Механика сплошной среды
..pdfщихся пластических деформаций от области, где они «замороже ны», называется поверхностью текучести для процесса OAsA\\
|
<Р0А= £Г(Э)= 0. |
(19.19) |
|
Существует такое |
направление |
разгрузки А ^А ц (рис. |
19.2), для |
которого упругая |
деформация |
в точке 0 { полностью |
исчезает и |
вектор 0 0 i = 3(p) будет представлять замороженную пластическую
деформацию для перехода из А[ в любую точку М. Таким обра
зом, всякий процесс движения |
точки М(эм) внутри ^~ = 0 упруго |
|||||||
обратим, причем |
3(p) = const = 3P(/li); вектор 0\РЛ= эме представ |
|||||||
ляет упругую деформацию в точке М. |
|
|
|
|
||||
Постулат пластичности: |
на всяком замкнутом по деформациям |
|||||||
изотермическом процессе работа напряжений |
неотрицательна — |
|||||||
установлен для малых и конечных деформаций: |
|
|
|
|||||
А = j |
ои- (1гц=($ о йэ— ф р йд= ф ойэ ^ 0. |
(19.20) |
||||||
е |
|
э |
|
в |
э |
|
|
|
Работа давления |
р= —Кд |
исчезнет, так |
как — pdQ=K/2d(Q2) . Из |
|||||
основного термодинамического |
соотношения |
at/de// = pod^-f w*dt |
||||||
для всякого замкнутого |
по |
параметрам |
состояния р(рь |
рг, |
) |
|||
процесса имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
w*> 0, |
А11= ф ои deij = $ )w *dt^ 0, |
|
|
цa
так как интеграл от с?ф(р) равен нулю. Отсюда, однако, не сле дует (19.20), так как е,; при пластических деформациях не явля
ю тся |
парам етрам и |
р, |
т. е. процесс, |
за м кн уты й |
по |
е//, |
м о ж е т |
бы ть |
||||||||||||||||||
не з а м к н у т по |
р, |
и потом у А^фА. Е сли |
п р е д п о л о ж и ть, |
что |
при |
|||||||||||||||||||||
r = co n st |
р = э(£?> и |
w*dt = ad9^\ |
то получим |
a=2G9^e\ |
ad&w^0. |
|
||||||||||||||||||||
Р ассм отрим |
за м кн уты й |
|
по |
деф орм ациям |
процесс |
МТРТМ |
||||||||||||||||||||
(рис. |
19.3), |
в ы хо д я щ и й на |
йэт в |
точке |
Т за |
пределы |
|
п о верхности |
||||||||||||||||||
ЗГ = |
0 |
и |
п отом у д а ю щ и й |
|
приращ ение |
пластической |
э |
деф орм ации |
||||||||||||||||||
d9^\ Д л я |
п ря м ого |
МТР и о б р а тного РТМ |
путей |
|
од и н а ко во , |
|||||||||||||||||||||
с1э меняет зн а к |
на |
об ратны й, |
и |
потом у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
А = |
J (о М1— |
o TM) d 9 - \ ~ |
\ |
{°тр—o PT) d s . |
|
|
|
(19.21) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
мт |
|
|
|
|
|
|
ТР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П о с к о л ь к у |
T P = d d T бесконечно |
мал, |
то |
и изм енение Отр— Ор т будет |
||||||||||||||||||||||
бесконечно м алы м , и |
потом у |
второе |
слагаем ое |
в |
(19 .21) |
м о ж е т |
||||||||||||||||||||
бы ть |
отброш ено . Н а |
МТ у п р у га я деф орм ация |
обозначена э ^ ) , |
на |
||||||||||||||||||||||
обратном |
— |
|
их |
разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и потом у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й э ™ й э = й э {р) j |
с 1 э = й э ^ |
|
М Т , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
мт |
|
|
|
|
|
мт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причем |
cte(D) за ви си т |
то л ько |
от |
ёэт |
и |
