Механика сплошной среды
..pdfЗаметим, что при n = v = X ковариантные компоненты их в реперах егэг- Яг, обозначаемые nit v* и Агразличны, почему и приходится одну и ту же единичную нормаль обозначать различными буква ми. Это относится ко всем векторным и тензорным величинам. После приобретения навыков при расчетах и выкладках необходи мость различных обозначений отпадает.
Физический смысл компонент |
Qj и Q'i тензора S устанавли |
вается формулами (7.10), так как |
— физическая величина, |
обозначающая вектор истинного напряжения на единичной физи ческой площадке с единичной нормалью L Для одной и той же
косой площадки, т. е. при условии |
(7.9), вектор |
S^il) = P{v)= S^n) |
|||
т. е. |
|
|
|
|
|
^ (М_ Q ^ . = QH'Xiqf= S'vz- = |
S‘h i3 f= o £nt= o£fnfij, |
(7.11) |
|||
где а* = ог. Эти соотношения и есть основа для |
преобразования |
ко |
|||
ординатных векторов |
(Q\ S \ о1') и компонент |
одного |
и того |
же |
|
тензора напряжений 5 |
при переходе от одной |
координатной |
си |
стемы к другой.
Если какой-нибудь другой тензор z обладает свойствами, ана
логичными S |
(т. е. для заданного в некоторой точке направления |
|||||||
внутри среды |
(k = v = |
п) в трех рассматриваемых |
системах коор |
|||||
динат характеризует |
вектор |
z(v) = z(x) = z(n> который, |
например, |
в |
||||
системе координат q{ имеет |
выражение z<*> = zг‘Хг- |
zl'= zoq7 |
где |
г** |
||||
не зависят от направления X |
то для |
компонент тензора z |
будут |
|||||
справедливы |
соотношения (7.11) при |
замене |
|
|
Q г->- |
|||
->■£* и т. д. и при соответствующих |
обозначениях |
|
компонент z в |
|||||
реперах э{ и ег. |
|
|
|
|
oij через S , |
|||
Чтобы найти выражение вектора ог и компонент |
||||||||
и Q\ Qij‘ |
направим нормаль n = v= k по координатному векто |
ру еа= ерХет = еа репера (ег), т. е. положим (п)а= еа= еа. Получим
л* = |
(п)а ei= 8f1 vi= (n)a9i= dxa/dx£, ^ = (n )a q* = |
dxa/d^', |
|
из (7.10), |
(7.11) |
|
|
и потому |
oa= A fS £=CfQ £, |
|
(7.12) |
|
|
|
|
|
ак‘= Ai A) S‘i= cl cj Q‘‘, |
|
(7.13) |
Чтобы |
найти выражение Qij через ац и SlJ‘ а также |
через |
|
и Q^’ |
вводятся обратные относительно А? и С,г‘ |
матрицы |
|
|
А)В1=Ь), C }D t= tf, |
|
(7.14) |
определяемые этими уравнениями. Умножая (7.13) на DhmDtn, по лучим
Вспомним, что закон движения |
частицы (3.23) задает еще |
ба |
||||
зис €i = dx/dx\ |
определяемый |
аффинором Б= дх/дх |
обратным |
Лу |
||
так что |
дх |
Dk |
|
|
|
|
_ |
f |
= - e,AS=3‘A‘. |
(7.16) |
|||
|
|
h> s |
||||
|
|
|
|
дх{ |
|
|
Соответствующий ему метрический тензор Gij и контравариантные базис и тензор а также символы Кристофеля ?Г опре деляются соотношениями
