Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика сплошной среды

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

простым	умножением на		В1тВп и А1тАЬ приводятся		соответствен
но к
	°mn= М8тп+ 2 (IX—Щ Етп в Э,
	^тп= Рётп 4“ №§тп ® Л•
Конечно,	в общем случае		(9.11)	все значительно	сложнее, что
видно из	(9.15), (9.15'),	(9.15")		и других отмеченных выше пред
ставлений.		/)	при x=eonst рассматривается как тра
В гл. V процесс Z(x,

ектория 6- и 5-мерного вектора в пространстве его компонент и

даются

некоторые

канонические

представления

функционала

(9.14)

на основе понятий длины дуги и кривизны траектории

век

тора деформации.

(9.11)

опе

Уже отмечено, что в определяющих соотношениях

ратор

?l (Z(x)) в Л

можно рассматривать как функцию линейных

операторов над Z( T )

типа

(9.19),

не зависящую от 2(т): она оди

накова

для различных

процессов

Z' = Z(xif т) и Z" = Z(x2, т) в

двух

различных точках xi=const,

X2 = const

среды. Возникает во

прос

сравнения

и параметров

различия

2/ (t) и Z"(t),

т. е. их

геометрических образов.

Z=(zij)

в соответствие

поставим

Симметричному

тензору

б-мерное линейное пространство Е6

ортогонального

вектора

z в

репере

а& (& = 0,

1 ,...,5 ;

а*а/ = бм),

причем

так, чтобы 5-мерное

подпространство (&=1, 2 ,..., 5)

соответствовало девиатору

2, а

свертка двух тензоров уц2 ц

равнялась скалярному

произведению

yz. Тождество уz = yhzk

при замене

Уи — Уи + -у- УФи,

гц==гц +

~ ^ ф

(9.43)

принимает вид

yz = уиги =зуигц + -^-Увгв

(/, / =

3; k= 0, 1,

,5 )

(9.43')

и приводит к преобразованиям

Z o ^ - ^ Z e ;

j - z t/= ^ z k;

^ z k= $ z ih

(9.44)

причем матрицы р{) и р£' определяются одной и той же табл. 4.

Если в точке х среды задан процесс деформации (9.8) 2= б, значит он имеет заданную траекторию в 6-мерном пространстве вектора деформаций э= е

Т а б л и ц а 4

\	k	0		1		2			3	4	5
		0		1		2			3	4	5
	11	l/VT		cos Ро		sin	Ро		0	0	0
	22	1 / / 2 ~	—sin(po +		n/6)	cos (Ро + Jt/6)			0	0	0
	33	1 / / 2	sin		я /6 )	— cos (Ро	—	я /6 )	0	0	0
	33	1 / / 2		(ро —			—		0	0	0
	12,21	0		0		0			cos я /6	0	0
	2 3 ,3 2	0		0		0			0	cos я /6	0
	3 1 ,1 3	0		0		0			0	0	cos я /6

которая характеризуется шестью внутренними геометрическими параметрами — длиной дуги s и пятью компонентами Kk(t) тензо

ра кривизны к траектории процесса

d s ( t ) = \ d * \ = V k f i k d t = V		вц (t) в ц (0 dt, s {t) = J \| dB (x)\|,				(9.46)
d2e	d3e	j	dm+1e	)	(m= 1,2,	5).
*m(t) — fm ( \| d$2	ds3	Г	dsm+1
ds2
где fm— известные	функции		указанных производных (см. §			18);

а также ориентацией траектории в пространстве Ее, т. е. ориента

цией репера Френе в начале процесса				t= t0, s= 0, иначе					говоря —
	ортогональными			преобразованиями процес
	са в 6-мерном			пространстве				е, (/)= О е(/)>
	где О — постоянная матрица							0 70 = /, за
	висящая	от	6X6— (6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 1) = 15
	параметров.		Заметим,		что		преобразование
	лагранжевой		системы			координат в теле
	принадлежит к			указанным			преобразовани
	ям в Ее.
	В каждой точке 5 (момент t) на траек
	тории деформации z = a(s)						в Ее можно изо
	бразить	соответствующий				оператору (9.11)
	?= 5 вектор напряжения y = S; получается
	аналог образа процесса					деформации в Ее
	движению материальной точки по траекто
	рии г= г(/)		под	действием			силы		&(t). За
	время dt	совершаемая			работа ^ d r				соответ-
Рис. 9.1	ствует скалярному произведению
	ydz= Skbhdt= Sl'det/,								(9.47)

