nbbzibd0Bw

а) «жить в одном городе»: R5 = {(a, b) / a и b ‒ мурманчане; a,b М}, б) «быть дочерью»: R6 = {(a, b) / a приходится дочерью b; a, b М}, в) «быть старше»: R7 = {(a, b) / a по возрасту старше b; a, b М}.

Свойства бинарных отношений

Отношение R называется рефлексивным, если для любого элемента а М имеет место (a, a) R. Другими словами, каждый элемент из множества М состоит в отношении R сам с собой.

Примеры.

1. Является ли в примерах 1.4 рефлексивным отношение R2? Решение. Проверяем, верно ли, что для любого элемента a множе-

ства M выполняется условие: «a ‒ делитель a», т.е. «a делится на себя без остатка»? Да, это верно. Значит, отношение R2 рефлексивное.

2. Является ли в примерах 1.4 рефлексивным отношение R4? Решение. Проверяем, верно ли, что для любого элемента a множе-

ства M выполняется условие: «точка симметрична сама себе относительно оси (ОХ)»?

Вообще-то, такие точки есть – те, что лежат на оси (ОХ). Но существуют точки, для которых это неверно. Например, точка с координатами (3, 5) не симметрична сама себе относительно оси (ОХ). Значит, проверяемое условие выполняется не для любого элемента множества M.

Вывод: отношение R4 не является рефлексивным.

3. В примерах 1.4 рефлексивными также являются отношения R3, R5.

Отношение R называется симметричным, если для любой пары

(а, b) M 2 из (а, b) R следует (b, a) R. Иначе говоря, для любой пары элементов из множества M отношение R выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще.

Примеры.

1. Является ли в примерах 1.4 симметричным отношение R2? Решение. Проверяем, верно ли, что для любой ли пары элементов a,

b множества M выполняется условие: «если a ‒ делитель b, то и b ‒ делитель a»?

Возьмём из множества M, например, пару a = 3, b = 24. Число 3 является делителем числа 24, но число 24 не является делителем числа 3. По

11

крайней мере, для этой пары проверяемое условие не выполняется, следовательно, отношение R2 не является симметричным.

2. Является ли в примерах 1.4 симметричным отношение R3? Решение. Проверяем, верно ли, что для любой пары точек P и Q

плоскости выполняется условие: «если точка P находится на том же расстоянии от начала координат, что и точка Q, то и точка Q находится на том же расстоянии от начала координат, что и точка P»?

Это верно. Значит, отношение R3 симметричное.

3. В примерах 1.4 симметричными также являются отношения R4, R5.

Отношение R называется транзитивным, если для любых трёх элементов а М, b М, c М из (а, b) R и (b, c) R следует (а, c) R.

Примеры.

1. Является ли в примерах 1.4 транзитивным отношение R1? Решение. Проверяем, верно ли, что для любой тройки элементов a, b,

c множества M выполняется условие: «если (a < b) и (b < c), то (a < c)»? Так и есть; отношение R1 транзитивное.

2. Является ли в примерах 1.4 транзитивным отношение R6? Решение. Проверяем, верно ли, что « если a приходится дочерью b, b

приходится дочерью c, то a приходится дочерью c»? Очевидно, что a приходится c внучкой, а не дочкой. Значит, отношение R6 не транзитивное.

3. В примерах 1.4 транзитивными также являются отношения R2, R3,

R5, R7.

Отношение называется отношением эквивалентности (или просто

эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если элементы a и b связаны отношением эквивалентности, то применяется запись: a ~ b.

Примеры.

1. В примерах 1.4 отношениями эквивалентности являются отноше-

ния R3, R5.

2. Отношение равенства RE на любом множестве является отношени-

ем эквивалентности. Равенство ‒ это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из множества RE оно

12

перестаёт быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

3.Отношение “иметь один и тот же остаток от деления на 3” является эквивалентностью на множестве N{0}. Это отношение выполняется, например, для пар (19, 43), (12, 21), и не выполняется для пар (18, 43), (14, 22).

