Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

Две кривые, заданные уравнениями z = y,(7) , /е[а,,р,] и г = у2(т), т е [ а 2,Р2], считают равными, а отображения у,

и у2 - эквивалентными, если существует действительная функ­ ция t - S(i), т[а2,Р2], непрерывная и возрастающая на отрезке

[а2,Р2] , такая, что S(<х2) = а, , 5(р2) = р, и у,(5(х)) = у2(т),

т е [ а 2,Р2]. Переход от одного отображения к другому, эквива­ лентному исходному, представляет собой замену параметра кривой.

Для любой кривой АВ с начальной точкой А и конечной точкой В параметр можно выбрать так, что он будет меняться на отрезке [о, 1 .

В самом деле, если кривая АВ определена как отображение

Если двум различным значениям tx и /2 параметра кривой у(г) соответствует одна и та же точка комплексной плоскости (Z), т.е. у(/,) = у(<2) и /, * t2, то эту точку называют точкой са­ мопересечения кривой АВ, заданной уравнением z = у(г),

1е [а >Р] •

Кривую, не имеющую точек самопересечения, называют кривой Жордана (простой кривой).

Если у замкнутой кривой нет других точек самопересече­ ния, кроме начальной (конечной) точки, то эту кривую называ­ ют npooibiNoaMi^yTMMjramy^

Пример 2.3

ная точка кривой) к точке z = / (конечная точка кривой). Урав­

^ 7 А ^7

представляет собой тот же отрезок мнимой оси, проходимый дважды: сначала от точки z = -i к точке z - i , а затем от точки z = i к точке z - - i (рис. 2.7, б). Хотя эта кривая и кривая из примера 2.3 (а) определяют одно и то же множество на плоско­ сти (Z), мы имеем две различные кривые, так как ни одно пред­ ставление первой кривой не может быть сведено к представле­ нию второй заменой параметра.

в) Кривая, заданная уравнением z = у(0 = cosr + isin/,

te[ 0,2тс], - это окружность |z|=l, проходимая против часовой стрелки. У кривой совпадают начальная у(0) = 1 и конечная

у(27с) = 1 точки (рис. 2.7, в).

Кривую АВ, заданную уравнением z =JC(0 + iy{t) , t e Г

называют гладкой, если существуют производные x\t) и / ( / ) , непрерывные на промежутке Г и в его концах, одновременно не обращающиеся в ноль, т.е.

*’=*'(/)+ /> '(0 * 0 , t еТ

Так как вектор { x{t)\y\t)} задает направление касательной

к кривой, то гладкость кривой означает, что в каждой ее точке можно провести касательную, которая непрерывно поворачива­ ется при движении точки М по кривой АВ (рис. 2.8, а).

Рис. 2.8

Кривую называют кусочно-гладкой, если ее можно разде­ лить на конечное число гладких участков. Кусочно-гладкая кри­ вая во всех точках имеет касательную, кроме, быть может, ко­ нечного числа точек, в которых существует предельное положе­ ние касательной слева и справа. Эти исключительные точки кривой называют угловыми (рис. 2.8, б - угловой точкой являет­ ся точка М).

Множество на расширенной комплексной плоскости назы­ вают линейно связным, если любые две его точки можно соеди­ нить кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определение. Множество D точек расширенной комплекс­ ной плоскости называют областью, если это множество откры­ тое и линейно связное, т.е.:

1)все точки D являются внутренними;

2)любые две точки области D можно соединить кривой, целиком лежащей в D.

Область D называют ограниченной, если существует такой круг К = {Zе С : | z |< R} , что D c K Все точки комплексной

плоскости по отношению к данной области D можно разделить на три класса:

-точки самой области (они же внутренние точки области);

-граничные точки области;

- внешние точки области (не принадлежащие области и не являющиеся граничными точками области).

Множество всех граничных точек области D составляет границу этой области.

Область D, объединенная со своей границей, представляет собой замкнутое множество D , которое называют замкнутой областью.

К. Жордан (1838-1922) показал, что любая простая замкну­ тая кривая на плоскости делит плоскость на две не пересекаю­ щиеся области: первая не ограничена, ее называют внешней по отношению к кривой (внешность кривой), а вторая ограничена, ее называют внутренней по отношению к кривой (внутренность кривой). Для обеих этих областей кривая является границей.

Область D комплексной плоскости (Z) называют односвяз­ ной, если она обладает следующим свойством: для любой замкнутой кри­

вой, лежащей в D, внутренность этой

кривой также целиком принадлежит D (рис. 2.9). Область, не обладающая указанным свойством, называют мно­ госвязной.