т. е. работе внутренних сил в единице объема за время dt в точке х= const среды (рис. 9.1). Этот образ процесса подробнее рас-

смотрен в гл. V. Здесь отметим лишь, что если в Е%установлено квазилинейное соотношение

y= chz\	(k=0, 1,	, 5),	(9.48)
Zk — линейный по t оператор над z, а		сохраняются при преоб
разовании матрицей Рг/, то	(9.48) дает
	yti=ch(zh)(J.		(9.48')

§ 10. ОСНОВНОЙ ПОСТУЛАТ МСС И ТЕРМОДИНАМИКА

Состояние вещества среды (окрестности точки х = const) опре деляется переносным движением окрестности (векторы перемеще ния и, скорости v, ускорения w, вихря о>) и внутренними харак

теристиками	(температура		Т,	векторы	Е, D, Н, В, тензоры <§ 5,
1?), изменяющимися во времени. Все					эти параметры			считаются
однозначными		функциями	х,	ty т. е. среда		локально		макроско
пически однородна. В МСС			могут рассматриваться					и /г-значные
параметры для макроскопически неоднородных /г-фазных сред.
При изучении уравнений состояния и термодинамики вещества
переносным	движением окрестности				х можно		пренебречь, если
рассматривать		постоянную достаточно			малую	массу Am и объем
AV
		Amg= p gAV= Г			pdV.
				AV
При этом с любой заданной точностью внешние							силы, действую
щие по границе Д2, взаимно уравновешены, т. е.								—£Ра=
=0(а)-+ 0 (3.11),
		\ P(v)d2 =	0,	Г л:х P(v)d 2 = 0 ,
		AS		AS

с точностью о (а), так как объемные интегралы имеют еще более высокий порядок малости. Нарушение условий А£Ра = 0 (а)-+0 происходит на поверхностях разрывов (см. § 11). В этом смысле непрерывные процессы, происходящие в частице среды, называ ются равновесными. В принципе такой выбор AV возможен и в эксперименте для квазиравновесных процессов. Работа внешних сил сведется только к работе поверхностных сил за счет дефор маций объема Д1Л Но из (8.28)

б% = j P(v)v6M2 J S^beadV m S^euAV,

Д2

ДУ

и потому отнесенная к единице объема мощность внешних сил численно равна мощности внутренних напряжений

Ь'Аг		б'А
™дубГ=		61	~	ч ’				( 10. 1)
b'A = Siibzij= a iiVi]bt.

Вследствие непрерывности	компонент			Vij,	по х очевидно,				что
величина —6М = —S^8eij	представляет			работу		рассматриваемой
системы (массы Amg), сообщаемую через					границу AS окружаю
щей среде за время бt.							во-первых,
Приток тепла к частице в МСС характеризуется,
теплопроводностью и полем		вектора		потока		тепла	q(x,	t)	или
q(x, /), причем по определению			вектора		q приток тепла			через
замкнутую поверхность AS к заключенной					внутри AV массе				за
время бt равен
6'Qr = — [ q n d m = — f qnd m .								(10.2')
AS				AS

Во-вторых, местным источником тепла мощности рq$ в секунду на единицу объема различной физико-химической природы.

Преобразуя интеграл (10.2') в объемный, получим

— J q n d m = — 6t J divqdV = J 8'QdV^6'QrAV.			(10.2)
AS	A V	A V
Следовательно, величину
	6'Q= —div q8t ^	6'QT=8'QT/hV	(10.3)

можно назвать плотностью притока тепла за время бt, а величину б'QT— притоком тепла к массе Amg от окружающей среды; чис ленно она равна притоку тепла через границу AS, а с обратным знаком, т. е .—6'<3т^ divq6^AK, равна количеству тепла, выде ляемому массой Amg в окружающую среду. В лагранжевых и эй леровых координатах имеем

div q=Vj<7‘ (х, t)= - y	d(Aqi) =	dQj (X, t)
А	dxl	dxi

qt=(\Э1, Q i= qe,. (10.3')

Размерность вектора q выбирается так, чтобы величина б'QT име ла размерность работы, 6'QT/6t— мощности на единицу объема.

