Теория и методы принятия решений а также Хроника событий в Волшебных

риям имеются наихудшие значения (снизу справа на рис. 4.3). Если эквивалент определенности в двух случаях одинаков, то делается вывод, что критерий не зависит по полезности от про­ чих критериев.

С2«40мин

Сз~5 тыс.

С2=90 мин

С3=50тыс.

Рис. 4.3. Проверка условия независимости по полезности

Отметим, что для полноты проверки условия независимо­ сти по полезности следует осуществлять эту проверку для всех лотерей (например, для лотереи 2 на рис. 4.2). Однако часто довольствуются приближенной проверкой —только для первой из лотерей, используемых при построении однокритериальных функций полезности.

При проверке условия независимости по предпочтению рассматривают плоскости, где по осям отложены значения двух критериев. Пример такой плоскости для критериев Ci, С2 при­ веден на рис. 4.4. Сначала предполагается, что по прочим кри­ териям (в нашем случае —по критерию Сз) имеются наилучшие значения (Сз = 5 тыс. человек).

Первоначально ЛПР должен определить свое предпочтение между альтернативами [(C2)min; (Ci)max] и [(Сг)тах; (Ci)min]. В нашем случае ЛПР сравнивает площадки для постройки аэро­ порта с оценками (90, $100 млн) (40, $200 млн) —две край­ ние точки А и В на осях, при условии, что Сз = 5 тыс. Предпо­ ложим, что вариант А предпочти­ тельнее. Это означает, что критерий стоимости более важен для ЛПР, чем критерий расстояния. Далее опреде­ ляется такая точка на шкале крите­

рия Ci, что варианты А и К одина­ ково предпочтительны для ЛПР. Иначе говоря, ищется такая стои­

101

ты (90, $100 млн) и (40, Ci*). Затем точно такой же поиск точ­ ки безразличия осуществляется при Сз = 50 тыс. Если резуль­ таты совпадают, то делается вывод, что пара критериев Ci, Сг не зависит по предпочтению от третьего критерия.

Для полной проверки условия независимости по предпоч­ тениям следует рассмотреть все пары критериев. Однако при приближенной проверке выбираются один или два наиболее существенных критерия и прочие рассматриваются только в паре с ними [7].

При проверке и первого, и второго условий независимости критерии, независимость от которых проверялась, имели край­ ние значения. Строго говоря, следовало бы рассмотреть и про­ межуточные значения, но обычно такая проверка считается достаточной [7].

Что делать, если какие-то из условий независимости не выполняются? Теория не дает единственного ответа на этот во­ прос. Предлагается определить группу независимых критериев, найти функции полезности для подгрупп зависимых и незави­ симых критериев [7] и сформировать общую функцию полез­ ности «по частям» либо переформулировать задачу [8]. Можно сказать, что нарушение условий независимости существенно усложняет задачу. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что условия независимости выполняются.

4.6. Определение весовых коэффициентов (коэффициентов важности) критериев

В MAUT существенно используются веса (коэффициенты важности) критериев. Считается, что ЛПР может найти коэф­ фициенты — числа, которые определяют важность критериев. Отношения между весами критериев устанавливаются поиском точек безразличия на плоскостях двух критериев. В отличие от проверки условий независимости по предпочтению по осям упорядочиваются значения критериев от худших к лучшим.

На рис. 4.5 показана плоскость критериев Ci, Сг. Альтер­ нативы А и К находятся в отношении безразличия, которое оп­ ределяется так же, как и при проверке условия независимости по предпочтению (см. рис. 4.4).

102

Рис. 4.5. Определение отношения между весами критериев Ci и Сг

В точке равновесия полезности альтернатив равны, что по­ зволяет записать U($200 млн, 40 мин.) =U($170 млн, 90 мин.). Это означает, что критерий стоимости важнее для ЛПР: wi>W2.

Используя полученные ранее однокритериальные функции полезности (рис. 4.2), находим W2 = 0,4wi. Аналогичным обра­ зом определяется соотношение между весами критериев Ci и Сз. Пусть W3 = wi, U($150 млн) = 0,6wi. Итак, мы выразили веса всех критериев через вес наиболее важного из них и упо­ рядочили критерии по важности: wi>W3>W2.