4.Отношение “быть параллельными”, заданное на множестве всех прямых на плоскости, также представляет собой эквивалентность.

Пусть на множестве М задано отношение эквивалентности R. Вы-

полним следующее построение. Выберем элемент a1 М и образуем класс (подмножество М) C1, состоящий из a1 и всех элементов, эквивалентных a1; затем выберем из М элемент a2 C1 и образуем класс C2, состоящий из a2 и всех элементов, эквивалентных a2, и т.д. Получится система (возможно, бесконечная) классов C1, C2,..., в которой каждый элемент из М входит хотя бы в один класс. Эта система классов имеет следующие свойства:

1)классы попарно не пересекаются, т.е. не имеют общих элементов;

2)любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3)любые два элемента из разных классов не эквивалентны. Свойства 2, 3 непосредственно следуют из способа построения

классов эквивалентности, поэтому ограничимся доказательством первого свойства.

ÿ

Предположим, что два класса, например C1 и C2, пересекаются. Это значит, что они имеют хотя бы один общий элемент b, причём, по построению, b~a1 и b~a2. Тогда, в силу транзитивности отношения эквивалентности, a1~a2. Полученный результат противоречит построению класса C2. Остаётся утверждать, что C1 и C2 не пересекаются.

ÿ

Построенное разбиение называется системой классов эквивалентности по отношению к R. Мощность этой системы называется индексом разбиения.

Примеры.

1.Все классы эквивалентности для отношения равенства RE состоят из одного элемента (а равно только себе самому).

2.Разбиение на множестве M = N{0} для отношения «иметь один и тот же остаток от деления на 3» имеет конечный индекс 3 и состоит из трёх классов:

C1 = {0, 3, 6, 9,...} = {c / c = 3k, k M},

C2 = {1, 4, 7, 10,...} = {c / c = 3k+1, k M},

C3 = {2, 5, 8, 11,...} = {c / c = 3k+2, k M}.

13

В класс C1 попали те целые неотрицательные числа, которые делятся на 3 без остатка, в класс C2 ‒ те, которые при делении на 3 имеют остаток 1, в класс C3 ‒ те, которые имеют остаток 2.

14

множество ромбов, С ‒ множество параллелограммов, D ‒ множество квадратов. Какие из них являются подмножествами других? Есть ли среди этих множеств равные?

4.Найти множества, получающиеся в результате следующих операций: а) (АÇВ)\С, где А = {1, 2, 4, 6, 8}, B = {2, 3, 4, 6, 7}, C = {4, 8};

б) (А\В)ÈС, где А = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, f, h}, C = {b, p, s}.

5.Элементами множеств А, В, С служат числа 1, 2, 3,..., 9. Известно следующее: АÇВ = {1, 2}, АÈВ = {1, 2, 3, 6, 7, 8}, ВÇС = {3, 7}, АÈС = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. Найдите множества А, В и С.

6.Какие из чисел 1, 2, 3,..., 9 входят в множества А, В, С, D, если известно следующее: АÈВ = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9}, АÈD = {1, 2, 5, 7, 8, 9}, АÇС = {8}, АÇD = {2, 5, 9}, ВÈС = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ВÇС = {6}?

7.Что представляют собой множества:

а) А\А; б) АÇÆ, АÈÆ, А\Æ, Æ\А, Æ\Æ;

в) АÇU, АÈU, А\U, U\А, U\U ?

8. Даны множества: А = {x / x = 2n, nÎN}; B = {x / x = 2n‒1, nÎN};

C = {x / x = 3n, nÎN}. Найти множества, получающиеся в результате следующих операций:

АÇВ, АÈВ, А\В, АÇC, CÇB, А\C, B\C.