Приток тепла 6'QT в МСС рассматривается как тепловая

энергия, сообщаемая в единицу объема среды за время бt окру жающей этот объем средой. Предполагается, что 8'QT можно определить в опытах с помощью калориметрических измерений, основанных на измерении температуры Т (х, t) или Т(х, /). По добно тому как работе б'А соответствует изменение макроскопи ческих характеристик механического состояния 6ег/ предпола-

гается, что количеству тепла б'QT соответствует изменение макро скопической характеристики состояния бт], так что

8'QT=pT8r\,

(10.3")

причем т] называется плотностью энтропии. Физический смысл ве личин 7, т] как статистических характеристик внутреннего состоя

ния частицы Дtrig (системы SN) выяснен в § 2;		Г пропорциональ
на средней	кинетической энергии хаотического	движения частиц
системы, г]	— среднему значению логарифма функции распределе

ния. Предполагается, что макроскопическое состояние вещества в


окрестности точки х = const	среды характеризуется некоторым на
бором макроскопических независимых		между собой параметров
процесса П(т), заданного на интервале		и соответствую
щим набором независимых	между собой параметров реакции

R(t), определенной в момент т = t.

Полный набор параметров термомеханического процесса и со

ответствующий	набор	параметров	реакции представляются, на
пример, парами
П(т) =	(Г(т),	?(т)), R(t) =	{r\(t), 5(0);

или другими, отмеченными в конце параграфа.

Полный набор П и соответствующий набор R для термо-элек-

тро-магнито-механических процессов				в МСС			получается			из	пре
дыдущих дополнением векторов			электрической					и магнитной			ин
дукции D ( T ) , В ( т ) в	состав	П(т)	и самих			электрического и маг
нитного векторов Е(£)	и Н(^) — в R(t).
В общем случае будем считать, что полный набор параметров
процесса и соответствующей		реакции			получается				дополнением
термомеханических параметров параметрами						Рп(т)= Р(т) и Р(£):
П(т) = (Т(т),	1(Т), Р(т)),		/ ?	(	0 (Л=	( 0	,	S	( 0 ,	Р ((10) ..4')

причем они согласуются с совокупностью опытных фактов.

В основу термодинамики и теории уравнений состояния в МСС


положен принцип, называемый		(основным)		постулатом макро
скопической определимости: для данного вещества					макроскопи
ческое состояние,	т. е. реакция	R(t)	и любая	макроскопическая
величина в точке	х= const, в момент		t однозначно		определяется

процессом П(т). В нем содержится утверждение локальной опре

деленности состояния, т. е. независимости		R(t)	в точке х от П(т)
в других	точках (х' = х+ £), и полноты	системы		внутренних (в
смысле МСС) параметров б, 7, р.			только физической
Следовательно, существует определяемый
природой	среды и не зависящий от П(т)	оператор		по времени
(см. § 9)	R1(...), такой, что

Оператор 7?*(П) связан с лагранжевой системой координат х, выбранной при t= t0 в среде, которая может быть анизотропной, и анизотропия может изменяться со временем. Поэтому преобразо вание оператора R1 при ортогональных преобразованиях лагран жевой системы координат х может быть сложным. Только в слу

чае	начально	изотропных	сред при ортогональном преобразова
нии	П = 01Г,	R = OR' из	(10.4") получим /?' = /?* (ГГ), в общем

случае /?'=oW (O IT)

Для определенности ниже в основном будем иметь в виду тер момеханические процессы, для которых параметры р отсутствуют. Интуитивно справедливость постулата можно пояснить заменой поверхности А2 частицы A m g совершенно непроницаемыми для внутренних частиц плоскими безынерционными стенками и пред

ставлением <§ (т), Т(т) в виде заданного закона движения стенок и изменения во времени постоянной по объему температуры. Ка жется почти достоверным, что при этом «отдача» («отклик на П») системы через стенки* во внешнюю среду будет определяться толь

ко природой среды, т. е. среднее давление					на каждую		стенку и
выделение тепла однозначно ею определяются.						Коши — Ла
В термодинамике		удобнее	тензор напряжений
гранжа S отнести к плотности р, переобозначив о(х,						/)= 3(х, /)/р,
так что (10.4'), (10.4") перепишем в виде
		П (т) =		(£ (т), Т (т)),			(10.4)
	a =S/p,	R (t) =	(о (т),	л (т)) =	R‘ (П (т)).

