Механика подземных сооружений в примерах и задачах

гравитационного поля напряжений определим по формулам (1.35) и (1.36):

о*1= 0,022•30 = 0,66 МПа;

аТ = о'? = 0,54.0.66 = 0,36 МПа.

2; Схема деформаций, испы­ тываемых элементом массива пород, показана на рис. 1.17. Массив испытывает заданные деформации ех. Деформации в направлении оси у невозможны, следовательно, гу = 0. Вследст­

вие небольшой глубины свобод­ но осуществляются деформации гг при дополнительных верти­

кальных напряжениях с^= 0. Дополнительные напряжения

а'х и а'у определим из первых

двух уравнений обобщенного закона Гука (1.22), которые за­ пишутся в следующем виде:

Eex = ax — vay\ 0 = — va* + о'у

Решая эту систему из двух уравнений с двумя неизвест­ ными, получаем

=(,53)

. VP.

О-54)

Подставим, далее, выражение о'у = а 2 и значение е„ = е2 = 0 во

вторую формулу (1.25) с учетом (1.26):

Отсюда найдем объемную дефор­ мацию пород

еа = е(/ = 0и еу в формулу (1.14),

Рис. 1.17. Схема деформаций в массиве пород на небольшой глубине под влия­ нием подработки (к примеру 1.4.3)

получим величину деформаций

= еа •

Теперь подставим в полученные формулы численные значения величин и получим компоненты дополнительных напряжений (для расчетов примем наиболь­ шее значение модуля деформа­ ции £ = 30 МПа):

30-0,008 1—0,35* = 0,27 МПа;

по формуле (1.54)

aу= 30-0,008=0,10 МПа.

Объемную деформацию пород определим по формуле (1.55):

По формуле (1.56) определим вертикальную деформацию по­ род в массиве

гг = 0,0037—0,0080 = —0,0043.

Как и следовало ожидать, вертикальная деформация пород является отрицательной, вдоль оси г происходит расширение

(рис. 1.17).

Полные напряжения в мас­ сиве равны сумме начальных н

дополнительных, вызванных де­ формацией массива при подра­ ботке.

1.4.4.Определение напряжений

вмассиве при подработке Изменим в примере 1.4.3

только одно условие— глубину. Пусть рассматриваемая область массива, сложенная теми же самыми породами и испытываю­ щая под влиянием очистных работ те же самые деформации гх — 0,008, находится на глу­ бине Н = 100 м.

Определить дополнительные напряжения в массиве, вызван­ ные его деформациями при под­

мирования массива в вертикаль­ ном направлении. В этом слу­ чае правильнее, с некоторым запасом, считать, что при при­ нудительном (заданном) дефор­ мировании массива вдоль оси х

деформации в направлении осей У и z невозможны, т. е. еу =

ных дополнительных, напряже­ ний, что пойдет в запас надеж­ ности расчета подземного со­ оружения.

Для решения задачи восполь­ зуемся формулами (1.25). В со­

дующие соотношения:

' л .—_ 1—v

°x=2GexT—^ -

(1.57)

ау = аг — 2G B X J _

Подставим в эти формулы зна­ чения величин из примера 1.4.3, имея в виду выражение (1.26), в результате получим

^?2 (1+0,35) 0,008 1— 2-0,35

=0,21 МПа.

1.4.5. Метод разгрузки, плоское напряженное состояние

Для исследования начального поля напряжений в массиве применяется метод разгрузки,

вкотором используются упру­ гие свойства пород. Один из ва­ риантов метода (метод ВНИМИ, предложен Г. А. Кузнецовым и М. А. Слободовым) заключается

вследующем. Бурится сква­ жина (рис. 1.18, а), на забой скважины наклеиваются датчики деформаций 1. На рисунке по­ казана крестообразная розетка, состоящая из двух датчиков, располагаемых по известным заранее направлениям главных напряжений в массиве, совпа­ дающим с направлением осей х и у. Затем, вокруг датчиков

обуривается кольцевая щель (рис. 1.18,6), вследствие чего породный керн с датчиками от­ деляется от массива и, стало быть, разгружается от дейст­ вующих в массиве напряжений. Вследствие разгрузки керн ис­ пытывает деформации упругого

восстановления (рис. 1.18, в; см. также рис. 1..9).

