Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

©€ С (конечное или бесконечное). В этом случае говорят так­ же, что/ является функцией из D в С , и пишут: / : D —>С. или

со= /( г ) , z e D c C .

Для функций /( г ) и <p(z), z e D на множестве D определе­

на сумма / + ср, разность / - ф, произведение / - ф и частное f

— (частное для всех z e D , при которых ф(г)^ 0).

Ф

Функцию / : D —»С называют ограниченной на множестве

D, если множество R (f) её значений ограничено, т.е. если су­ ществует такая константа М >0, что |/(z ) < М, z е D .

Пусть z =x +iy и © = f(z)= u +iv . Тогда комплекснозначная функция со комплексного переменного z определяется дву­ мя действительными функциями двух действительных перемен­ ных: и = и(х,у), v = v{x,y).

Таким образом, функция со = f(z) устанавливает соответ­ ствие между точками плоскости (Z), в которых эта функция рас­ сматривается, и точками плоскости (Q) . Другими словами,

функция со= f(z ) осуществляет отображение множества D то­

чек плоскости (Z) на множестве R(f) точек плоскости |0>)::

( M f) является образом множества D при отображении, осуще­ ствляемом функцией © = f ( z ) , a D - прообразом мшшестаа

R {f) при этом отображении.

Пример 2.13. Рассмотрим функцию ©= ~2

Если z = r (со$ф + / зтф ) и © = p(cos8 ^f-sm@), то в силу

Отсюда получаем при отображении ©= _ ' :

а) полуокружность г = г0, ф е (0,к) переходит в окруашш» р = го2, 0 е (0,2я) с выколотой точкой ©= r f (рис. 2.1%

то параметрические уравнения образа этой кривой при отобра­ жении (2.76) будут

и = u(x(t),y(t))

te T c R .

v = v(x(t),y(t))

Замечание. В зависимости от вида отображающей функции (2.76) и множества, на котором она рассматривается, иногда удобно перейти к уравнениям кривых Г и у в полярных

координатах.

Пример 2.15. При отображении, осуществляемом функцией

со = z2, найдем образ окружности радиуса -*jx02 +у02 заданной

уравнением

проходящей через начало координат и имеющей центр в точке

*о + ‘Уо (рис. 2.23).

Переходя в (2.77) к полярным координатам, получим

Луч 0 < /• < да, ср = ср0 , проходящий через центр окружности, пе­

рейдет в комплексной плоскости (р) в луч, расположеннный

под углом 0О= 2ср0 (см. пример 2.13).

Чтобы записать уравнение образа этой окружности в полярных координатах, достаточно в (2.78) заменить г и <р,

согласно отображающей функции со = z2, на р и 0 из (2.74), т.е.

J

=2х02(1 + cos0) + 4х0у0sin 0 + 2у>1(1 - cos0) =

-2(х0 + y l )+ 2(х0 - у] )•cos 0 + Ах0у0sin 0.

Используем формулу asincp + fecoscp = yja2 +b2 *cosfcp-(p0>), где

угол ф0 определяется равенствами

Это уравнение кардиоиды (см. рис. 2.23).

Иногда используют другой способ геометрического пред­ ставления функции комплексного переменного: в прямоуголь­ ной системе координат Охур изображают поверхность

p = |/(z )|, которую называют рельефом функции f ( z ) . На этой

поверхности стараются выделить кривые, которые проектиру­ ются на плоскость XOY в линию уровня Arg f{z) = const. Имея

достаточно густую сетку таких линий, можно составить представление о распределении значений функции /(г ) в полярных координатах р и 0 [2,4].

В качестве примера рассмотрим рис. 2.24.

На нем представлена поверхность модуля функции f(z)= z 2 , являющаяся параболоидом вращения относительно вертикаль­ ной оси, так как p = |/(z)| = |z2| = |zj' =х2 + у 2 Линии уровня функции Arg /(z ) описываются уравнением tg Arg /(z ) =

линии уровня цилиндрические поверхности с образующими, па­ раллельными оси О р. В пересечении с поверхностью модуля цилиндрические поверхности дают сетку кривых, характери­ зующих изменение аргумента функции. В частности, при С = О получим кривые