Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

Для нахождения параметров распределения Ро, ^тр, Щ используют метод максимального правдоподобия, для чего необ­ ходимо составить функцию правдоподобия:

(5.16)

где /г, — число испытаний между г-й и (г + 1 )-й доработками; т / — число отказов в я,- испытаниях, после которых проводилась доработка.

Подставляя в формулу (5.16) вместо Р, его значение из выражения (5.15), получим искомую функцию правдоподобия, зависящую от трех параметров модели:

Уравнение (5.17) включает в себя известные опытные дан­ ные mif я/ и неизвестные параметры Ртр, Ро, а*. Оценками мак­

симального правдоподобия Ртр, Ро, а этих параметров будут такие значения Ртр, Ро, а, при которых функция (5.17) обра­ щается в максимум. Для решения этой задачи используют стан­ дартные программы минимума нелинейной функции. Для нахожде­ ния параметров перейдем к логарифмической отрицательной функции правдоподобия, минимум которой совпадает с макси­ мумом выражения (5.17). Сокращаем эту функций на постоян­ ный множитель:

— InL =

Поскольку функция (5.18) является нелинейной, то необ­ ходимо убедиться в том, что она имеет только один минимум.

цируема, то необходимым и достаточным условием выпуклости является положительная полуопределенность матрицы вторых производных, т. е. в нашем случае матрицы

121

где

а

П = — вектор параметров модели;

Х = Щ — вектор опытных значений mh щ.

Функция (5.18) является дважды дифференцируемой, в чем можно непосредственно убедиться, взяв производные по парамет­ рам. Для положительной полуопределенности матрицы А следует показать, что ее квадратичная форма неотрицательна. По опре­ делению квадратичная форма с учетом введенных обозначений может быть представлена зависимостью [5]

где Пт— транспонированная матрица параметров Я. Развернутый вид выражения (5.20):

После преобразований получим

В =

(5.22)

, 2--^— аР ■

дадРтр ТР

Проведенные расчеты показывают, что частные производные, входящие в выражение (5.22), являются отрицательными в обла­ сти заданных параметров 0 ^ (а , Ро, Ртр)^ 1 , что подтверждает положительность квадратичной формы, а следовательно, и вы­ пуклость функции (5.18). Таким образом, функция (5.18) имеет единственный минимум в точке

являющейся решением системы уравнений правдоподобия:

122

Для случая, когда доработки проводят только лишь после появления отказов и если причина явно установлена, имеем уравнение правдоподобия вида

Эта функция правдоподобия отражает процесс отработки изделий, при этом в качестве исходных данных могут быть ис­ пользованы значения параметров, полученные по результатам ис­ пытаний аналогичных изделий.

5.5. МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА НАДЕЖНОСТИ

Так как в процессе проведения испытаний причины обнаруженных отказов не всегда достоверны, то проводимые до­ работки также не одинаково влияют на изменение надежности изделия. Вместе с тем, принимая допущение о том, что в среднем наблюдается определенная тенденция к росту уровня надежности от одной доработки к другой, процесс изменения надежности изделия в результате проведения доработок носит случайный характер. Для восстанавливаемых изделий весь процесс испыта­ ний можно представить в виде некоторого числа циклов.

Под циклом испытаний понимают функционирование изделия в течение некоторого времени в условиях, соответствующих эксплуатационным при выполнении определенной работы. До­ работку изделия проводят по всем отказам, причина которых выявлена и по ним требуется изменение конструкции. В этом случае изменение функции надежности происходит в зависимости от номера цикла испытания (/=1, 2 , ..., п). Следовательно, если имеются данные о результатах испытаний, то можно найти ста­

тистические оценки Я, хотя ничего неизвестно о параметрах, определяющих поведение этой функции.

Для описания изменения функции надежности Р, может быть использован метод, основанный на представлении Pi в виде функ­

ции случайных аргументов, значения которых могут быть опреде­ лены по результатам испытаний данного изделия или изделия-ана­

лога. Такой подход позволяет установить аналитическую форму зависимости, которая является функцией надежности. Таким об­ разом, статистический метод заключается в том, что по опыт­ ным данным строят кривую роста надежности произвольной формы, используя экспериментальные точки графика, а затем методами математической статистики находят оценки параметров, входящих в эту функцию. В общем виде функцию можно записать следующим образом:

123

где as — неизвестные параметры.

Выбрав несколько различных форм функции А, можно оценить, какая из них наилучшим образом описывает экспери­ ментальную кривую. Так как испытания изделия проводят в циклическом режиме, то можно, как наиболее простую, принять биномиальную модель распределения вероятности доработок.

Для нахождения параметров распределения воспользуемся

методом максимального правдоподобия. С этой целью построим

где mi — число отказов, зафиксированных в щ циклах испытаний; Р, _ вероятность успеха в i-й доработке; k — число проводимых доработок.

