nbbzibd0Bw

8.Задача Рамсея. Доказать, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

Указание. Показать, что либо в неориентированном графе на 6 вершинах, либо в дополнении к нему обязательно найдётся треугольник.

9.Пусть каждая пара из 6 точек соединена отрезком либо синего, либо красного цвета. Всегда ли можно найти два треугольника, образованных отрезками одного цвета (разрешается, чтобы эти треугольники имели общую сторону)?

10.Доказать или опровергнуть: если F1 и F2 − однородные графы, то таковы же графы:

Контрольные вопросы

1.Что представляет собой дополнение неориентированного графа?

2.Как определяется объединение двух неориентированных графов?

3.Запишите формулы для определения количества вершин и количества рёбер объединения двух неориентированных графов.

4.Как определяется соединение двух неориентированных графов?

5.Запишите формулы для определения количества вершин и количества рёбер соединения двух неориентированных графов.

6.Что является результатом произведения двух неориентированных графов?

7.Запишите формулы для определения количества вершин и количества рёбер произведения двух неориентированных графов.

8.Что является результатом композиции двух неориентированных графов?

9.Запишите формулы для определения количества вершин и количества рёбер композиции двух неориентированных графов.

§ 6. Способы задания псевдографов

Граф, по определению представляющий собой пару множеств, можно задать любым из способов задания множеств (например, перечислением элементов). Однако для графов существуют некоторые специфические способы задания, пригодные и для псевдографов.

41

п. 6.1. Матрица инцидентности

Пусть v1, v2,..., vn − вершины псевдографа F; e1, e2,..., em − его рёбра. Отношение инцидентности можно определить матрицей инцидентности

Bm×n, n столбцов которой соответствуют вершинам псевдографа, а m строк

− его рёбрам.

Для неориентированного псевдографа:

∙bij = 1, если ребро ei инцидентно вершине vj,

∙bij = 0, в противном случае.

Вматрице инцидентности ориентированного псевдографа:

∙bij = −1, если вершина vj − начало дуги ei,

∙bij = 1, если вершина vj − конец дуги ei,

∙bij = p, если ei − петля, а vj − инцидентная ей вершина (где p − любое

число, отличное от 1, 0, −1),

∙bij = 0, в остальных случаях.

Вкаждой строке матрицы инцидентности только два элемента отличны от нуля (или один, если ребро является петлёй), поэтому такой способ задания графа оказывается весьма неэкономным.

Пример. Для псевдографов, изображённых на рисунке 6.1, матрицы инцидентности B7×4 имеют вид (для наглядности их удобно изображать в виде таблиц):

п. 6.2. Список рёбер

Отношение инцидентности можно задать списком рёбер Rm×2. Каждая строка этого списка соответствует одному ребру; в ней записаны номера вершин, инцидентных этому ребру. Для неориентированного псевдографа порядок вершин в строке произволен, для ориентированного псевдографа

сначала указывается начальная вершина, а затем ‒ конечная.

42

Пример. Для псевдографов, диаграммы которых представлены на рисунке 6.1, списки рёбер R7×2 имеют вид:

п. 6.3. Матрица смежности

Матрицей смежности псевдографа является квадратная матрица

Cn×n, столбцам и строкам которой соответствуют вершины. Для неориентированного псевдографа элемент матрицы смежности cij равен количеству рёбер, инцидентных i-й и j-й вершинам; для ориентированного псевдографа этот элемент равен количеству дуг с началом в i-й вершине и концом в j-й вершине.

Рисунок 6.1 ‒ Псевдографы: а) неориентированный, б) ориентированный.

Таким образом, матрица смежности неориентированного псевдографа симметрична (cij = cji) относительно главной диагонали. Для ориентированного псевдографа она будет симметрична только в том случае, если для каждой дуги имеется дуга, соединяющая те же вершины, но идущая в противоположном направлении.

43

В силу симметричности матрицы смежности для неориентированного псевдографа все его рёбра будут определяться верхним правым треугольником вместе с главной диагональю этой матрицы.

Пример. Для псевдографов, диаграммы которых представлены на рисунке 6.1, матрицы смежности C4×4 имеют вид:

п. 6.4. Списки смежности. Списки достижимости

В программировании для хранения неориентированного псевдографа, как правило, используют структуру, которая называется списки смежности.