Gi i = e ie1= B iBk hk |
G'iGik= 8 i , |
|
|
||
е ‘ = А‘тет, |
G':‘= |
е ‘е‘ = А)п А’т, |
(7.17) |
||
dGjk |
dGjii |
dGij_ \ |
|
||
dxi |
dxi |
dx* |
) |
|
|
Тензор напряжений 5 можем представить, |
конечно, |
и в базисе |
|||
€и обозначив его компоненты |
через 2г |
2 4 |
вектор |
напряжения |
|
на площадке с единичной нормалью х — через |
так что |
Рассматривая во всех реперах (ег« эг- qit 6\) одну и ту же физи ческую площадку с единичной нормалью n = v = A,=x, т. е. перене ся к ней параллельно (без вращения) все эти реперы, получим условия (7.11), к которым присоединится еще одно
0‘rii = 2% = 2/7Х;б7. |
(7.18) |
Совместим x = n = v = X с единичным вектором нормали |
к пло |
щадке, образованной векторами б*р €ъ т. е. положим |
|
х = е а/У (р* |
|
Тогда |
|
лг = хе£= Л ? / / о ^ , х£= х е г= 6 |
|
из (7.18) получим |
|
ст‘М“е /= 2 а'еу. |
|
Отсюда, умножая на €’р учитывая (7.17), найдем |
|
2Г*=о‘*АТАЧ |
(7.19) |
Тензор деформаций 6 до сих пор был представлен только ком понентами ец, которые выражаются формулами (4.49) через век-
тор перемещения и = х —х, причем использованы декартовы ком поненты иг (х, /), или, что то же, и{(х, t):
— g i j |
— |
dui |
. r duj |
duk |
duk |
(7.20) |
——T" 7 7 + |
dx1 |
dx) |
||||
|
|
dx) |
dxL |
|
Вектор-волокно dx можно представить через его компоненты в любой из трех рассмотренных выше систем координат х\ х{ и *7\ так как все они связаны с законом движения и преобразова нием (7.1):
\ = dx = - ^ - dx[ = -^ r dx1= -^ -d q i=
|
дх1 |
|
dx1 |
|
dql |
|
|
|
|
= e(dx' = |
e tdxl = e h |
|
ekC$dql. |
|
|
||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p= d x = ---- dx1'= ----- dxL= -----dql= 9 idxi= ^tdxL= |
qtdq£. |
|
|||||||
dxi |
dxi |
|
dqi |
4 |
1 |
|
1 |
4 |
|
Составляя разность dx2—dx2=p2—| 2 |
получим |
|
|
|
|
||||
p2 —| 2 = 2zijdxidxi= 2EiJdx£dxi= 2v\ijdqidqi, |
|
|
|||||||
P . __ p |
A”1A" |
Ti •__F |
љà ” |
» |
|
^ |
^ |
||
biJ— ^m n^i |
|
» Mi/ — ^mn^i |
|
|
|
||||
где обозначены компоненты тензора |
деформации |
6 |
в различных |
||||||
системах координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ц = ё ц — Ьц в х; |
|
|
|
|
||||
|
2Ец= 8ц—Gti в x f |
|
|
(7.22) |
|||||
2v\ij= qif |
GmnCi |
Cj |
в q(.v). |
|
|
|
|
Все эти компоненты обращаются в нуль при t = t0, так как соглас
но начальному условию t = t0, х = х, |
и потому |
gij=Gij = 6ij1 а на |
||
основании (7.2) |
CiCf = qi/. |
|
|
|
Перемещение точки х в момент t |
|
|
|
|
х (х, |
i) — x = u(x, /) = иэ = |
и (лг, /) = |
U(q, t) |
(7.23) |
можно представить через декартовы компоненты иэ{( х , t) и ком поненты £/*(q, t) в репере qz:
U = и% = Utf = u4ti = u,
и*9(х, t)= u ‘ (x (х, t)y1)= х*~ъ1{х, t).