Деформации восстановления гх и гу измеряются и по ним опре­

деляются напряжения в мас­ сиве ах и ау.

Измерения проведены на глу­ бине Н =1200 м в диоритах со

следующими характеристиками у = 0,03 МН/м»; £ = 4 -10* МПа;

рис. 1.18) получены следующие

забое скважины имеется плоское напряженное состояние (аг = 0),

то воспользуемся формулами (1.28). Заметим, что в данном случае в качестве характери­ стики материала необходимо

пользоваться модулем упруго­ сти Ее, который характеризует

деформирование породы при разгрузке (см. рис. 1.9).

Подставив значения величин Е е, V, ех = ех и еу = е2 в формулу

(1.28), получим

ax =ai = 8’104x

0,03- W + 0 ,26-3,66-104 _

Х1 —0,26*

=8,4 МПа.

1.4.6.Метод разгрузки, учет объемного напряженного со­ стояния

Отделенный от массива керн (рис. 1.18, б) испытывает дефор­

мации восстановления по всем трем направлениям, в.том числе и вдоль оси г (г2 Ф 0).

В связи с этим при пользо­ вании методом разгрузки реко­ мендуется производить измере­ ния во взаимно перпендикуляр­ ных скважинах, чтобы получить значения всех трех компонентов деформации.

Оценить погрешность вычис­ лений, сделанных в п. 1.4.5, если известно, что величина де­

тельно, по формуле (1.14) опре­ делим объемную деформацию:

ev = 3,66-10-4+ 0,03 .10 -«+ + 0,03 .10 -« = 3,72.10-«.

По формуле (1.26) определим

Подставим значения величин в формулы (1.25). В результате получим

01 = ох = 2*3,2*10*х

х ( 3’66-10- + г а Ж 2 6 3’72' 10“ ) -

- 3 6 ,3 МПа;

cr2 = o3 = oy = az = 2-3,2- 104Х

х ( о . о з . ю - < |, ^ 6 ^ з .7 г .|о - < ) -

= 13,1 МПа.

Для сравнения определим компоненты начального поля напряжений по формулам (1.35), (1.36), имея в виду, что в ус­ ловиях рассматриваемых приме­ ров мы имеем дело с гравита­ ционным полем напряжений. Коэффициент бокового давления в массиве

Компоненты напряжений вы­ числим по формулам (1.35)

о2 = 0,03-1200-0,36 МПа; ох = Оу= 0,35*36 — 13 МПа.

Ошибка измерений в рассмат­ риваемом примере составляет менее 1 %. Погрешность вычис­ лений, выполненных в примере 1.4.5, составляет

МПа; v, = 0,413; v2 = 0,198 опре­ делить коэффициенты бокового

щенный закон Гука (1.32). Ре­ зультаты расчетов сведены в табл. 1.1.

Далее, по формулам (1.39)— (1.41) определяем коэффициенты, характеризующие начальное гравитационное поле напряже­ ний массива, моделируемого транстропной средой (табл.1.2).

В массиве при наклонной плоскости изотропии на гори­ зонтальных и вертикальных площадках действуют касатель­ ные напряжения (см. рис. 1.12). Определим величину и направ-

из табл. 1.2, определяем вели­ чины и направление главных на­ пряжений. Результаты расчетов помещены также в табл. 1.2.

Из табл. 1.2 Следует, что глав­ ные напряжения в транстропном массиве с наклонной плоскостью изотропии могут превосходить вес столба до поверхности (уН)

Методическое указание. Для

решения задач, подобных рас­ смотренной в данном примере, целесообразно пользоваться лю­ бым видом мини-ЭВМ или даже программируемым калькулято­ ром. Это существенно упростит вычисления й одновременно даст возможность потренироваться

всоставлении программ.