Эта структура состоит из n списков: L1, L2, ... Ln. Список Li содержит перечень тех вершин, которые являются смежными с вершиной vi.

Пример. Для неориентированного псевдографа, изображённого на рисунке 6.1, а, списки смежности имеют вид:

L1: v2, v4, v4, v4. L2: v1, v3.

L3: v2, v3, v4. L4: v1, v1, v1, v3.

В такой структуре каждое ребро {vi, vj} представлено дважды: vj при-

сутствует в списке Li, vi ‒ в списке Lj:

...

Li: ... vj ...

Lj: ... vi ...

...

Исключением являются петли {vp, vp}, каждая из которых содержится в этой структуре по одному разу. Если псевдограф имеет k петель, то общее число элементов в списках смежности неориентированного псевдогра-

фа составит 2m ‒ k.

Аналогом списков смежности для ориентированного псевдографа являются списки достижимости. Эта структура также состоит из n списков:

44

L1, L2, ... Ln. Список Li содержит перечень тех вершин, в которые из вершины vi проведена дуга.

Пример. Для ориентированного псевдографа, изображённого на рисунке 6.1, б, списки достижимости имеют вид:

L1: v2, v4, v4.

L2: ‒

L3: v2, v3, v4. L4: v1.

В такой структуре каждая дуга (vi, vj) представлена один раз: vj присутствует в списке Li; поэтому общее число элементов в списках достижимости ориентированного псевдографа равно количеству дуг, т.е. m.

При решении некоторых практических задач удобно хранить ориентированный псевдограф в виде структуры, называемой списки предшественников. Эта структура состоит из n списков: back1, back2, ... backn. Список backi содержит перечень тех вершин, из которых в вершину vi проведена дуга.

Пример. Для ориентированного псевдографа, изображённого на рисунке 6.1, б, списки предшественников имеют вид:

back1: v4. back2: v1, v3. back3: v3. back4: v1, v1, v3.

В этой структуре также содержится m элементов.

Задания для самостоятельной работы

1.Для данного неориентированного псевдографа (рисунок а) составить матрицу инцидентности, список рёбер, матрицу смежности, списки смежности.

2.Для данного ориентированного псевдографа (рисунок б) составить матрицу инцидентности, список рёбер, матрицу смежности, списки достижимости и списки предшественников.

45

3.Граф K5 – полный неориентированный граф на 5 вершинах. Составить для него матрицу инцидентности, список рёбер, матрицу смежности, списки смежности.

4.Граф K55 – полный неориентированный граф на 55 вершинах. Какова размерность матрицы инцидентности и матрицы смежности этого графа?

5.Без помощи диаграммы по известной матрице инцидентности ориентированного псевдографа восстановить его матрицу смежности и списки предшественников.

6.Без помощи диаграммы по известной матрице смежности неориентированного псевдографа восстановить его матрицу инцидентности и список рёбер.

7.Без помощи диаграммы по известному списку рёбер ориентированного псевдографа восстановить его матрицу инцидентности и матрицу смежности, а также списки достижимости.

46

Контрольные вопросы

1.Как определяются элементы матрицы инцидентности а) неориентированного псевдографа?

б) ориентированного псевдографа?

2.Как задаётся список рёбер

а) неориентированного псевдографа? б) ориентированного псевдографа?

3.Что представляет собой матрица смежности а) неориентированного псевдографа?

б) ориентированного псевдографа?

4.Как определяется список i-й вершины в структуре, называемой «списки смежности»?

5.Какие элементы содержит список i-й вершины в структуре, называемой «списки достижимости»?

6.Как задаётся список i-й вершины в структуре, называемой «списки предшественников»?

§7. Степени вершин

п. 7.1. Степени вершин неориентированного графа

Для неориентированного псевдографа F количество ρ (v) рёбер, ин-

цидентных вершине v F, называется локальной степенью или просто степенью этой вершины.

Для определённости вклад петли в степень вершины будем считать равным 2, так как при изображении петли на диаграмме к вершине примыкают два её конца.

Пример. Определим степени вершин неориентированного псевдографа, изображённого на рисунке 6.1, а:

ρ (v1) = 4, ρ (v2) = 2, ρ (v3) = 4, ρ (v4) = 4.