то ч ки Т на |
& ~ = 0 , |
но |
не |
от |
||||||||||||||||
то ч ки |
М. С ледовательно, |
д л я |
л ю б о го |
вектора |
М Т |
|
в н у тр и |
# " = 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M T d a ^ O ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19 .22) |
||||||
но |
это |
возм ож но |
то л ько |
|
при |
усл о ви и , |
если |
|
|
им еет |
н а п р а в л е |
|||||||||||||||
ние, совпадаю щ ее с но р м а л ью |
к £Г в точке |
Т, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
da<P> = |
D g ra d < ^ (э) d X ^ D ^ y d X, |
|
|
|
|
|
(19 .23) |
||||||||||||
где |
D — |
некоторы й |
ф ун кц и о н а л процесса |
ОА\ и |
то ч к и |
Т |
(л ю б о й |
|||||||||||||||||||
на |
& ~ ), |
X |
— |
парам етр, |
v — |
|
е д и ничны й |
вектор |
|
н орм ал и |
в |
точке |
||||||||||||||
э = этк |
поверхности # ~ = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
v = a*v*, |
v * v * = l |
(& = 1 , |
2, |
. . . , 5 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
С оотнош ение |
(19.23) |
назы вается ассоциированным |
с |
(19.19) |
зако |
|||||||||||||||||||||
ном |
текучести, J I |
оно |
есть частны й |
сл уч а й |
общ его |
в ы р а ж е н и я |
за |
|||||||||||||||||||
кона |
связи о ~ э |
(1 8 .1 6 ), |
|
но |
со д е р ж и т |
не |
пять, |
а |
то л ь ко |
два с к а |
||||||||||||||||
л я р н ы х ф ун кц и о н а л а : Ф~ и D. |
|
|
|
|
н а п р я ж е н и е м о |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
П о с к о л ь к у |
деф орм ация |
э |
связана |
с |
ф изичес |
||||||||||||||||||||
ким |
законом |
э = э [о ] , то |
при |
та ко й замене |
поверхность |
(19 .19) |
||||||||||||||||||||
преобразуется |
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 Н э ) |
= |
< Г (э [о] ) = = / ( « ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и назы вается |
поверхностью |
н а гр у ж е н и я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория Прандтля—Рейсса получается в предположении, что вектор упругой деформации aT{e)= ^ L’\ соединяющий точку с Т, имеет постоянную длину
|
|
| э |
( с ) | = |
| э |
— э ( р ) | = |
co n st= -^ -= 3 s, |
|
|
|||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2aF = |
( э — э ( р ) ) 2 — |
5 с = |
0 . |
|
|
(19.24) |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
graded— Э—э (р)= - |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|
|
Из |
(19.23) получаем частный вид (19.5) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
da |
|
1 |
da |
aX, |
|CT| = a s==const, |
(19.25) |
|||||
|
|
dt |
2 G |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где K-- |
dk |
неопределенный |
параметр, |
причем |
)i= 0 |
для |
|||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|o |< a s. В девиаторной форме соотношения |
(19.25) имеют вид для |
||||||||||||
малых деформаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ег/ = — |
0|/ + ОцХ, |
ai/oi/= (a s)2 |
|
(19.26) |
|||||||
и представляют |
шесть |
независимых |
уравнений, |
связывающих |
ац |
||||||||
с Bij и к. Присоединяя |
к ним р = —KQ |
и |
уравнения |
движения |
|||||||||
p(iii—Хг)=0|/,/, |
получаем |
замкнутую |
систему. |
При |
разгрузке |
Х = 0.