Из основного постулата и определения					вектора	напряжений
на границе	Pv= S 2Vi,	работы и притока тепла как интегралов
Ч	= { P(v)v6W2=6MAF,			6'Qr =	— J ЯпШЪ,		(10.5)

которые в принципе в квазистатических опытах можно измерить для любых процессов, тензор напряжений 5, мощность бМ/б/ и скорость притока тепла 6'QT/8t будут определенными функциона лами процесса, однозначно определяемыми природой вещества

~ = fA (П (т)) = -^ - Фи (П (т)),

~ т- = /г (П (т) ) Ф	т (П (т)) = Т (t)	r\f (П (т)), (10.6)
(П (т)),	о'/ = ~ L	(П (т)),
	Р

Л'(П) называется функционалом энтропии. Выделение множителя Р=Роl V 8 не вносит ограничений, так как определитель g вы-

ражается через тензор 8. Представление функционалов или опе раторов, зависящих от параметра (см. § 9), в виде производных по параметру t от других функционалов, принятое в (10.6), не на кладывает на них других ограничений, кроме условий интегрируе мости /а , / т по времени t. Предполагается существование интегра лов

Ф л (0 = р и 1 (1 ) . т щ й т,

	^0	(io.7>
t	t

которые с обратными знаками (—Фа, —Фт) можно назвать ме ханической энергией и тепловыделением в точке х= const, переда ваемыми за время t—10 частицей постоянной массы с единичным начальным объемом и начальной плотностью ро= р(^о)=рЛУ в окружающую среду через ее границу. Последняя строка равенств (10.6), устанавливающая связь между тензорами напряжений, де формаций и температурой, называется уравнениями состояния.

Внося в (10.6) выражение 6'Л/6/ (10.1) через мощность внут ренних напряжений, получим соотношение

a'/el7= - L s i/-% L= ^ _ 0 ^

(Ю.8)

рdt dt

которое при подстановке в него функционалов fV (10.6) должна быть тождеством для любого t:

Ot	(10.8')
	01

Введенные скаляры и тензоры записывались выше как функ ции времени t для точки х = const, чтобы подчеркнуть, что рас

сматриваемые функционалы f и Ф — операторы по параметру т в

интервале	над П(т), т. е. тензором деформаций		8 и тем
пературой	Т в той же точке x=const. Эти	функционалы	зависят
от х лишь	потому, что в конечной области	G пространства		опре
делены поле 8 и поле Г, т. е. функции х, t
	£ = Ё(х, т), Т= Т( х , т),	х е С .		(10.9)
В области	G определено также поле вектора потока тепла			q(x,

f)=Q(x, t). На основании соотношения (10.3) из (10.6) получаем

уравнение распространения тепла

р7’-^-'Ч'(П(х, т)) = —divq, ot

ИЛИ

= pfr= —div <7.

■Сумма

Ф л+ Ф г= «<(П(х, т))

(10.11)

называется функционалом внутренней энергии, или внутренней энергией. Из (10.6) получаем закон сохранения энергии

pdu=8'A + 8'QTt

(10.12)

из которого после подстановки выражений 6'A, 6'Qr получаем функциональное уравнение в лагранжевых координатах

p_aiL= s i/J e f/_ _ div q

(10.13)

dt dt

Из уравнений (10.10) и (10.13) находим основное термодинамиче ское равенство (тождество), связывающее работу внешних сил с функционалами внутренней энергии и энтропии

6ц—Г6т1= — 6'Л; — 6,A = a88= aii6elh

(10.14)

РР

где символ б означает приращение (дифференциал) по времени. В частности, из (10.5') и (10.6) находим коэффициент теплопро водности при постоянных деформациях:

т дг№	dd>T	0 при	д%(Л_= о	(10.15)
	— —
dT/dt	йТ	*	dt

Поле вектора потока тепла q(x, t) в МСС определяется полем температуры Т (х, £), а именно пространственным градиентом тем пературы

g ==grad Г = (у тГ) э т=	э т= дТ(х: 1) е„	(10.16)
д \т	дх1

причем q направлен в обратную сторону по отношению к grad Т9 т. е. в сторону убывания Т, Вектор g может быть включен в чис

ло параметров процессами(т) = (<§ (т),		Т(т), g(x)),	а поток теп
л а — в реакцию R(t) = (a{t)9 ri(0»	Ч(0)- Но тогда		только компо
нента q будет иметь вид
q ( 0 = 4 ( I .	т,	g),	(10.17)
причем по закону Фурье в Л:
q (0 = -A g (/);A (/) =		A ,(\|f 7);

В эйлеровом пространстве Э(*, t):

Ч(лг, t)= Q l (х, t) eit

Q‘ (х ,t ) = — M (,x,t)dT ( x , t)/dxf,

(10.17")

причем переход от (10.17') к (10.17") связан с преобразованием: матрицы Л от Л к Э (§ 9).