Для E i j ( x , t) имеем из (7.22), |
(7.17) * |
|
|
|
ди1 |
dui |
дит |
дит |
(7.24) |
2Е и- — |
дх1 |
дх1 |
dxi |
|
dxi |
|
Компоненты U\ вектора U предполагаются заданными в кри волинейных координатах (q{), следовательно, выражения т) - - бу дут связаны с дифференцированием U* £/,• по q{. По определению (7.21), в котором p = qidqi и согласно (7.23) %= d \= p —d\i, при чем d\i= (d\J/dqi)dqi, находим
2г\и |
dU |
dll |
(7.25) |
|
dqi |
dqi |
|||
|
|
где U= = Ufq1'. Поскольку на основании (7.3)
dU |
dVm |
qm+ U m d(\m |
dUn |
dqi |
dqi |
dqi |
dql |
то, обозначая ковариантную производную контравариантного век тора (Um), точнее, контравариантиой компоненты вектора U в базисе Чг,
oqL + и пу"\, |
(7.26) |
получим выражения частных производных вектора |
|
-T T = V ^ mqm- |
(7.27) |
dql |
|
Замечательная особенность ковариантной производной — свойство свертки с метрическим тензором qmi. Если обозначить ковариант
ную производную ковариантного |
вектора |
(точнее, |
ковариантной |
компоненты) |
|
|
|
V A = dJ |
= З Д , . |
|
(7-28) |
ТО |
|
|
|
ЯmiViUm= V i {Umqmi) = ViUi, |
|
||
qmly tUi = y i {Uiqml)= s/iUm. |
(7.29) |
||
Базисные векторы q,, q' при ковариантной |
дифференцировании |
||
также подобны константам. |
|
|
|
* Индекс э в иэ1 опускаем, так как |
при дифференцировании |
по х ясно, что |
|
и*1= и*(х, t). |
|
|
|
Внося (7.27) в (7.25), получим искомые выражения компонент
тензора деформаций <§ в любых криволинейных координатах (ql) через компоненты вектора перемещения U в этих же координатах:
2T|i/=Vi^/ + V ^i — |
Л*/=‘П/|- |
(7.30) |
Если какой-нибудь контравариантный вектор, например вектор напряжения Qm определен в репере q* выражением Qm=Q7””qn> то ковариантной производной его по аналогии с (7.26) называется выражение
V‘Qm=- r r + Q*vS- |
|
(?-31> |
||||
|
|
dql |
|
|
|
|
Внося сюда Q™=Qmnqn>получим |
|
|
|
|
||
VгQm=Vi(Qm',qn)=qnViQm ,. |
|
(7.32) |
||||
где V iQmn — ковариантная производная |
контравариантного |
тен |
||||
зора: |
|
|
|
|
|
|
ViQmn= |
dQmn |
+ Q inyTi + |
Qm% |
|
|
(7.33) |
dql |
|
|
||||
Закон движения при |
t =const можно рассматривать как |
одно |
||||
из преобразований типа |
(7.1), |
причем компоненты o\ |
oij тензора |
|||
S в ортогональном репере ег в точке х преобразуются |
в S\ |
Sij в |
||||
репере эи имеющем характеристики gf/, |
Г*/. Заменяя |
q{ на х\ |
||||
q* на эи q{j на gijt у на Г и считая U\ Ui компонентами |
вектора |
|||||
U в репере э*: |
|
|
|
|
|
|
U = U£(х, /) Bi = Ui (х, /) э1\ |
|
|
(7.34) |
получим выражение компонент т)г^ тензора деформаций & в виде (7.30) и выражения ковариантных производных компонент S\ S ij тензора напряжений 5 в репере эг по криволинейным координа там хг’:
VlS* = - ^ |
+ S*rTk=BnViSmn9 |
||
дх1 |
|
|
(7.35) |
|
|
|
|
v Smn= - ^ ~ |
+ S‘nr?j + S^Tij. |
||
dxi |
|
|
|
Компоненты гл(х, t), или |
Vi(x, t), вектора |
скорости частицы |
|
v в эйлеровом пространстве в декартовых |
координатах хг и ком |
||
поненты Vij тензора скорости деформаций |
9 |
(§ 5) имеют выра |
|
жения |
|
|
|
2с;/ = dvi/dx' + dvj/dxl, |
|
(7.36) |
л вектор ускорения имеет выражение |
|
|
|||
w= |
dv/di = dv/dl + vl'dv/dx1'. |
(7.37) |
|||
Согласно (7.1), (7.2) |
|
репер q* |
неподвижен |
в точке x=const |
|
пространства наблюдателя, но вектор скорости |
v = V3 в силу за |
||||
кона движения х=ф(х, t ) |
меняется по t. Для частицы x=const |
||||
w = d v ( x ,t ) |
= |
dV3 (g ,t) |
= ауэ |
". |
д у э |
dt |
|
dt |
dt |
|
dqi |
v (*, t)= v ‘ti = V3 = V ls(q, t) qf |
(q), |
||||
• |
= |
г д |
! |
|
(7.38) |
VI (<?) = ^ |
I - r - Ql {x (x, t)) ] |
|
|
||
|
|
l Ot |
J x-+x->q |
|
Следовательно,
w = ^01- ( n nqm) + (K v .^ )q m
пли окончательно получаем выражение
= const в криволинейных координатах (q{):
dVl
w(<7, t) = (
dt
ускорения в точке х =
(7.39)
Пусть теперь v=V(x, t ) — вектор ускорения имеют компоненты V\ ординат (х)
скорости, |
w(x, t ) — вектор |
в базисе эг |
лагранжевых ко |
y = 4 Otr = v i (х, t ) e;= V=F' (х, t ) э ( (х, t ) = V t (х, t ) э ‘ (х, t );
(7.40)
w = - ^ - = ^ - = w l (x, t ) 9i (x, t ) = W i (x, t ) э ‘ (x, t ) .
