Механика сплошной среды
..pdfнений. Такая система называется незамкнутой, т. е. не позволяет найти х и 5, каковы бы ни были граничные и начальные условия для х и 5.
4. Уравнения состояния (§ 10) дают выражение тензора нап ряжения 5 в точке х в момент t через значения тензора деформа
ции <§?(х, т), температуры |
Г(х, |
т) и параметров |
р(х, т) при f0^ |
с помощью функционала или оператора |
определяемого |
||
только природой среды: |
|
|
|
5(х, |
f) = |
^ [ I , 7 \ P ] . |
(11.4')- |
Для многих сред верно и обратное: если задан процесс нагру
жения 5 = 5 (х, f), то деформации тем самым |
определяются одно |
значно |
|
§ (х, t)=JFTx[S, Т, Р]. |
(11.4"). |
Соотношения (11.4') и (11.4") суть различные формы выражения одного и того же закона связи между напряжениями и деформа циями сплошной среды.
В более подробной записи в лагранжевых координатах имеем
соотношения |
|
|
|
I = ( 8i/)= |
defu, |
[I(х. т), Т (х, т), р(х, т)], |
(11.5) |
которые представляют для |
симметричных Sij' шесть скалярных |
||
уравнений. |
|
закон (11.5) и заданы Г(х, т), |
р(х, т), |
Как только установлен |
|||
уравнения (11.2) |
становятся замкнутыми. Действительно, |
внося |
значения S iJ’ в (11.2), получим одно векторное уравнение для век тора x(x, t) или три скалярных уравнения для его трех компонент х1 или и1. В общем случае это функциональные уравнения, и их структура полностью определяется структурой физического закона (11.5). Для классических сред (идеальные жидкости и газы, уп ругие тела) это — дифференциальные уравнения, для релаксирующих сред — интегродифференциальные и т. д.
Одно важное общее свойство соотношений (11.5) очевидно: они должны изменяться при ортогональных преобразованиях на
чальных |
декартовых координат х* так, |
чтобы правильно |
пред |
ставлять |
физические свойства. В общем случае это означает, что |
||
в (11.5) |
кроме указанных переменных |
5(f), <§f(f), p(f) |
должны |
входить тензоры-константы среды, например тензоры 4-го порядка
Cijmn |
и т. д., являющиеся физическими постоянными |
вещества |
|
в начальный момент f*=fo* |
константы |
(функции |
|
Во |
многих частных случаях физические |
||
Т, Р) |
при t = t0 — скаляры, а единственный |
начальный |
тензор |
константа |
— единичный бц и порождаемые им |
тензоры 4-го и |
|
других порядков |
|
|
|
|
26i/>m„= 6l-m6/7l + 6jn6ym. |
(11-6) |
|
В таких |
случаях говорят, |
что среда начально |
изотропна, хотя |
она и может приобретать |
анизотропию в процессе деформации. |
В противном случае ее называют анизотропной. Для изотропных сред соотношения (11.5) могут быть существенно упрощены (§ 9).
Мы считаем, что параметры Г, р есть заданные функции вре мени и координат. В действительности нередко они сами являются
искомыми и даже зависят от &. При этом необходимо еще ис пользовать законы термодинамики и другие законы физики для немеханических параметров (§ 22).
5.Пример теории, в которой используются уравнения для
неизвестных функций р(х, t), |
рассматривается |
в § 22. |
Здесь и |
|
в других разделах параметры |
р(х, t) предполагаются известными |
|||
функциями х, t. Уравнение, замыкающее систему (11.2), |
(11.5),— |
|||
уравнение теплопроводности в виде (10.19) или |
(10.20) |
|
||
рГ _ ||_ _ р ( т |
---- j =div (A gradT (х, /)) + pq$, |
(11.7) |
||
означающее равенство |
выделяемого частицей |
через ее |
границу |
количества тепла внешнему оттоку тепла через эту границу. Ска
лярный функционал энтропии г\*[&, Г, р], как и тензорный для рассматриваемой среды предполагается известным на основа нии макроскопических опытов (§ 10). Уравнение (11.7) на осно вании (10.4), (10.17') преобразуется к виду
Ч' Т■ {AA" " - £ r ) + М ,- (11.8)
Для изотропной среды, имеющей одинаковый для всех направле ний коэффициент теплопроводности X:
A ^= X gij, |
(11.9) |
Здесь X может быть известной функцией температуры Т (х, t) и плотности р(х, /) = Ро/Л.