Для нахождения численного значения веса критерия Ci (и, следовательно, всех критериев) ЛПР предлагается сравнить две стратегии, представленные на рис. 4.6, и определить вероят­ ность р, при которой обе стратегии равноценны. Первая страте­ гия —это альтернатива, имеющая лучшую оценку по первому критерию и худшую —по двум другим. Вторая стратегия —это лотерея, дающая с вероятностью р альтернативу со всеми луч­ шими оценками и с вероятностью (1 —р) —альтернативу со все­ ми худшими оценками.

Предположим,, что такое р найдено. Тогда U(A) = U(B), или Wi = р. Пусть wi = 0,55. Тогда W2 = 0,22; W3 = 0,33.

Рис. 4.6. Определение коэффициента wi

103

-miitf и о м и ш ж ш ш к ш д т п у ш в етю ‘^птгг ж тазяийшш саш аокаш к

-€ваш т 1{рнш1етий& ш &нш щ ж ишШгш, шн ^ге^шгаюшдаэ ‘tt£ooti£qxi

И11нвМш1^ т 1штииви<Ь1ашн«м ttmrawwmmntiij— iм т т с Шпащ-а:

‘ШЗДШ&1Г— (QU№UEIfflQffifflf№‘ttfflgJI

•ш ш <й=<(йй1<й=(й й 1<^ (trim ^ а ш ы (й ш э д ы (5 )ш ^ ^ й ш = -(е й й 1

шзШншн ш ш тааш ш чдицаИбЯщ) ‘Я11й4мйпф ЛОхе ш ш «мишндИйш и ш о ш ‘(^яйСййшшп црдднаиДф) адилинйиядю ш тайю

И *!

ж

:шшвшнв1г

-ОШ ииймтийф тницш тадШ Ьт ^BCSog) ОВаЙННИЕИШЙВ итнШ фта ‘ЙЙ1

-ш ш Ш ъ ж иыишдшр овшшшшдЯУ авикнтм к атнасньйюш нмдшд)

№*!

’*lto=?to\ 2

жт<Шх1ш^ 1Ишдн№втяа11д аи ^и ^1^ а№таиди«па«Н

-ШВШОп ицятни gj ■щ цщ тш пш mrttwroWjfr №ffi «ВПИЕПШеивК ВОДИВШИ)

-m B w m ltfn Я ш и н nfTit.nп и ш и ш и й я л и й я ш нини ти и ш Ш щ ж н д т а я м в щ

fflMJSHteBUEfusииш нсваш ш эш ш н Ш В ц о )-ц &

«Когда встречаю тся трудные случаи, то они трудны , глав­ ным образом, потому, что при их рассмотрении все доводы «за» и «против» не присутствуют в уме одновременно; иногда присутствует одна часть, в другое врем я —и ная, причем первая исчезает из вида. Следовательно, различны е цели или склонно­ сти по очереди берут «верх» и появляется неопределенность, которая озадачивает нас.

Мой путь преодоления этого состоит в том, чтобы разде­ лить половину листа бумаги линией на два столбца; в одном писать доводы «за», а в другом — «против». Затем , после раз­ мы ш ления в течение трех или четырех дней, я излагаю под другими заголовками короткие намеки на разны е побуж дения, которые в различны е моменты времени приходят мне в голову и говорят «за» или «против» варианта действий.

Когда я имею все это вместе в поле зрения, я пытаю сь оце­ нить их соответствующие веса; если я найду два, каж ды й на другой стороне, которые каж утся равны ми, я их вы черкиваю . Если я нахож у довод «за», равны й двум доводам «против», я вычеркиваю все три. Если я считаю , что некоторые два довода «за» равны трем доводам «против», я вычеркиваю все пять; продолж ая таким образом я нахож у со временем, где находит­ ся баланс; и если через день или два дальнейш их размы ш ле­ ний ничего нового не появляется на каж дой стороне, я прихо­

жу к соответствующей определенности».

7.Веса критериев

Понятие коэффициентов важности (весов) критериев при­ м еняется к ак в строгих методах, основанных на MAUT, так и в эвристических методах. Ф ормализация этого понятия была предлож ена В .В . Подиновским [12].