Найдем выражение ускорения через скорости V V\ Отличие от предыдущего состоит в том, что базис ^ был неподвижным в пространстве наблюдателя, базис же эгподвижный. Находим
w |
_а |
V7 (х, /) |
d x (х, |
t) \ |
dVi 9t + V* |
|
dt |
|
dx* |
/ |
dt |
|
|
dVi |
+ |
V‘ |
(Vk9h) |
|
|
dt |
|||
|
|
|
|
d x 1 |
d V
dx*
и, следовательно, имеем выражение
w = |
dVi |
d2*1' |
|
|
|
dV[_ |
(7.41) |
W 1 |
dt + VnVnVl, |
|
которое совпадает с (7.39) |
при замене q* на |
и уцк на ГгД |
Найдем выражение производной по времени от тензора дефор мации б, выраженного компонентами деформации е^:
2 г ц (х, t ) = g |
i i —б;/ |
д х(х, О |
дх ( х , /) |
о |
(7.42) |
||||
дх1 |
л |
. ■— Of/ |
|||||||
|
|
|
|
dxi |
|
|
|||
через компоненты вектора |
скорости |
(7.40). Получим для |
фиксиро |
||||||
ванной частицы x=eonst в репере эг- |
|
|
|
|
|
||||
2 дец (х, 0 |
St |
д \ |
+ 3/ |
av |
|
|
|
|
|
dt |
dxi |
axi |
|
|
|
|
|
||
|
= |
V / ^ i + V i ^ / = |
21/,/(x, /), |
|
|
(7.43) |
|||
где введено обозначение Уг-7(х, /); или в репере е* |
|
|
|||||||
2 |
дец (х, 0 |
ах |
dv |
, |
д х |
dv |
|
|
|
|
dt |
|
дхс |
дх* |
|
dxi |
дхi |
|
|
Рассматривая здесь v представленным в репере е* как функцию (х, t) на основании закона движения х=ф(х, /), х=о (х, if), т. е. полагая v=um(x, /)ет , получим с учетом представления dv/dx
(§ |
5) |
|
/) _ |
д* |
dv |
|
, 3JC |
dv |
d.v* |
__ |
|
|
2 |
дец (х, |
дхк |
||||||||
|
|
di |
_ |
dxi |
dxk |
dxi |
dxi |
|
dxk |
dxi |
~ |
|
= - g - {AT A) + Л? Л?) = |
(vmh+ comh) (AT A) + AT At), (7.44) |
|||||||||
где соmu — компоненты вихря. Вследствие |
симметрии vmh= Vhm и |
||||||||||
антисимметрии сот ь= —со;п„ получим с учетом |
(7.43) |
|
|||||||||
|
|
2Уц (х, t) = 2 - ^ i- = 2vmh (х, |
t) Af AT |
(7.45) |
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Но |
согласно |
(7.21) |
правая |
часть |
этого равенства |
представляет |
преобразование декартовых компонент vmk(x, t) тензора V к ком понентам в лагранжевых координатах. Следовательно, V\-j(x, t) (7.43) дают выражения компонент тензора скорости деформации в лагранжевых координатах.