Другая форма записи уравнений, замыкающих систему (11.2),
(11.5), следует из (10.48) и предполагает известным функционал внутренней энергии
р - | - [£ (*. Т), Т (х, X), Р (х, Т ) ] = 5 ' / + Ц7р + |
|
|
dt |
( 11. 10) |
|
д |
||
|
||
дхт |
|
В некотором классе необратимых термомеханических процессов (Р= 0), включая и обратимые, система уравнений движения (11.2) замыкается, если известен только один функционал сво бодной энергии ф, через который выражаются уравнения состояния (11.5), функционалы энергии, энтропии и рассеяния формулами (10.40), (10.41):
|
|
|
|
|
|
|
и = ф + Ts, |
|
|
|
|
w’ = |
—г|)ш> |
0. |
|
( 11. 11) |
|||
Уравнение (11.10) |
преобразуется к виду |
|
|
|
|||||
-Р о Г — |
( — |
) |
= - * - ( АЛ™-??-) + р0ш* |
(11.12) |
|||||
0 |
dt |
\ DT |
) t |
|
дхт \ |
дхп ) |
0 |
V |
7 |
Если в необратимых процессах имеют место соотношения |
(11.11) |
||||||||
и (11.12), то говорят, что существует обобщенный потенциал |
ф. |
||||||||
По о п р е д е л е н и ю |
система уравнений (11.2), (11.5), |
(11.8) |
называется замкнутой системой уравнений МСС для внутренних точек области движения среды. В силу основного постулата ре шение этой системы существует при некоторых начальных усло
виях |
и условиях |
на границе |
области. Уравнение |
(11.8) может |
быть |
заменено на |
(11.10). В |
случае существования |
обобщенного |
потенциала ф система (11.2), (11.11), (11.12) замкнута. При этом
функциональной производной |
ф |
по |
функции |
z (х, |
t) |
называется |
||||
ядро интегрального |
представления |
вариации ф |
по z |
(при |
т = /): |
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
г + 8г]—ф[ |
zJ = 62W |
0 = J ( - ^ ) TMT)dT, |
(1113) |
|||||||
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
т. е. функционал, зависящий |
от ф [...г ], но не от бz\ |
z |
— любая |
|||||||
из функций Eijt Ту р: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(_£*L\ |
/ D^ T \ |
|
|
|
|
|
|||
|
\ |
Dz |
)t |
V Dz |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, замкнутая система уравнений МСС в лагран- |
||||||||||
жевых координатах |
определяет |
(вместе с начальными и гранич |
||||||||
ными условиями) |
две искомые |
функции: |
вектор-функцию х = |
|||||||
= ф(х, t) и скалярную |
функцию |
Г(х, /), т. е. закон |
движения |
физических частиц и температуру. Все другие функции, представ ляющие теоретический или практический интерес, являются за данными операторами по (х, t) от ф(х, t) и ^(х, /), например де
формации |
(11.1), напряжения |
(11.5), критерии разрушения |
в твердых |
телах, условия начала |
турбулентности, отрыва потоков |
в жидкостях и газах и т. п., и могут быть найдены.