В дальнейшем будем рассматри­ вать только такие области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых и изолиро­ ванных точек.

Пусть на комплексной плоскости (Z) даны простые замкну­ тые кривые С15С2,...,Сл, причем кривые С2,...,С„ попарно

не пересекаются и все лежат внутри С1. Множество точек плос­ кости, расположенных внутри С] и вне С2,...,С„, представляет собой многосвязную область D, границу которой составляют контуры С1?С2,...,СЛ. При этом контур С] называют внешней

ласть D указанного вида часто называют л-связной. «Дырки» в многосвязной области могут вырождаться в точки, т.е. вместо каких-либо контуров С, могут рассматриваться изолированные

точки (точка С3 на рис. 2.10).

Рассмотрим множество Е с С , состоящее из комплексных чисел, и условимся, что z может иметь в качестве значения лю­ бое комплексное число из множества Е. В этом случае будем на­ зывать z комплексным переменным, а множество Е —его обла­ стью изменения. В этом пункте кратко остановимся на том, ка­ ким образом можно задавать множество точек на комплексной плоскости, рассматривая эти множества как области изменения комплексного переменного. Познакомимся с уравнениями неко­ торых кривых в комплексной форме и с построением множества точек z е С , удовлетворяющих заданным условиям. При этом при изложении материала будем пользоваться символами, при­ веденными в перечне основных обозначений в начале пособия.

Множества, которые описываются комплексными уравне­ ниями и неравенствами, часто удобно строить исходя из про­ стой геометрической интерпретации заданных уравнений и не­ равенств. Если такой подход реализовать не удается, то необ­

лучить удобную геометрическую интерпретацию заданных со­ отношений.

Проиллюстрируем это положение на конкретных примерах.

Пример 2.5. Установить множества точек на плоскости С. удовлетворяющих следующим условиям:

а) Re (iz2) < 2; б) | z - l | < | z - / | ;

в) | z - 2 | - | z + 2 | >3 ;

жеству часть комплексной плоскости (Z) на рис. 2.13 выделена (штриховой ли­ нией отмечена та часть границы множества точек, которая этому множеству не принадлежит).

б) Множество точек, заданное неравенством | z - 1 1< | z - / 1,

можно установить из геометрического смысла неравенства. Де­ ло в том, что | z - 1 1- расстояние между точками z и 1, а | z - i | - расстояние между точками z и

Известно, что на плоскости геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных точек z, и z2, является пря­ мая, которая проходит через середину отрезка, соединяющего

комому множеству, до точек z, = 2 и z2 = -2 должна быть не меньше чем 3. Напомним, что множество точек z, удовлетво­ ряющих условию | z - z, | - 1z - z2 | = 2а, представляет собой

ветвь гиперболы с фокусами z, и z2, причем ту, которая ближе

осью а, определяемой из равенства 2а = 3, и расстоянием с = 2 каждого из фокусов до центра гиперболы в начале координат.

Уравнение этой гиперболы

ветствует части плоскости (Z), выделенной на рис. 2.15 (в дан­ ном случае точки, лежащие на левой ветви гиперболы, принад­ лежат искомому множест­

лением оси ОХ. Поэтому точки z, удовлетворяющие условию

71

лом — к оси ОХ. Учитывая ограничение - 7t <ar g( z - /) на 4

главное значение аргумента комплексного числа, получаем ис­ комое множество точек плоскости (Z) (рис. 2.16).

угол ср, образованный радиус-вектором точки z с положитель­

ным направлением оси ОХ: (р > г >0, где г - модуль комплекс­ ного числа z.

Соотношение г =ср в полярных координатах представляет

собой уравнение спирали Архимеда.

Архимедова спираль является траекторией точки, которая движется с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся с по­ стоянной угловой скоростью вокруг начала координат. При этом скорость движения точки по лучу и угловая (в радианах) ско­ рость вращения луча совпадают. Искомое множество точек изо­ бражено на рис. 2.17.

2.6. Последовательности комплексных чисел

Последовательность {zn} комплексных чисел можно рас­ сматривать как отображение в С множества натуральных чисел N (как функцию целого положительного аргумента л, прини­ мающую комплексные значения zn - f(n ), n e N ) . Как и в слу­ чае последовательности {Х,,} действительных чисел Х п е R, последовательность {zn} будет задана, если известно правило /’ которое позволяет найти любой ее элемент г „ е С по его номе-