Обозначим векторную оценку альтернативы А , как Обозначим через х ^ векторную оценку, получен­ ную и з Xj перестановкой ее компонентов Х|* и х*к. Предполо­

ж им , что все критерии —числовые и больш ие значения лучш е меньш их.

Определение 1. Критерии Cj и С* — равноваж ны е, если ка­ ж ды е две векторные оценки щ и х$** одинаковы по предпочти­ тельности.

106

Определение 2. Утверждение «критерий Cj важнее крите­

Таким образом, упорядочение критериев по важности предполагает, что есть какая-то общая для всех критериев шкала с одинаковой интерпретацией оценок.

На основе формальных определений можно получить раз­ личные правила сравнения альтернатив. Так, можно упорядо­ чить компоненты двух векторов Xi и Xj по невозрастанию и за­ тем почленно сравнить, определяя случаи эквивалентности и доминирования по Э—П.

Наряду с приведенными выше определениями вводятся по­ нятия степени превосходства критериев (один критерий в t раз важнее другого) и количественные веса критериев.

8. Как люди назначают веса критериев

Как в методах, имеющих аксиоматическое обоснование, так и в эвристических методах информация, необходимая для определения коэффициентов важности критериев может быть получена только от ЛИР. Существуют различные способы оп­ ределения весов критериев. Приведем наиболее известные из них [9].

1.Метод отношений, который был представлен выше как этап в методе SMART. ЛПР ранжирует критерии по важности, вес наиболее важного назначается как 100 баллов (либо вес наименее важного назначается как 10 баллов), а веса других критериев определяются из отношений критериев по важности.

2.Метод наибольших отклонений (swing) [10]. Предпола­ гаются худшие оценки по всем критериям, а затем ЛПР просят оценить, по какому критерию изменение от худшей оценки до лучшей оценки наиболее важно. Затем находится второй по важности критерий и т.д. Изменению наиболее важного крите­ рия (swing) присваивается 100 баллов. ЛПР просят определить

вбаллах значения изменений от худших до лучших оценок по

остальным критериям.

3. Метод компенсации был представлен выше как этап ме­ тода, основанного на MAUT. При методе компенсаций сравни­ ваются две альтернативы, различающиеся оценками только по двум критериям, и определяются точки безразличия на плос­ костях двух критериев.

107

4L ООешщц (шднщншшид щвнш вушщщвв яшшяаюнон юдившпвш

шмпащр тиииДяатпгшж (вПЦЩЩЩНПДЁ.. ЛШШР Д|ШИИ«*1 «ШунуДЫЛШи^ ШВ-

вдш> одадщу дрятг вш шшан жшппшпжшь а» дкунядад СИГ ВДЩ1ШШД> ж

нщмлиниду ял ягаяявит» тгпп ттши^цдицу ши т уш пиуцнш . ИПдуит .дгтигит танк ®sb-

ЗЯНВПЙ Дядя*п»яг ИуИТПЯуИВЙ (СТЯЦНШЦЦЧИ-

5х. Швшвд; иинм ивнип й индтшш ш ппш тштгсдир Дншп иунудпцадгнит ш

ШЩЕПИЯЯЩЦННПЮя т м пм тшрпгадрц (Ц(Ж»ННН*ШШР ШЮ. ММИШ . 1Щ|Ш ЖШ5ИВ

ВЦДЩННЖМИТЬ уь ттуит мишцрий «ш (Гкяужмшшявшщрзй ЛЩЧПЩШ) impffiВДГ ШЮ ввушпвуиш) Ш ЯЩЩПЩШ) — ПО) (ИПДШДНЬШИя ж лппиугаоЁ^

щнапцтйт (с ннущнцтиспши) у) ашишвунштичу am яшжии лздчишшв

одрянагаш ж сс шщщншнцтмн) ((П—у|) — тдншнуншпцту am никягит n^npnnwiTдпрнвилдк

Шараду се уавамнныииш аш»кп(Гйиит (нтунцщнннин динго щрипя-

тиу и вж : двуауяиш нш дщ) ((нуитнуиш вшивав айпцинь ттужкспкуж ушв-

Ш щазоашщве щюяю ишиниинп уввздпвшшшш мятник п ш ш ш ь пившикдивг эшшвушпшягощ, т ношдтис ацжнщнжиишь ушаиинишв