6 А. А. Ильюшин
Функционалы по времени над тензором деформации $ = А А являются операторами_над аффинором А, например, тензор нап
ряжения S* (I (х, T))=S* (А (х, т)). В уравнения движения входят производные 5(х, т) по координатам. Например,
dS‘(A(x,T))_ dxa= st ( А (х, т) + |
dxA — S‘ (А (х, т)). |
|
дха |
\ |
дха |
Следовательно, |
в соответствии с (11.13) |
Но А=дх/дх, так что
и потому для любого функционала З'(.4(х, т)), имеющего диффе ренциал Фреше,
t
_д |
S1(A(x,x))=^(DS'/DA]).lxd3A S ± j . L dT |
(11.13') |
|
||
дх® |
dxadxidт |
|
Следовательно, уравнения движения (11.2) являются функциональ ными по t и дифференциальными линейными относительно вторых
(высших) производных по координатам для вектора перемещения u(x, t)=x(x, t)—х. Тип уравнений зависит от вида оператора
Таково же свойство и уравнения теплопроводности по отношению к энтропии.
В эйлеровом пространстве обычно основными искомыми функ циями являются вектор скорости v(x, t)yплотность р(x,t) и темпе ратура Т(х, t) в пространстве наблюдателя в неподвижных декар товых координатах (х\ x2t хъ) или криволинейных координатах ql (§ 7), т. е. одна вектор-функция и две скалярные. Основными при этом являются следующие уравнения МСС.
1. |
Уравнения, выражающие |
тензор |
скорости |
деформации 9= |
=def v, |
а также дисторсии скоростей через |
вектор v: |
|
|
|
|
|
|
(11.14) |
2. |
Закон сохранения массы, |
связывающий |
плотность р(х, t) |
|
с вектором v: |
|
|
|
Ф, д (pop
dt |
dxi |
dt |
3. Уравнения движения (§ 8) в виде |
|
|
|
или |
|
(11.16) |
|
связывающие дивергенцию тензора напряжения S |
с векторами |
||
ускорения dv/dt и заданной массовой силы F= XI‘et-. |
(11.2) и |
из |
|
Уравнения (11.14) —(11.16) получаются |
из (11.1), |
||
условия сохранения массы рЛ = р0 простыми |
преобразованиями |
от |
лагранжевой к эйлеровой системе координат, содержащими закон движения *=ср(х, t) физической частицы.
4. Уравнения состояния (11.5) в некоторых случаях, включаю щих классическую теорию жидкостей и газов и теорию некоторых изотропных жидких и твердых тел со сложными свойствами, мо гут быть преобразованы к виду
5; р ,7 \р )= 0 , |
(П.17') |
где L — тензор-функция перечисленных в скобках тензоров дисторсии скоростей, напряжения, скорости напряжения S типа про
изводных Z'7, z i}\ |
(§ 9) |
и скаляров р, |
Г, (5 |
в точке х |
эйлерова |
||
пространства в момент t. |
На основании |
формул преобразования |
|||||
§ 9 такой переход от (11.5) |
к (11.17') возможен при частном |
виде |
|||||
функционала ZF При достаточно сложных функционалах |
(11.5) |
||||||
постановка задачи МСС в Э крайне затруднительна. |
что |
известно |
|||||
В декартовых |
координатах х1 (11.17') |
означает, |
|||||
шесть функций и* = и 1 от |
dv^/dx1, напряжений |
с>‘7 |
и их |
полных |
|||
* |
|
|
|
|
|
компо |
|
скоростей oij\ а также р, Г, р, причем Lij — декартовы |
|||||||
ненты £: |
|
|
|
|
|
|
|
L" (“S -*amn> '°pq' р> т ' р) = о - |
(11Л7) |
Если температура Т и параметры р известны |
как функции |
х, ty то уравнения (11.15) — (11.17) представляют |
замкнутую сис |
тему десяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно вектора v, тензора S
иплотности р, т. е. десяти искомых функций (у*, а7, р).