1.4.8.Тензор и девиатор началь­ ного поля напряжений

Для условий примера 1.4.7 на­ писать тензор и девиатор на­ пряжений в массиве в осях х , у, г

при угле падения плоскости изо­ тропии а = 60°.

Р е ш е н и е . В соответствии с выражением (1.2), представляя напряжения в долях уН согласно

(1.59), получаем следующий тен­ зор напряжений:

Средние напряжения определим по (}юрмуле (1.8) с учетом пер­ вого инварианта тензора напря­ жений (1.5):

от= 0>403+ 0 ’516 + 1 = 0,640.

Далее, в соответствии с выра­

жением (1.9) получаем девиатор напряжений

1.4.9. Сравнение приближенных формул и строгого решения для транстропной модели

Сравнить результаты расчетов по приближенным формулам (1.44)—(1.46) с точным решением для анизотропной модели.

значение между vx = 0,413 и v2=

=0,198). Угол падения примем

а= 60°, тогда из соотношений

(1.33) находим ф = 90°— а, т. е.

ф= 30°.

Из соотношений (1.45) опре­

деляем значения Я = 0,428; т =

= tg 30° = 0,577.

Подставив значения величин в формулы (1.44) и выразив глав­ ные напряжения в долях уН,

По формуле (1.46) определим угол наклона главных напряже­ ний к вертикали: 0 = 20,4°.

Для сравнения приведем зна­ чения соответствующих величин

из табл. 1.2:

О! =1,124; X*= 0,278/1,124 = 0,247; 0 = 22,56°.

Как видим, для приближенного расчета при недостатке исход­ ных данных соответствие резуль­ татов можно считать удовлетво­ рительным.

ские напряжения применительно к стволу

Определить начальные напря­ жения в массиве по контуру се­ чения будущего вертикального шахтного ствола для условий месторождения, характеризуе­ мых выражениями (1.48) на глу­ бине Н = 700 м. Удельный вес по­

род составляет у = 0,025 МН/м3. Р е ш е н и е . Подставляя зна­ чения величин в формулы (1.48), определяем компоненты напря­ жений вдекартовой системе коор­

динат (см. рис. 1.11):

о?' = 0,025-700= 17,5 МПа;

aio> = 0,4-0,025-700+14 = 21 МПа; а<,0, = 0,4-0,025-700 + 7 = 14 МПа.

Напряжения по контуру се­ чения вертикального ствола удобнее представить в цилиндри­ ческой системе координат г, 0, г

(см. рис. 1.5). В этом случае выражение для осевых (верти­ кальных) напряжений не ме­ няется, а в горизонтальной пло­ скости (см. рис. 1.3) компоненты напряжений определим по фор­ мулам (1.12). Поскольку ось х

совпадает с направлением наи­ большего главного напряжения 0 lt то в данном случае формулы

(1.12) приобретают следующий вид:

} О х + О у

cos 20;

ае 2

(1.61)

=17,5 i 3,5 cos 20; a* = 17,5 МПа.

1.4.11.Деформации разгрузки

Определить деформации раз­ грузки, которые произойдут с кубиком породы, извлеченным из массива в условиях приме­ ра 1.4.10, если модуль упруго­ сти породы составляет Е е =

= 8-10* МПа, а коэффициент Пуассона v = 0,27.

Р е ш е н и е . Деформации опре­ делим по формулам обобщенного закона Гука (1.22). Согласно данным примера 1.4.10 главные

в формулы (1.22), получим

ех= е Л=

= - gTjQS [21,0 -0,27 (17,5+14,0)] =

= — 1,56-10~»;

в, = ег=

= — вПо® I17-5 - 0’27 (14 + 21.0)1 =

= —МО-3;

Eg = Ъу =

=— вПо*114,0—0,27 (21,0+17,5)1 =

=—0,45-Ю -3.

Подставив в эти формулы зна­ чения входящих в них величин, получим компоненты начального поля напряжений по контуру

1.4.12. Сейсмические напряже­ ния

Произвести расчет динами­ ческих напряжений в массивах

Аналогично производятся вы­ числения для остальных типов пород. Результаты расчетов при­ ведены в табл. 1.3.