Для конечных деформаций обобщением (19.5) найдем соответ ствующие (19.25) определяющие соотношения в эйлеровом про
странстве, если сделаем замены |
(§9): |
в (19.5) |
|
|||
• |
v |
. ^ |
* |
do |
до , |
до |
|
|
|
|
|
|
(19.27) |
|
|
с; |
doi}- |
~ |
~ |
|
|
G ®7 ^ i i — |
~ "Ь |
“I" |
|
||
и параметры |
(19.6) |
примем в виде |
|
|
||
|
<7i = |
CT. qA= a/\a\, |
q3= cos$ = |
°iivij |
||
|
|
|
|
|
|
(19.28) |
v2= v uvu = s 2, \ a \ — V
Получаем в Э: |
|
о |
(19.29) |
|
|
В приближенных расчетах Л^=Л2(} = const (& = 0,75~0,8), а |
функ |
ция |
(19.30) |
до= /(<7 Ф) |
берется из теории малых деформаций. В частном случае идеаль
ной пластичности (о= 0) несжимаемого тела |
(p = po = const), |
vkh= divv=0, Vij=vijf получим (19.29) с заменой |
0 cos й/о на не |
определенный множитель л. |
|
На основе гипотезы о существовании поверхности текучести и существования упругого потенциала внутри поверхности текучес
ти можно определить упругую деформацию 8 {е)\ на |
основе <§ и |
|||||
8 <*> построить тензорную |
характеристику конечной пластической |
|||||
деформации |
и с помощью постулата пластичности |
установить |
||||
связь |
между |
скоростью |
роста |
пластической |
деформации и нор |
|
малью |
к поверхности текучести, |
подобную (19.23) для конечных |
||||
упругопластических деформаций. |
|
|
|
|||
|
|
§ 20. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВЯЗКОУПРУГОСТИ |
|
|||
Линейная |
теория изотропной |
вязкоупругой |
среды |
относится |
к твердым телам со свойствами, которые в области малых дефор маций весьма близки к свойствам полимерных материалов: нату рального и синтетического каучуков, аморфных полимеров с ма лыми и большими молекулярными весами, полимеров в компози ции с другими волокнами и других. В зависимости от температуры для этих материалов характерны стеклообразные состояния при низких температурах, когда они почти идеально упруги, и высоко эластические состояния при повышенных температурах, когда они значительно деформирутся при малых напряжениях и имеют силь но выраженные временные свойства (релаксации, ползучести). Таким образом, все промежуточные состояния относятся к облас ти практически распространенных температур. Теория относится и к другим телам как приближенно аппроксимирующая их реономные свойства.
Рассматриваемая среда линейна, т. е. в общем представлении функционала S = #"'(#, Т) сохраняется лишь один линейный по 8 функционал (9.19). Применяя такое представление к девиатору
о,/ и среднему давлению р, получим основные соотношения линей ной теории вязкоупругости*:
* т = 0-, т= 0+ означают стремление к нулю слева и справа; далее т=0 в пределе интеграла понимать как т=0-.
° ц ( 0 = J Г ( / — х)ги (х)йх, е,-/ (0— ) = а ц (0— ) = 0 ,
(20. 1)
t
—р (0 = J Г, (/—т) 0 (т) cfr.
о—
Функции Г(/—т), Fi(/—т), универсальные для данного вещества, называются соответственно ядрами сдвиговой и объемной релаю сации. Вместо двух аргументов (t, т) в них входит лишь разность (t—т), что есть следствие предположения о независимости свойств
от начала отсчета времени |
(/0 = 0, /0# 0 ). |
Материалы, для которых |
||
в (9.19) K \(t, x)¥=R\ (t—т), называются |
стареющими. Рассматри |
|||
вая (20.1) как интегральные уравнения |
Вольтерра |
относительно |
||
деформаций eu(t) и 0(0 |
и учитывая их разрешимость |
(ядра Г, |
||
Т\ таковы, что они должны быть разрешимы, так |
как |
задание |
||
процесса нагружения Oi/(t) в «^-опытах |
(§ 10) вполне |
определя |
||
ет деформацию), получим |
|
|
|
|
t
е,-/ (0 = $ К (t— x) аи (т) dr, 6
(20.2)
t
— 0 (/) = I Кг (t —т) р (т) dx.
о
Соотношения (20.1), (20.2) в качестве частного случая должны содержать обычный закон Гука. Мало того, если процесс дефор мации или нагружения производить очень быстро в интервале 0—/—>-0+ то рассматриваемые материалы обладают идеальной уп
ругостью. Таким образом, если деформацию гц мгновенно (f->0+) увеличить от нуля до конечной величины е*/, то должно быть
Oii= 2Gzij. На основании (20.1) это возможно только в том случае, если ядро обладает свойством б-функции Дирака.
Соотношения (20.2) справедливы для произвольного процесса
нагружения. Полагая oa(t) =cij8{i)1 —p(t)= c6(t), где сцу с —
постоянные, находим из (20.2)
EU(t)= CiiK (о, е (0 = с М 0 .
Внося все эти значения в (20.1) и сокращая постоянные, получим интегральные уравнения, связывающие между собой К и Г:
'\K (x)T (t~ x)d x= 8 (t),
б
(20.3)
t
I R A T) f, (t-x )d x = b (t).
о
Легко проверить, что если внести значения в//, 0 (20.2) под интег ралы в (20.1) и потребовать, чтобы последние стали тождествами при любых Oij(t), o(t)y можно получить интегральные уравнения (20.3).
