 + Z |
||
Г) |
f |
Т ~ \ dz ; |
|
I |
|||
|
ы -зz - 1 |
||
д) |
J z2sin—d z ; |
||
|
-И |
|
|
е) М-зг |
dz |
||
- 1 |
31. Пользуясь теоремой Руше, найти число корней данных уравнений в указанных областях:
а) |
г4 - 3z3 -1 = 0 , |z| < 2 ; |
||
б) |
z3 + z + l = 0 , |г|< Д ; |
||
в) |
г5 + z2 +1 = 0 , |z| < 2 ; |
||
г ) |
Z * + 6 Z + 10 = 0 , |
|z|< 1; |
|
д) |
27z"-18z + 10 |
= 0, |
|z| < 1; |
е) |
z8 + 6z6 - zJ + 2 = 0 |
, |z| < 1; |
|
ж) 4z4 -2 9 z 2 +25 |
= 0, 2 < |z|<3; |
||
з) |
Z 7 + 5 Z 4 + Z 2 - 2 |
= 0 |
, 1 < |z|< 2 ; |
и) z6 - 8z + 10 = 0, 1<|z|<3.
32. Найти логарифмические вычеты данных функций отно
сительно указанных контуров: |
|
||
а) |
/(z ) = cos z + sin z , Z,.jz| = 4; |
||
б) /(z ) = (e---2)2, L:|z) = 8 ; |
|
||
в) |
/ ( Z ) = th z , L\z\ = 8 ; |
|
|
r) |
/(z ) = tg3z , |
Z,:|z| = 6 ; |
|
д) |
/ ( z ) = l - t h 2z, Z,.jz| = 2. |
|
|
|
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ |
||
Глава 1. |
|
|
|
3. JC, =2,1716, |
*2 =-1,4784. |
||
|
s |
s |
(a =const). |
4. x —о ch ——, у = ash — , |
|||
|
a* |
a' |
|
6. а ) 1; б ) | ; в ) 1. b
7 sh* x