цппцпЙт ннпянгонии в я в п п т твщипнццщц, (OITnijttw ц ящуншпяпг ш дупнц-

ширшлнн эдит адраабы! давит ушшшшшш уййддшттщ|„ натундв

тютпу п1ПЦ1ИШИЧ1Ш тк jH HiiiHMHHfTR )ртпциу д |н ш и ш яшншяцншпгии . ТШят-

т а шшаувд, чш ш вшшвнаив сшшШ ия душ <»щ |ядцм»н«и« ншпго нуишнвуш го ш шиш м н и т адиппбЬш Bteonyir пуиш жтои нс ц ж ш т ш яш и ую-

s.ПТ1|№«тШ4ШШ1Ш1Пр<МЦ11Ш1И«Ь

ШиПОДЩ!,, дПДПШНШНПЕ HBL М Ш Г „ Ш ШВаШЕ fflrynni^WWUW ЯНДТИ-

а ш ш ш е мвамдщг пуиивгонлшиь дрш ушпвшин йиишшир шшшиесшта щрнкпигншнянс авддезд. Щдшияцпии адщпй шв таидто яндрш лкаяож вшЙрд) адтшбю зупжгтпщрт адягяе&штт шщгашшн РЖД. ШЬшде ддйшш пщцпш азмппщиив бжиго щршяшш ушпвэвше ш ш - чшгшь ш апшагас Ш8 жпвтауявтт^, дяпИитпвдру иш луш цвдршвд: шншь оувдцпшанешь дуаношие ; «тгтиидир ш алнкат-

; ожшт^ шев т ушшшшт-

шънипш] Д^пя ацрнвш шлвдюдншшго иртшваадшшшь чвтоидж нушнушд:

аядипиппдь (^штшвдйдлшй^ й^); азншшшзть ждишятнтттт ц ^ащ ;

ШЖ

врем я начала утилизации и количество лет для выполнения утилизации.

Д ля каж дого из критериев эксперты построили однокрите­ риальны е функции полезности и наш ли полезности для каж ­ дой из альтернатив. Эксперты определили такж е веса критери­ ев. Д ля агрегации оценок использовалась формула взвеш енной суммы оценок критериев. Д ля проверки чувствительности ре­ зультатов анализа к возможным неточностям в весах критериев было проведено статистическое моделирование, позволивш ее получить окончательное ранжирование альтернатив.

Выводы

1.Существуют две группы задач принятия решений. В задачах первой группы осуществляется анализ заданных альтернатив. В задачах второй группы находится решающее правило, позво­

ляющее оценить любые альтернативы. Разработаны многокри­ териальные методы решения задач, принадлежащих к первой и второй группам.

2.Многокритериальная теория полезности (MAUT) представляет собой дальнейшее развитие теории полезности. Методы MAUT имеют аксиоматическое обоснование: вводятся аксиомы и дока­ зывается существование функции полезности в той или иной форме. Особо важную роль играют аксиомы (условия) независи­ мости, определяющие, что отношения между частью критери­ альных оценок альтернатив не зависят от фиксированных значе­ ний по другим критериям.

3.Методы MAUT позволяют определить полезность каждой из аль­ тернатив. Наиболее целесообразно применение этих методов для задач первой группы с большим числом альтернатив.

4.Имеется большое число эвристических методов, использующих аддитивную формулу взвешенной суммы оценок альтернатив без исследования вопросов о зависимости критериев и без стро­ гого обоснования вида функции полезности. Одним из известных методов такого типа является метод SMART.

5.Существуют различные подходы к выявлению предпочтений ЛПР по отношению к относительной важности критериев. Психо­ логические исследования показывают, что различные методы выявления весов критериев приводят к различным результатам.

Библиограф ический список

1.Sown HJL The Ne* ЯН*»■*•*» of Management Decision. N. Y.: Harper and

Bow PnbL, 1960.

2.Jb fn eo л и , Мпиипаиi R-M. Качественные методы принятия решений.

SL: Фшмапмг, 1996.

109