5.Уравнение состояния, замыкающее систему, получается при известном функционале внутренней энергии и\ на основании ин вариантности формы
S£i -^-= = oliVij
dt
в изотропной среде закон сохранения энергии имеет вид
(1U8)
Если определены энтропия 5 и рассеяние до*, то это уравнение заменяется следующим:
= £ ( * - £ - ) + , и , ' + м »- |
< " Л 8 '> |
В уравнении состояния вида (11.17) предполагается, |
что энергия |
и энтропия s — функции р, Г, р, а рассеяние до* — функция еще и тензора скорости деформации (11.14):
и = и (р,7,Р ), s=s(p, 7\р), w*=f* (р, 7\ Р, Vi/). |
(11.19) |
Процесс деформации просто выражается через производную А вектора перемещения u(x, t) по х и любые операторы по t при
x = const от & = АТА\ все они объективно характеризуют процесс
вчастице.
ВЭ основную искомую функцию представляет вектор переме щения и=х—о (х, t) или скорости v(x, t)\ процесс же характери зуется эволюцией тензора V{j (11.14) и тензора деформации, опре
деляемого (7.24):
2Еи (*, t)
ди1 dui dxi + -
dum |
dum |
( 11.20) |
|
дхс |
dxi |
||
|
Через скорости деформации |
тензор |
определяется диффе |
|||||
ренциальным уравнением |
(9.34) |
|
|
|
|
||
Еа (х, t) = |
ЛЕц |
dvm |
dvm |
vir |
(11.20') |
||
|
dxl |
||||||
|
|
dt |
Eir dxi + £/m |
|
|
||
Называя Vij(xy t) |
объективной |
производной |
от |
по времени, а |
|||
Eij — интегралом |
от иц (§ 9), |
по уравнению (11.20') |
в принципе |
||||
определяется поле тензоров производных и |
интегралов от тензо |
||||||
ра скорости деформации |
(и,-/), |
т. е. объективных |
операторов в Э, |
представляющих производные и интегралы от тензора деформа ций в Л.
Если среда идеально изотропна, т. е. изотропная при t= t0, она остается изотропной при любом t> t0y то операторы (11.4) инва риантны не только относительно преобразований при t = to декар товой системы координат х=х, но и относительно ортогональных преобразований координат ( х 1) в любой момент t ^ t 0. По основ ному постулату МСС в этом случае физический процесс деформа ции частицы х = const определяется указанным набором произвол-
ных и интегралов от (и,;) и (о,-,); определяющие уравнения (11.4) будут представляться, например, в виде
|
аи + оМои=Л^и (Ек1, vmn, vpq, |
), |
|
|
(11-21) |
|||||||
где аргументы тензор-функции JY суть производные и интегралы |
||||||||||||
от тензора деформации (Ец) |
или скорости деформации |
(иц) |
в Э, |
|||||||||
а скаляр Ж — функция |
их |
|
инвариантов. Преобразования |
от |
||||||||
(11.5) к (11.21) возможны для идеально изотропных сред. |
|
|
||||||||||
Если же при t = to среда |
анизотропна или в процессе деформа |
|||||||||||
ции она |
приобретает анизотропию, то преобразование (11.4) к ви |
|||||||||||
ду (11.21) практически невозможно. Обозначая аффинор |
А в Э |
|||||||||||
через б, В(х, t)=A( о(дс, /), /), |
следовательно, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
В (х, |
|
|
|
В)= |
до1 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
Ь{х, t) В (х, |
0 = - ^ - |
|
|
|
|
(11.22) |
|||||
найдем |
тензор деформации |
<$ в компонентах Ец |
(11.20) |
и выра |
||||||||
жения |
компонент |
тензора |
деформаций |
ец |
как |
алгебраических |
||||||
функций от B ^(x, |
t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Eij(x ,i ) = 8 il— B^Bl |
