Механика сплошной среды

Динамические условия на 2Р в зависимости от свойств среды могут сводиться к заданию либо нормального напряжения

(пример идеальной жидкости о// ——рб;/), либо к заданию полно­ го вектора Рф* внешней силы (напряжения). Поскольку на лю­

бой площадке вектор внутреннего напряжения P(v) = Slvh то ус­ ловие в напряжениях имеет вид:

(или одной) составляющих вектора v и одной (или двух) состав­

ляющей вектора P(v), а всего трех скалярных условий, т. е. час­ тично — задания условий (12.7), частично — (12.9). Если а, Ь, с — три ортогональных вектора на поверхности, то три условия должны быть такими, чтобы одно относилось к направлению а, другое — к Ь, третье — к с, т. е. не было бы двух, относящихся

Условие (12.10) возможно потому, что на границе двух однотип­

не образуется тепло, аналогично можно рассматривать как тре­ бование непрерывности потока через поверхность, если же тепло

ния (]фт и потока тепла от внешнего тела. Поток ^фг часто счита­ ется пропорциональным разности температуры тела Т на Ф = 0 и температуры внешнего тела ТФ:

где k называется коэффициентом теплоотдачи. Если твердое тело с границей Ф = 0 сильно нагрето, то в пустоту (приближенно — в воздух) оно отдает лучистое тепло\ в условии (12.11) в этом случае q<& может быть взято согласно закону Стефана—Больц­ мана:

имеет значения от 0,96 для окисленных шероховатых черных ме­ таллов до 0,3 для блестяще полированных.

Поскольку уравнения движения среды содержат ускорение, а уравнение теплопроводности — скорость изменения температуры,

динамические задачи требуют кроме граничных условий поста-

о

новки еще и начальных условий. В перемещениях и=х— о(JC, t) =

МСС необходимо учитывать возможность возникновения поверх­ ностей разрыва внутри области G. Такие поверхности могут воз­

(§ 12)) за счет прилагаемых в какой-то момент внезапно внеш­ них сил (F, ^(v)) или других воздействий (соответствующих пара­ метрам р). Эти поверхности движутся внутри G, выходя на гра­ ницу 2, отражаясь от нее или сообщая ее неподвижным участкам сильные толчки, иногда вызывая разрушения и т. п. Движение по­ верхности разрыва называют волной разрыва в среде. Типичными примерами являются сейсмические волны при землетрясениях, ударные волны в атмосфере от взрывов и сверхзвуковых движе­ ний летательных аппаратов.

Возможность или невозможность возникновения волн в среде полностью определяется типом присущих ей функционалов состо­

яния и QT (§ И), которые в уравнениях движения и распрост­ ранения тепла дифференцируются по координатам и времени. Но именно на поверхностях разрывов они могут терпеть разрывы, и потому дифференциальные уравнения должны пониматься в обоб­ щенном смысле или заменяться интегральными. Это означает: либо решение задачи МСС, т. е. х(х, /), v(x, t), Г, р .. надо ис­ кать во всей области G в виде обобщенных функций, либо по­ верхности разрывов выделить из G и включить в состав поверх­ ности 2, на которой записываются «граничные условия», и тогда искать в получившейся области классические решения.

разрывов.

Поверхностью (или волной) сильного разрыва в термомехани­ ческих задачах называется движущаяся в среде поверхность, на

которой терпят разрыв тензор деформации б, температура Т и, следовательно, тензор скорости деформации V и могут иметь раз­ рыв функционалы fFiJ' уравнений состояния, т. е. тензор напряже­

ния и функционал внутренней энергии и[&, Г], входящей в закон сохранения энергии. В задачах с влиянием электромагнитного поля могут иметь разрыв также параметры р. Поскольку преоб­ разование уравнений при переходе от эйлеровой к лагранжевой системе координат выяснен, рассмотрим вопрос в эйлеровом про­ странстве. Пусть уравнение поверхности разрыва, ее нормаль и скорость распространения вдоль нормали имеют выражения

тояние). Поверхность Н = 0 предполагается настолько гладкой, что в окрестности точки х в момент t ее можно заменить касательной плоскостью и рассмотреть малый элемент площади ее поверхности

напряжения, параметров р (следовательно, тензоров деформаций,

разрыва, или на ударном фронте. Они путем алгебраических пре­

так как физические законы в МСС не зависят от скорости пере­ носного движения Vi окрестности физической точки.