Из (7.13), (7.21), (7.45) следуют равенства
aklEhl= SmnBmn= Q i% h
(7.46)
a>“vhl= S ^ V mn= Q ‘iV;h
где Vij— компоненты тензора скорости деформации, выражаю щиеся с помощью тензора q{j через ковариантные компоненты
вектора скорости V i= vqt в репере q* формулами (7.43)
2K/(q , 0 = ViW + V/W
Таким образом, построенные на основе цепочек (7.11), (7.21) тен зоры напряжений и деформаций представляют сопряженные в смысле Лагранжа пары обобщенных сил и перемещений.
Глава III
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 8. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Основы аксиоматики МСС изложены в § 3, причем установле но, что произвольная часть среды, заключенная в объеме V и ограниченная поверхностью 2, в любое мгновение t находится в динамическом равновесии в смысле Даламбера: сумма всех мас совых сил (включая силы инерции) и сил, действующих на по верхности 2, равна нулю. Если плотность среды р, массовая сила F и ускорение каждой частицы w в момент t известны, то объем ная сила, действующая на массу в объеме dV, равна p(F—w)dV\ эта сила, проинтегрированная по объему V, в сумме с проинте грированной по поверхности 2 силой P(v)d2, действующей на пло щадку d2 с нормалью v на 2, равна нулю. Значит, при составле нии уравнения движения среду в объеме V можно считать «замо роженной», т. е. считать ее абсолютно твердым телом, на внут ренний единичный объем которого действует объемная сила p(F—w), а на поверхности — распределенный вектор силы с плот ностью P<v) на единицу площади. Поэтому в векторной форме уравнение движения массы любого объема V с соответствующей поверхностью 2 имеет вид
(8. 1)
1
в любой системе координат. Эта система может быть криволиней ной, неподвижной в пространстве наблюдателя или движущейся и деформирующейся лагранжевой, может быть вообще как угод но движущейся и деформирующейся во времени, если силы pF,—
— pw заданы в инерциальной системе. Но если не задать метри ческого тензора и базиса координатной системы, а также вектора P(v) в виде линейной функции нормали v (7.6), то из (8.1) нельзя получить дифференциальных уравнений движения.
Для определенности сначала рассмотрим уравнение движения среды в базисе лагранжевой системы координат (х1‘) с метри
ческим тензором gij и символами Кристоффеля Г*/. Вектор силы P(v) в нем имеет выражение
По теореме Грина — Остроградского
\ s ivi d Z = \ > iS‘ dy, |
(8.3) |
2V
ипотому из (8.1) получаем для любого объема V, взятого внутри области движения среды,
J* fp (F— w) + ViS'j dV^=0 |
(8.4) |
и, следовательно, получаем дифференциальное уравнение движе ния в векторной форме
p(w—F)=v,S' = dx1
Отметим справедливую в любой криволинейной системе нат формулу Вейла (g= |g t-,|, q= \qa\,...):
*/‘Гг Г‘ |
1 |
&Vй |
я/ * |
1 |
д У Я |
ОД n/ — I n i — |
уг- |
ах„ |
. Оiy n j — У т — |
- ^ - |
ДлП . |
|
|
|
|
У q |
dqn |
(8.5)
коорди-
(8.6)
на основании которой свертка ковариантной производной |
векто |
|
ра напряжения |
S2 (и любого вектора) записывается в видеv |
|
v ‘s '= |
s,)’ '" Q' = ~ h w (W Q ,) |
<8-7) |
Таким образом, уравнение движения имеет вид |
|
|
P(w—F )= - p = -- ^ r (yg:S'n)=VmSm= div5, |
(8.8) |
|
сохраняющийся в любой криволинейной системе координат, |
если |
определитель g, производная Vm и вектор Sw взяты в этой систе ме. Выражение, стоящее в правой части уравнения (8.8), не зави сит от системы координат и представляет вектор, называемый ди
вергенцией тензора напряжений S. |
|
|
Специфика лагранжевой |
криволинейной системы координат |
|
(х2) состоит в том, что при |
t = t0 она |
является декартовой, т. е. |
при t = tp9 gij = Sij, g = |g ij| = l и закон |
сохранения массы имеет |
вид |
рУ£= ро (§ 4,5). В этой системе координат уравнение движе |
ния |
принимает вид |
M W- f )= - £ - (V £ S " ). |
(8.9) |
В репере е2 в котором W = X = A:'е2 F=A7e2 и с учетом выраже ния (6.22) компонент условных напряжений (A=^g)