9.Существуют ли множества А, В, С такие, что для них выполняется набор условий (если “да”, то привести пример таких множеств):

а) АÇВ ¹ Æ, АÇС = (АÇВ)\С = Æ; б) С\В = А\В = A B = B = Æ;

в) В\А = AÇС = Æ, ВÇС ¹ Æ; г) АÇВ = A C = Æ, В\С ¹ Æ; д) А\В = А\С = Æ, В\С ¹ Æ;

e)АÈВ = В, АÇС = Æ, С Ì В ?

10.Проверить справедливость равенства для множеств А = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}:

а) A ´ (C \ B) = (A ´ C) \ (A ´ (C Ç B)); б) B ´ (A È C) = (B ´ (A \ C)) È (B ´ C);

15

с) B ´ (A Ç C) = (B ´ A) \ (B ´ (A \ C)).

11.Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств,

если R ‒ это множество действительных чисел: а) [a, b] ´ [c, d], где [a, b]ÌR, [c, d]ÌR;

б) [a, b] ´ [c, d] ´ [e, f], где [a, b]ÌR, [c, d]ÌR, [e, f]Ì R; в) R2, R3, Rn.

12.Определить, какими свойствами обладают бинарные отношения:

а) M ‒ множество целых чисел Z: R8 = {(a, b) / a + b ≤ 7; a, b M};

б) M ‒ множество жителей г. Мурманска на 1 января 2014 года: R9 = {(a, b) / a и b разного возраста; a, b Î M};

R10 = {(a, b) / a и b супруги; a, b Î M};

в) M ‒ множество прямых на плоскости:

R11 = {(a, b) / a и b параллельны; a, b Î M};

R12 = {(a, b) / a и b перпендикулярны; a, b Î M};

R13 = {(a, b) / a и b имеют хотя бы одну общую точку; a, b Î M};

г) M ‒ множество многоугольников на плоскости:

R14 = {(a, b) / a и b имеют одну сторону равной длины; a, b Î M};

R15 = {(a, b) / площадь a меньше площади b; a, b Î M};

R16 = {(a, b) / a и b имеют одинаковый периметр; a, b M};

13.Выполнить разбиение множества M = NÈ{0} на классы эквивалентности для отношения «иметь один и тот же остаток от деления на 5».

Контрольные вопросы

1.Перечислите способы задания множеств

2.Какие множества называют равными?

3.Что такое мощность множества?

4.Что представляет собой пересечение множеств?

5.Как находят объединение множеств?

6.Что понимают под разностью множеств?

7.Что представляет собой универсальное множество?

8.Что такое дополнение множества?

9.Что называется декартовым произведением двух множеств?

10.Как связаны мощности множеств A и B с мощностью их прямого произведения?

11.Что такое бинарное отношение?

12.Какое бинарное отношение называется рефлексивным?

13.Какое бинарное отношение называется симметричным?

14.Какое бинарное отношение называется транзитивным?

16

15.Какое бинарное отношение называется эквивалентностью?

16.В чём заключается разбиение данного множества на классы эквивалентности?

17

§ 2. Основы комбинаторики

Зададимся вопросами: сколькими способами можно расположить в виде последовательности n различных произвольных объектов? Сколькими способами это можно сделать, если требуется выбрать только m объектов из n заданных?

Подобные вопросы рассматриваются в разделе математики, называемом “Комбинаторика”. Комбинаторные принципы позволяют получить достаточно простые формулы, избавляющие от утомительного перебора при решении задач, связанных с подсчётом числа возможных вариантов.

п. 2.1. Правило суммы. Правило произведения

Правило суммы заключается в следующем:

если

∙некоторый объект a1 можно выбрать m1 способами,

∙объект a2 ‒ m2 способами (не такими, как объект a1), то объект “либо a1, либо a2” можно выбрать

способами.

Пример. Пусть в одном ящике имеются 6 шариков, пронумерованных номерами с 1 по 6, а во втором ящике имеются 4 шарика, пронумерованных номерами с 7 по 10. Наугад из одного из ящиков извлекается один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Из первого ящика шарик можно вытащить m1 = 6 способа-

ми, из второго ‒ m2 = 4 способами. Всего способов извлечь шарик n = 6 + 4 = 10.