Определим, далее, главные на­ пряжения в массиве и их на­ правление по отношению к оси х

(угол 0) по формулам (1.11). Под­ ставим в эти формулы значения величин для очень крепких по­ род, в результате получим

Аналогичные вычисления вы­ полняются для остальных типов пород, результаты вычислений приведены в табл. 1.3.

На основании результатов рас­ четов можно сделать вывод, что динамические напряжения в мас­ сиве тем выше, чем крепче сла­ гающие массив породы (чем вы­ ше модуль деформации пород). При одновременном воздействии продольных и поперечных волн в массиве пород могут возник­ нуть растягивающие напряже­ ния даже в фазе сжатия про­ дольной волны.

Рассмотрим классическую за­ дачу теории упругости о напря­ женно-деформированном состоя­ нии упругого кругового кольца

(рис. 1.19).

Напряжения на внешнем и внутреннем контурах кольца за­ даны и описываются выраже­ ниями

Рч')—Ро (I')+P 2(I) cos 20;

Яи')= Я»(О sin 20,

где i — индекс, принимающий

значения 0 и 1, для обозначения соответственно внутреннего L0 или внешнего Ll контура; р(1) —

нормальные (радиальные) напря­

турах кольца определяются вы­ ражениями

П0 П» = Ро (1) т1 —Ро (0) тг— (Р*<1)п\ —

Рис. 1Л9. Схема к расчету упругого кольца

Овех = Ро (1УЯ1 — Ро (0) т2+ (pa <1)^1 —

П4 = Л2*, C=ri/fo.

Под действием напряжений (1.64) кольцо деформируется, при этом точки внешнего и вну­ треннего контура испытывают перемещения, описываемые фор­ мулами

где и{1)— радиальные перемеще­ ния; va)— тангенциальные (ок­

ружные) перемещения. Значения индекса i те же, что

ив выражениях (1.64). Параметры перемещений, вхо­

дящие в выражения (1.66), опре­ деляются по формулам

"о ln~4Q (с2°_ 1) (1)dl~ p°

(1.67)

"о ех = 4G (с*— 1) ^Ро (1)d l Ро <0)^ *

(u* + Vi)i„ = ^ 5 X

X (рг a) fli— ЧгU) 0-г— рг (o)es + Яг (о/*.)I

(1.68)

(u2 —u2)m = 2^gX

(рг а )° i— Я н 1) — Рг (о) аз+ ?2 <о> о«)»

(«. + * ) « = - g^X

X (Р2 (1 )^1 — ?2 (1) ^2 — Ра (0)^8+ ?2 (0)

(«.-«*>« = 2^ -Х

X (рг (1) — <?2 (1) 6а— Ра (о) Ьз-\-Яг <о> »

(1.69)

где

41= с*(х+1); d2 = 2 c* + x — 1; di= c2(х— 1) + 2 ; d i = x + l ;

х — коэффициент вида напряжен­ ного состояния, принимающий значения:

при плоском напряженном со­ стоянии

3—у.

X“ l + v ’

при плоской деформации

х= 3 —4v

а,= с а (3+с*); Oa = ca (3—с4);

а3= Зс* *}■ 1 04 = 3^— 1 —£>;

al = ca(2c*+ca+ 1);

ва = с4 (с4+ 1);

а$= с4 (с4+ са+ 2)—D;

(ц = с* (са+ 1 ) —D; bi = c* (3 + с 4)—D; f>a = c * (3 - c a)+ D ; 6, = са (Зса+ 1); bt = c2(Зс4— 1);

bi = 2c*+c* + l+ D ; Ь’г= с*+ 1 + D ;

^ = с4 (й4 + 1)+2;

*; = с*(С*+1);

При внешнем радиусе кольца (рис. 1.19) г4 —*• оо мы получим

упругую плоскость, ослабленную круглым отверстием,— упругую модель массива пород, с выра­ боткой круглого сечения (рис. 1.20). Заметим, что напряжения