Теперь можно исключить особенности в ядрах К и Г, полагая
f(0 = 2G6 (0 —Г(0, |
(20.4) |
|
|
/С1(0 = ^ г б (0 + К1 (0, |
|
А |
|
А (0= К 6 (0 -Г А 0 . |
(20.5) |
где К, G — постоянные, называемые мгновенными |
модулями |
(§ 15), K(t), Г(0 — регулярные функции. Из (20.1) получим
t
аи =20гц — \ Г (/ —т) ег, (т) dx,
6
(20.6)
t
—p=KQ— § Гх (t—т) 0 (т) dx.
о
Из (20.2) получим
е,7=1дГ + оJ ^ |
а,/ ^ dx' |
|
t |
(20.7) |
|
р^dT' |
||
- Q=Jk+isK' |
||
о |
|
Интегральные уравнения (20.3) для регулярных ядер примут вид
|
t |
|
2GK |
+ $ * (т) Г (/—т) dx, |
(20.8) |
|
О |
|
|
t |
|
ККг (t) = b p . + ^ Kl (т) Гх (t— x) dx.
0
Ядро K{t) можно найти из опыта на ползучесть, после чего резольвенту Г (t) — из (20.8). Но резольвенту T{t) можно также найти из опыта на релаксацию и проверить соответствие опыта и теории. Ядра К\, Ti определять трудно, так как полимерные мате
риалы |
малосжимаемы. |
При условии |
несжимаемости |
(/( = оо, |
|||||||||||
divu = 0, |
следовательно, |
е,/ = е//), |
пренебрегая |
объемной |
ползу |
||||||||||
честью |
(К\ = Г1= 0), |
будем иметь первые |
из |
соотношений |
(20.6), |
||||||||||
(20.7), (20.8). |
случай |
простого |
растяжения |
образца |
вдоль оси |
||||||||||
Рассмотрим |
|||||||||||||||
хь когда Oij= 0 |
при |
всех i, j |
кроме |
£ = / = 1, |
|
причем В22 = езз= |
|||||||||
= —1/2ец, |
остальные |
е// = 0. |
Обозначая oi=On |
— растягивающее |
|||||||||||
напряжение, en = ei — удлинение, из |
(20.6), (20.7) |
найдем |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стх (/) = |
3Gex (/)---- J Г (t —т) ех (т) dx, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
(20.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6l |
= |
~з!Р~+ Т |
f К ^ ~ т) CTl ^т) йт' |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
В опыте на ползучесть, быстро прикладывается и поддержива |
|||||||||||||||
ется постоянное напряжение |
о\ = const и наблюдается |
рост дефор |
|||||||||||||
мации 8i (0- Из второго соотношения |
(20.9) находим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d E 1 (О |
|
|
|
|
|
|
|
т. е. ядро |
К (0 |
пропорционально |
скорости |
ползучести, |
причем оно |
||||||||||
не должно |
зависеть |
от |
величины приложенного |
напряжения oi |
(т. е. К одинаково при о/, а / ', ...).
В опыте на релаксацию мгновенно удлиняют образец до. де формации 6i = const, которая сохраняется постоянной, и наблюда ют падение напряжения. Из первого соотношения (20.9) находит ся Г(0- Найденные в этих опытах K (t), T{t) используются во всех задачах МСС для данного материала.