Обобщим правило суммы:

если

∙ некоторый объект a1 можно выбрать m1 способами, ∙ объект a2 ‒ m2 способами (не такими, как объект a1),

∙ объект a3 ‒ m3 способами (не такими, как объекты a1 и a2),

∙...

∙объект ap ‒ mp способами (не такими, как объекты a1, a2,..., ap‒1),

∙

то объект “либо a1, либо a2, либо a3,... , либо ap” можно выбрать

18

способами.

Правило произведения заключается в следующем:

если

∙некоторый объект a1 можно выбрать m1 способами,

∙объект a2 ‒ m2 способами,

то пару (a1, a2) можно сформировать

способами.

•

Будем считать, что объект a1 извлекается из множества А1, имеющего мощность m1, а объект a2 извлекается из множества А2, имеющего мощность m2. Каждую пару (a1, a2) можно рассматривать, как элемент прямого

произведения А1×А2.

Таким образом, количество пар (a1, a2) определяется мощностью прямого произведения А1×А2.

По теореме 1.1 эта мощность равна произведению мощностей мно-

жеств А1 и А2, т.е. |А1×А2| = m1 ∙ m2.

•

Пример. В гору ведут 7 тропинок. Сколько различных туристических маршрутов, включающих подъём в гору плюс спуск с горы, можно составить, если подъём и спуск должны происходить по разным тропинкам?

Решение. Подняться можно по любой из m1 = 7 тропинок, а спустить-

ся ‒ по любой из оставшихся m2 = 6 тропинок. Всего можно составить n = m1∙m2 = 42 маршрута.

Обобщим правило произведения:

если

∙некоторый объект a1 можно выбрать m1 способами,

∙объект a2 ‒ m2 способами,

∙объект a3 ‒ m3 способами,

∙...,

∙объект ap ‒ mp способами,

то кортеж (a1, a2, a3, ..., ap) можно сформировать

способами.

19

Примеры.

1. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, которые делятся на 5 без остатка?

Решение. Всего цифр десять: 0, 1, ... , 9. Чтобы число было четырёхзначным, его первая цифра не должна быть равна нулю, следовательно, первую цифру требуемого числа можно выбрать m1 = 9 способами. Для второй и третьей цифр никаких ограничений нет; поэтому каждую из них можно выбрать m2 = m3 = 10 способами. Чтобы число делилось на 5, последняя цифра в нём должна быть равна 0 или 5, т.е. для выбора четвёртой цифры есть m4 = 2 варианта.

По правилу произведения находим

m1 ∙ m2 ∙ m3 ∙ m4 = 9∙10∙10∙2 = 1800.

2. Код замка в автоматической камере хранения состоит из одной русской буквы и трёх цифр. Сколько различных кодов можно составить?

Решение. Существует 33 варианта для выбора буквы и по десять вариантов для выбора каждой из цифр, поэтому всего можно составить 33∙103 = 33000 различных кода.

п. 2.2. Факториал

Факториал (обозначение: n!) есть частный случай гамма-функции Эйлера, из свойств которой следует, что

Г(n+1) = n! и Г(1) = 0! = 1.

Отсюда факториал можно определить с помощью следующих рекурсивных соотношений:

0! = 1; (n+1)! = n! ∙ (n+1). (2.5)

Если n ‒ натуральное число, то n! (читается "эн факториал") представляет собой произведение первых n натуральных чисел. В самом деле,

0! = 1; 1! = 0! × 1 = 1;

2! = 1! × 2 = 1× 2 = 2; 3! = 2! × 3 = 1× 2 × 3 = 6;

4! = 3! × 4 = 1× 2 × 3 × 4 = 24; 5! = 4! × 5 = 1× 2 × 3 × 4 × 5 = 120

и т.д.

Примеры.

1. Упростить: 8! / 9!

20