Зная матрицу смежности или матрицу инцидентности, в обоих случаях степень вершины vj можно найти путём суммирования элементов j-го столбца матрицы инцидентности или матрицы смежности:

47

несколько усложняет формулы. Если задана матрица инцидентности, то степень можно вычислить следующим образом:

Рассмотрим сумму степеней всех вершин графа (без петель и кратных рёбер). Каждое ребро имеет два конца и, следовательно, вносит вклад 2 в эту сумму; поэтому справедлива следующая лемма.

Лемма (о рукопожатиях). Сумма степеней всех вершин неориентированного графа − чётное число, равное удвоенному числу рёбер:

Возможная интерпретация этой леммы такова: поскольку в каждом рукопожатии участвуют две руки, то при любом числе рукопожатий общее число пожатых рук чётно (при этом каждая рука учитывается столько раз, во скольких рукопожатиях она участвовала).

Следствие. В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

ÿ

Пусть x вершин графа F имеют нечётную степень; перечислим эти степени:

2p1+1, 2p2+1, ... 2px+1.

У остальных вершин степени чётные: 2t1, 2t2, ... 2ty.

Подсчитаем сумму степеней:

(2p1 + 1) + (2p2 + 1) + ... + (2px + 1) + 2t1 + 2t2 + ... + 2ty = = 2∙(p1 + p2 + ... + px + t1 + t2 + ... + ty) + x.

По лемме о рукопожатиях эта сумма должна быть чётным числом: 2∙(p1 + p2 + ... + px + t1 + t2 + ... + ty) + x = 2m.

48

Выразим x:

x = 2m – 2∙(p1 + p2 + ... + px + t1 + t2 + ... + ty).

Правая часть последнего равенства представляет собой чётное число, значит, и в левой части число x (количество вершин, имеющих нечётную степень) – тоже чётное.

ÿ

Неориентированный граф называется однородным степени k (регулярным), если степени всех его вершин равны между собой и равны k. Если однородный граф степени k имеет n вершин и m рёбер, то справедливо соотношение

Регулярный граф степени 3 называется кубическим. Из леммы о рукопожатиях следует, что каждый кубический граф имеет чётное число вершин.

На рисунке 7.1, а изображен кубический граф с 6 вершинами.

Рисунок 7.1.

Очевидно, что полный граф Kn, в котором каждая вершина множества V соединена ребром со всеми остальными вершинами этого множества, является однородным степени k = n–1.

Подставляя это значение в формулу (7.5), получим соотношение между количеством вершин n и количеством рёбер m полного неориентированного графа:

Пример. Полный неориентированный граф на 4 вершинах (его диаграмма представлена на рисунке 3.1, а) имеет m = 4∙3 / 2 = 6 рёбер, а на 5

49

вершинах (его диаграмма представлена на рисунке 16.3, a) m = 5∙4 / 2 = 10 рёбер.

Теорема 7.1. Во всяком неориентированном графе F (без петель и кратных рёбер) с n вершинами, где n ³ 2, всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

ÿ

Предположим, что доказываемое утверждение неверно, т.е. существует отвечающий условиям теоремы граф F, все вершины которого имеют разную степень: 0, 1, 2, ... , n-1.

Это означает, что одна из вершин графа F - изолированная (степени 0), а другая (степени n-1) является смежной со всеми остальными вершинами, в том числе и с изолированной, чего быть не может.

ÿ

Пример. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый спортсмен должен сыграть с каждым из остальных по одному разу). Показать, что в любой момент времени найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.

Решение. Каждому шахматисту поставим в соответствие вершину графа, а каждой сыгранной партии между двумя шахматистами – ребро, соединяющее вершины, соответствующие этим игрокам. В результате получим неориентированный граф (без петель и кратных рёбер) с девятью вершинами и некоторым неизвестным числом рёбер.

Требуемое утверждение непосредственно следует из теоремы 7.1.

п. 7.2. Степени вершин ориентированного графа

Для вершины vi ориентированного графа определяются две локальные степени:

ρ1(vi) – полустепень исхода – число дуг с началом в вершине v (количество выходящих из v дуг) и

ρ2(vi) – полустепень захода – количество заходящих в v дуг (тех, для которых эта вершина является концом).

Первую из этих степеней легко определить, суммируя элементы i-й строки матрицы смежности, а вторую - суммируя элементы i-го столбца:

Пример. Для графа, изображённого на рисунке 6.1, б, степени вершин следующие:

50