А — положительно определенная матрица теплопроводностиу. определяемая природой вещества, зависящая, вообще говоря, or

Г, <§ и, может быть, даже q:

A = A (T ,|',g );

(Ю.18):

она предполагается известной на основании специальных измере ний теплопроводности вещества с использованием закона Фурье (10.17). Для изотропных сред часто предполагают:

q = -X g,

(10.18')

причем скаляр К зависит только от температуры и плотности

Я(х, t) = l ( x , t)= X (р, 7).

На основании (10.10)	получается уравнение теплопроводности:
в (Л) и (Э) в виде
р7 an^ ,°	= div (A grad 7 (х. /)) + р<7р
р7 йц (*’ 0 - =		div (A grad 7) + р</р	(10.19)
или через функционал и(ё?у Т)		в лагранжевых координатах в ви
де (10.13).			формуя
В § 3 (V) дано другое представление второй строки

(10.6), сводящееся к замене функционала Фг суммой двух других,,

иуравнения теплопроводности в виде

Тк\= T s —w*9

рТ -^ - = div (AgradT) + pw*	(10.20)
at

Определение s(S, T\ и w*(iГ Т) через т|, следовательно, неод нозначно и требует дополнительного условия, которое конкретизи руется для различных сред или процессов заданием функционала

w*=w\ (П (т)) ^ 0,

(10.21)

w* имеет размерность мощности на единицу массы. Из (10.6) и (10.20) следует соотношение

pTds=8'QT-\- pw*6t,

(10.22)

называемое в МСС уравнением баланса энтропии, a s(<?f, Т)

энтропией. Из (10.12) и (10.22) следует

Р (dty+ sdT)=8'A—рw*dt,

(10.23)

б'А = 8 ‘Ыгц, ф = w—Ts.

Сопоставление равенств (10.12), (10.22), (10.23), аналогичных полученным в статистической механике для равновесных обрати мых процессов (§ 2), во-первых, дает некоторое основание для принятой выше терминологии (внутренняя энергия, энтропия, if — функционал свободной энергии) ; во-вторых, позволяет опре делить в МСС макрообратимые термомеханические процессы как такие, в которых рассеяние равно нулю (до*=0), и функционалы энергии и энтропии являются функциями мгновенного состояния

процесса H(t) = (<2>(t), T(t)) в момент x=t, т. е.

ш* = 0; R (t)= R ‘(П (т)) ^		Я (П (/)),
ы(/) = «(П(/)),	ф (/)-ф (П (/)),	5(0=5(П(/)).	(Ю.24)
Поскольку функционал	/?'(П(х)) является непрерывным для

любых физических процессов, он — функция линейных функцио налов процесса (§ 9)

р (/) -- К	(0, тх(/),	, тп (/)) = (П (т)) .
или	= (т о! (П (т)),	,т'(П (х)))
или			1, ... , п).
^ (0 = К ( П ( т )),		(fc=0,	1, ... , п).	(10.25)
Здесь т£(П )— линейные функционалы			(линейные	операторы)
над П(т). Например	(§ 9),	t	_
		t	_
р(/) = р'(П(т)) =		5;П(т)^Яп(<, Т),		(10.25')
		to
	t .	t	_
m h (t) = J I (X) dx H e {t, T) + f t			(X) dxHT(t , X),
to		to

где ff(t, т ) — тензор (или матрица-функция (t, т)) с ограничен ным дифференциалом по т.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.36 Mб44Механика композиционных материалов..pdf
#
15.11.202220.8 Mб81Механика мерзлых грунтов общая и прикладная..pdf
#
15.11.202212.72 Mб37Механика подземных сооружений в примерах и задачах..pdf
#
15.11.202210.82 Mб13Механика разрушения. Разрушение конструкций.pdf
#
15.11.20227.56 Mб70Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
15.11.202213.71 Mб35Механика сплошной среды..pdf
#
15.11.202218.2 Mб53Механическое оборудование предприятий по производству вяжущих строи..pdf
#
15.11.20223.07 Mб17Микробиология и биотехнология..pdf
#
15.11.20229.17 Mб22Микробиология и основы биотехнологии..pdf
#
15.11.20222.64 Mб12Микропроцессоры и микроЭВМ. Периферийные устройства.pdf
#
15.11.20229.93 Mб54Микроэкономика..pdf