eij= E mnbTbj |
|
|
(П .2 3 ) |
|||||||
Затем находим выражения компонент Si}' тензора 5 через его |
||||||||||||
компоненты oij=Oij(x, t) (§ 9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 ' ' = о - В ' Д , |
amn= Siib1‘bnj |
|
|
(11.24) |
||||||
Подставляя эти выражения |
е*/, |
Si]' |
в уравнения |
состояния |
(11.5) , мы как будто бы преобразуем их в эйлерово пространство. Но, как уже выяснено в § 9, эта «подстановка» в общем слу
чае — сложная задача: оператор ^F, определенный по параметру
над |
функциями е/^(х, т), должен |
быть |
преобразован |
в оператор |
над функциями Epq(xy t) и о |
(х, t) по |
переменным |
х, т. Но он уже не будет инвариантен относительно преобразова
ния системы координат |
наблюдателя |
в Э, «объективные» |
произ |
||
водные и интегралы от Ец, Vij |
потеряют |
свое значение, так как |
|||
в процессе деформации |
будут |
возникать |
новые тензоры |
«конс |
|
тант» и функционалов |
анизотропии, |
отражаемые оператором |
|||
(11.5) . |
|
|
|
|
|
Выше рассматривались главным образом замкнутые системы |
|||||
уравнений для непрерывного поля векторов перемещения |
и, ско |
рости v и тензоров $ и S. Существенное значение и интерес представляют разрывные поля, характерные для звуковых и удар
ных волн в жидкостях, сдвигов в земной коре и многих других явлений в природе и технике.
Переход от постановки задачи в эйлеровом пространстве к постановке в лагранжевом значительно проще; поскольку в пер
вой определен вектор |
о (х, t), |
то |
закон движения х=(р(х, t) |
из |
|
вестен как решение |
уравнения |
o(x, |
t)= x, т. е. о(<р(х, /), |
/) = |
|
= х . Отсюда находим связь между |
|
|
|
||
В (х, 0==J H £ iiI |
„ А (х, |
/)= = ^P0L_0 |
|
||
|
дх |
|
|
дх |
|
для физических частиц (x = const).
Л(х, t ) B ( x , |
t) =-^— > |
|
дх |
А( х, t)= ~ b {ф, 0; |
(11.25) |
g ii (х, t ) = A lkAki . |
Скорости деформации и напряжения преобразуются по формулам
|
Ju (Х’ |
П ~ |
2 |
dt |
■АТА'}, |
|
|
eu (x, |
|
|
(11.26) |
||
|
t) = S"mATmA>n. |
|
||||
Подставляя полученные |
выражения |
в уравнения состояния |
типа |
|||
(11.17), получим |
их представление |
в |
лагранжевых координатах. |
|||
В заключение |
приведем замкнутую систему уравнений |
МСС |
в эйлеровом пространстве для фиксированного в нем произволь ного объема V с поверхностью S и произвольного фиксированного
интервала времени |
Разность значений функции |
z { x y t ) y |
|
определенных внутри V и на поверхности, в конечные |
моменты |
||
времени обозначим Дz\ |
|
|
|
Az = z(x y t2)—z (xy /]) = |
Z-2 —zL. |
(11.27) |
|
Такие уравнения полезны |
как в методах |
решения задач, так и |
в случаях, когда внутри или на границе области движения неко торые функции и функционалы разрывны. Уравнения получаются интегрированием по t соответствующих интегральных (по объему) выражений рассмотренных выше законов сохранения массы, им пульсов и энергии либо интегрированием по t и по V их диффе ренциальных выражений. Но в принципе более правильно считать такие разностно-интегральные уравнения МСС аксиомами, непо средственно согласованными с основным постулатом, определяю щим функционалы, так как, по существу, в них допускается воз можность не непрерывных {по ху t) решений, т. е. решений замк нутой системы в обобщенных функциях.