Как видно из (12.15), (12.17), функция #(х, t) удовлетворяет уравнению

Выбор допустимых граничных условий на поверхности 2, огра­ ничивающей область Gi движения среды, как и тип замкнутой системы уравнений, определяется физическими свойствами веще­

т.е. имеющий взаимно однозначный обратный относительно

&в лагранжевых координатах (§ 9):

Su= & v'{zmn, Т, р). ги =&7}1 (Sm Т, р). (12.26)

Таковы операторы теории упругости, вязкоупругости, пластичнос­ ти (упрочняющихся материалов) и др. Нормальными для изо­ тропных упруговязких жидкостей являются уравнения состояния,

собой, функции }ц (12.27) также независимы между собой, т. е.

следовательно, обратные операторы fjj1 не существуют:

В особом случае идеально пластических изотропных тел суще­

и потому оператор SF не вполне обратим.

Для всех сред, принимаемых в теории как объемно-несжимае­

оператор ЯГ не вполне определен, так как вследствие (12.30) не

могут быть заданы любые процессы (8 , 7\ р) для физической частицы, а значит, и на поверхности 2 всей области тела. Интег­ рируя divv = 0 по объему области V', получим

V 2

При этом обычно существует обусловленный обратный оператор

(согласованный с условием (12.30) и дающий однозначную зави­ симость 8 или V от (5, 71 р)) или обусловленный прямой ЯГ\\

Основной постулат МСС, утверждающий, что внутреннее сос­ тояние малой частицы вполне определяется природой среды, за­ данием закона изменения ее границы или сил на границе и при­ тока энергии (6М, 6'QT 6'ЛР) через границу во времени относит­ ся, конечно, и ко всей области движения среды, если учесть еще работу массовых внешних сил. Это значит, что решение полной системы уравнений МСС при граничных условиях, правильно от­

ражающих приток энергии и импульса непосредственно на грани­

ординатах определяется заданием закона движения ее физических точек

метрическое уравнение в момент t\ или заданием вектора скорос­

которое может быть представлено с помощью как (12.33), так и (12.34) . С точки зрения основного постулата условия (12.33) или (12.34) и (12.35) вместе с начальным условием во всей области

/ = /0 Т = Т 0 (12.35')

являются естественными для сред с обратимым функционалом ЗГ> и решение термомеханических задач существует. Условия (12.34) могут быть заданы и на произвольно движущейся заданной по­ верхности Ф(*, t)= 0.

Для обратимых операторов с точки зрения основного постула­

та задания & или 5 эквивалентны, и потому эквивалентны в смысле существования решения задания условий (12.33) или ди­ намических условий

физически также оправдана.

Интересно сопоставление кинематических и динамических ус­

задание скорости Av тождественно заданию силы AcP(v) и на­ оборот; вместе с заданием теплового потока nAq любое из этих механических условий однозначно определяет энергию Аа.

Смешанные граничные условия, о которых сказано выше, вследствие эквивалентности кинематических и динамических так­ же им эквивалентны. Естественно, что все эти условия нетожде­ ственны, они эквивалентны в смысле возможности существования решения замкнутой системы уравнений МСС.

Особые случаи граничных условий для сред с необратимыми

и не вполне обратимыми операторами У уточняются с учетом их свойств. В несжимаемых средах условия (12.34), (12.36) допол­ няются ограничениями (12.31) на задаваемые векторы (ф£ уг) и дополнительным заданием граничного условия на а, вытекающим из (12. 32):

При условиях (12.34), (12.31) дополнительно должно быть за­ дано нормальное напряжение Nn в одной точке на поверхности. При условиях (12.37) о(х, t) является новой искомой функцией, и ей соответствует уравнение несжимаемости

и условие (12.38) на границе, вытекающее из (12.37). В идеаль­ ных жидкостях сообщаемая через границу 2 мощность механиче­ ских сил сводится только к работе нормального давления р на нормальной составляющей вектора скорости. Поэтому условия (12.34) сводятся к заданию одного скаляра v*n:

а условия (12.37) на основании (12.28) приводятся к виду (12.38), причем о= —р и задан скаляр Nn:

В случае идеально пластической среды кинематические усло­ вия (12.33), (12.34) сохраняются и решение замкнутой системы должно существовать в силу основного постулата; по той же при­ чине при условиях (12.37) статическое решение (§ 18) при про­ извольных нагрузках не существует на основании (12.29).

Закончим общими замечаниями о краевой задаче МСС. Каж­ дое из уравнений замкнутой системы и каждое из граничных и начальных условий термомеханической задачи можно рассматри­