В |
модели Максвелла |
принимается |
2/3/( (^) = 1/(3<3/r) =const, |
|||||||||||
причем постоянная tr называется |
временем релаксации. |
В этом |
||||||||||||
случае второе уравнение (20.9) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3G6J—Oi= — ах; |
|
|
|
|
|
|||||
решая его относительно oi, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
ч~х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = 3 6 8 !— — Се |
‘г |
8j (т)dr. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
tr |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
ядро |
релаксации |
в |
модели |
Максвелла |
Г= |
||||||||
= 2G/trexp(—t/tr). Ползучесть |
(01= const) этой |
модели идет с по |
||||||||||||
стоянной |
скоростью ei = const, |
а |
релаксация |
напряжения |
(при |
|||||||||
ei = const) |
— экспоненциально. За |
время релаксации |
tr |
напряже |
||||||||||
ние oi убывает в е = 2,71828 раза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Соотношения (20.6), (20.7) чаще используются в виде, предло |
||||||||||||||
женном еще Больцманом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°*/(0 = |
S R (t— r)deu (r), |
—P = \ R i ( t — *)<*е (т), |
|
|
|||||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20. 10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eit (t) = $ n ( t — r)doij(r), |
|
|
П, (t— r)dp(r), |
|
|
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к которому они на основании начальных условий |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t = 0_, |
oij= p = B ij=Q = 0, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R (0) = 2G, |
^ ( 0 ) = * , |
|
|
|
|
(20.11) |
||||
|
|
|
R (0) П ( 0 ) = ( 0 ) Пх (0) = |
1 |
|
|
|
|
||||||
приводятся заменой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Г ( 0 = — ^ - = - Я ' ( 0 . |
Г1== —/?'i(0, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 20. 12) |
|
|
|
K (t)= U '(t)t |
K A t)= ni(f), |
|
|
|
|
||||||
R и П называются соответственно приведенными |
функциями |
|||||||||||||
релаксации и ползучести. Относя |
|
ординаты |
каждой |
из кривых |
||||||||||
ei, г\ |
(рис. 20.1), к |
2aj/3, |
2OI/3, |
убедимся, |
что они |
сольются |
||||||||
в одну кривую, которая и есть функция ползучести П(/). |
функции |
|||||||||||||
При небольших изменениях температуры |
Т = T0+ #(t) |
R и П в линейной по а,/, в// и й теории не должны зависеть от О
соотношения |
(20.10) сохранятся, если |
|
||||
только |
объемную |
деформацию 0 заме |
|
|||
нить на |
|
|
|
|
|
|
|
07= 0 — Зад. |
|
(20.13) |
|
||
Для |
простоты, |
пренебрегая |
объемной |
|
||
ползучестью, |
т. |
е. полагая |
R \(t)= K = |
|
||
= const, Z?iIIi= l, |
получим |
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
Р— —KQT> °ij = ^ R { t— x)dEil{r). |
|
|||||
|
|
|
|
|
(20.14) |
|
В линейной теории свободную энер |
рис \ |
|||||
гию ф |
следует |
считать |
квадратичным |
|||
функционалом деформаций и температу |
|
|||||
ры д = Г —Г0 |
(§ |
10). Но д |
и 0Г=0—Зад |
|
являются термодинамическими параметрами состояния, Sij(t) — внешними параметрами. Следовательно, можно написать для еди
ницы объема (ро'ф=='ф):
о о
где ^(х , у ) = & >(у, х) — некоторая неотрицательная функция — характеристика материала.
С термодинамической точки зрения в (20.15) предположено, что температура д и объемное расширение 0 — параметры состоя ния, и процесс л определен так:
|
я(т)= (й , |
ег, еи). |
(20.16) |
Полный дифференциал ф по t |
равен |
|
|
|
|
t |
|
— (— + З а К 9 т) d& + К&т М + den (/) Г (t— т,) dzt / (т,) + |
|||
+ dt | |
jcP ' (2i—Ti—т2) def/ (тх) dei;(т2). |
(20.17) |
|
о |
о |
|
|
Вариация ф по определению (10.38) равна
t |
|
|
-J[/C 0 r(O 60 (т)— ( |
+ ЗаКвт (0 ) 64 (т) + |
(20.17') |
t |
t ~ |
|
+ § & ( t - т, t - l ) %, © d£6e~- (т)] dx a J - g - бл (r) dT. |
||
1=0 |
о |
|
Следовательно, |
|
|
_ |
t |
|
"( 0 = = +3aK0r) *+M0 53 (0 f~l) d^>®■
(20.18)
Теперь из (10.39), (20.17) и (20.18) находим функцию рассеяния
(V.- = - f c = ( - g - ) fi - ^ =
=- тИ1 5а(/- Т1’ {~ч |
) (2019') |
о |
|
и из (10.40) — уравнения состояния. При процессе л (20.16) ре акция г включает энтропию s:
r= (s, —р, Оц).
Следовательно, в матричной форме
или в компонентах
P = -K Q T, s = - ^ — 3ap,
(20.19")
t
°ц = 1 & (* — т)йгц(т).
О
Предполагается, что рассматриваемый материал, как уже указы
валось, мгновенно упругий. Сравнивая оц (20.19") и (20.14), на ходим функцию