Уже отмечалось для любой z(х, t) соотношение
р dz — |
a (pz) I |
д ( р к ‘г) |
(11.28) |
|
dt |
dt |
дх' |
||
|
следующее из условия сохранения массы; найдем
и |
|
и |
|
J dt ^ р |
dV |
А (рг). dV + ^ dt ^ pzvndS, |
(11.28') |
tx V |
V |
и 2 |
|
откуда при z = const получаем закон сохранения массы
|
ti |
|
(11.29) |
J АрdV= —^ dt J pvndS. |
|||
v |
tt |
z |
|
Интегрируя по t соотношение (8.20), получаем закон сохранения импульса (уравнения движения)
|
i 1 |
|
|
U |
5a(v) |
U |
|
|
A (рv)dV + J dt \ pv (vn) d 2 = J |
+ j dt J pFdV (11.30) |
|||||||
|
t, |
2 |
|
i, |
2 |
U |
V |
|
Закон |
сохранения |
энергии |
(10.48) в |
эйлеровых |
координатах |
|||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ~ |
= а‘Ч у—div q + |
+ р<7Р. |
|
|
||
Интегрируя это уравнение по t |
и У учитывая уже известные пре |
|||||||
образования |
|
|
|
|
|
|
|
|
afiVijdV=^ cP(v) vdS—^ |
|
cP(v)vd2 + |
|* p |
----- vdl^ |
||||
V |
2 |
|
V |
|
2 |
|
V |
|
а также |
(11.28') |
при z = v и z = w |
получим закон сохранения энер |
гии в разностно-интегральной форме:
Второе уравнение (10.48) аналогичным образом приводится к сле дующей разностно-интегральной форме закона баланса энтропии:
I* Д (ps) dV + j" dt j* psvnd2=
V |
/, |
s |
|
to |
12 |
|
|
= — ^ d t^ - y div qdV + ^ dt ^ (w* + pq$ dV |
(11.32) |
||
U l7 |
h |
v |
|
Разностно-интегральные |
уравнения |
(11.28) — (11.32) называют за |
конами сохранения для конечных объемов пространства, и они
вместе с законом Фурье q = —Л grad Г также представляют замк нутую систему уравнений МСС, если известны^ функционалы вГ,
и, s, |
0 и учитывается соотношение между S и ^ Х) на поверх |
ности 2: |
= |
§12. УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦАХ ТЕЛ
ИПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВОВ
Поставить конкретную задачу МСС — значит выбрать соответ ствующую замкнутую систему уравнений, задать внешние силы и
выбрать соответствующие начальные и граничные |
условия для |
вектора перемещений и или тензора напряжений S iJ\ |
или смешан |
ные (для и и S1'), а также выбрать условия для температуры 7\ |
|
или потока тепла q, или смешанные (Г и q). Могут |
быть еще и |
смешанные термомеханические условия, связывающие между со бой u, SiJ\ Т, q, или еще более общего вида (включающие пара метры р).
Массовая сила, определяемая вектором F(x, t) и входящая в уравнение движения, в большинстве случаев известна. Это сила тяжести | F | =^Г, или всемирного тяготения, в некоторых случаях это известная сила инерции переносного движения, возникающая за счет ускоренного движения системы координат. Но иногда эта сила может быть определена с необходимой точностью только в результате решения некоторой задачи МСС, так как не явля ется известной функцией (х, t), а функцией (х, х, /), как, напри мер, сила тяготения между частицами тела.
На границе тела 2, которая может быть известной или неиз вестной (при любом t)y механические граничные условия могут быть кинематическими, динамическими и смешанными. В первом
случае полностью задан вектор перемещения |
u(v) |
или скорости |
||||||
v(v\ |
во втором — вектор поверхностной силы |
P(v\ |
в третьем — |
|||||
векторное соотношение между P(v> u(v>или P(v\ |
v(v>. |
На |
частях |
|||||
поверхности 2 |
2 И 2Р 2 wp — могут быть заданы: на 2Ц— вектор |
|||||||
u(v) или v(v), |
на 2р — вектор |
P(v), на |
2 ир — |
векторное |
соотно |
|||
шение |
между |
u(v>или v(v ) и P(v> и их |
производными |
по |
времени |
|||
и координатам. На всех частях |
поверхности, следовательно, Зада |