Подставляя в (5.27) модель изменения надежности, получим уравнение (5.26), описывающее правдоподобие в зависимости от искомых параметров:

Выражение (5.28) представляет собой функцию правдоподо­ бия, в которой функция надежности связана с номером доработ­ ки. Оценками максимального правдоподобия параметров as яв­ ляются такие значения as, при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение:

При расчете удобнее использовать не саму функцию, а ее логарифмы, так как максимум и минимум функции L совпадают соответственно с InL и —InL. Для нахождения оценок параметров распределения решают систему уравнений правдоподобия вида

Метод максимального правдоподобия позволяет получить несмещенные, состоятельные и эффективные оценки [1]. При нахождении оценок параметров распределения может быть использован также метод наименьших квадратов, который при больших объемах испытаний практически совпадает с методом максимального правдоподобия. В этом случае функция правдо­ подобия выражается зависимостью вида

124

в /-й серии пС^ 20-=-50 циклов испытаний, т. е. биномиальный закон распределения приближается к нормальному:

Оценки параметров распределения, обращающие функцию правдоподобия в минимум, находятся из выражения вида

Таким образом, статистический поход к определению мо­ дели роста надежности состоит в интуитивном выборе функцио­

гебраические выражения, включающие несколько неизвестных параметров.

5.6. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ И ДРУГИЕ ВИДЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Основанием гиперболической модели может служить предположение того, что вся программа испытаний представляет собой k этапов, на каждом из которых производят определен­ ное число испытаний и в каждом фиксируется отказ или ус­ пешная работа [10]. По результатам испытаний строят кривую роста надежности — гиперболу, описываемую зависимостью

где P i----- истинная надежность изделия на /-м этапе испытаний; Ртр — требуемое значение надежности; а — параметр, характери­

Модель зависит от двух параметров Ятр и а. Для нахождения оценок, параметров распределения воспользуемся методом мак­ симального правдоподобия. Тогда для /-го этапа отработки бу­ дем иметь

125

Полагая, что результаты всех этапов статистически неза­ висимы, получим

126

где Pi — надежность на /-м этапе испытаний; Р — предельно достижимое значение надежности; Р0 — начальное значение на­ дежности; е — основание натурального логарифма; щ—параметр, характеризующий изменение скорости роста надежности.

Применяют также модели роста надежности вида [10]

где а, Ьу с — неизвестные параметры.

Наиболее распространенной является модель, описываемая

Функция (5.46) зависит от трех параметров р, Р и а, кото­ рые могут быть найдены методом максимального правдоподо­ бия или методом наименьших квадратов.

Более общая модель роста надежности [10] имеет вид

Для удобства вычислений С\ и С2 [10] можно использовать приближенные формулы для нескольких видов f(i\ приведенные в табл. 5.2.

Оценки параметров распределения находят, решая уравнения

/=1

127

Изменение надежности изделия при его поэтапном испыта­ нии можно также оценить статистически [1 0 ].

Оценку надежности после /-й серии испытаний определяют

где Р! — оценка надежности по результатам только i-й серии испытаний; а — коэффициент, характеризующий вес каждой оценки; Я, - 1 — оценка надежности по результатам всех испыта­ ний, проведенных до /-й серии.

128

Примем следующее допущение — надежность испытываемых образцов в каждой серии одинакова. Особенности этой модели таковы, что при а = 1 , 0 не будут учитываться все испытания до /-й седин, а при а = 0 — результаты последней серии. Величину оценки Р\ определяют по результатам испытаний по формуле

из практических соображений, что снижает эффективность использования этой модели.

5.7. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА ЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДПОСЫЛКАХ

Рассмотрим построение логико-вероятностной модели, основанное на предположении того, что изделие состоит из опреде­

каждого блока можно устранить с некоторой вероятностью г*. С учетом принятых допущений вероятность отказа 1-то блока после п испытаний определяется соотношением

в формулу (5.59). В результате получим двухпараметрическую экспоненциальную модель роста надежности:

129

Полученная модель, как указывалось выше, основана на предположениях и должна быть подтверждена статистическими

данными.

При построении моделей роста надежности сложных техни­ ческих систем была использована теория стохастических моде­ лей обучаемости. Изменение надежности изделия при отработке можно представить в виде случайного процесса. Рассмотрим частные свойства случайного процесса, которые могут быть использованы при построении кривой роста надежности. Так, на­ пример, может быть принято допущение, что: 1 ) выявление при­ чины отказа и устранение его доработкой проводят только после появления отказа; 2 ) надежность изделия может изменяться только после доработок, причем каждая доработка либо не из­ меняет надежность, либо увеличивает ее.

Практика отработки сложных технических систем показыва­ ет, что доработку изделий многоразового использования прово­ дят только после появления отказа, когда причина явно уста­ новлена. В этом случае процесс отработки представляет собой следующую логическую основу. Пусть Я, — вероятность успеха в /-м испытании; Л1 — вероятность проведения доработки после успеха; Л2 — вероятность проведения доработки после отказа. После каждого испытания могут быть два несовместных события: успех или отказ. Так как принято допущение, что доработку про­ водят только в случае появления отказа, то вероятность отсут­ ствия доработки после успеха равна ( 1 — jii)= l, а после отказа соответственно ( 1 — лг). Отсюда приращение надежности в резуль­ тате доработок после успеха равно нулю, т. е. ДРн = 0, а после отказа равно ДЯг/. Схема рассматриваемого процесса приведена в табл. 5.3.

Соотношение для определения приращения надежности за­ пишется в виде

130