nbbzibd0Bw

Решение.

8! 8! 1

9! = 8!× 9 = 9 .

2. Упростить: 12! / 10!

Решение.

12! = 10!×11×12 =11∙12=132.

10! 10!

3. Упростить: 7! / (5! × 2!)

Решение.

п. 2.3. Размещения

Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются либо составом элементов, либо порядком.

Пример 2.1. Составить все размещения из n = 4 элементов по m = 2 элемента. Выбор элементов осуществлять из четырёхэлементного множе-

ства M = {¨,§,©,ª}. Решение. Комбинации

(¨,§), (§,¨), (¨,©), (©,¨), (¨,ª), (ª,¨), (§,©), (©,§), (§,ª), (ª,§), (©,ª), (ª,©)

представляют собой все возможные размещения из n = 4 по m = 2. При этом, например, размещения 1 и 2 отличаются только порядком элемен-

тов, а размещения 1 и 3 ‒ составом элементов.

·первый элемент размещения можно выбрать n способами,

·второй ‒ n‒1 способом (так как элементы не могут повторяться, а один из них уже выбран),

·третий ‒ n‒2 способами,

·... ,

·последний, m-й, элемент можно выбрать n‒m+1 способом.

21

В соответствии с правилом произведения всю комбинацию можно выбрать

(n‒m+1)∙ × × × ∙(n‒1)∙n

способами.

С другой стороны,

ÿ

Вернёмся к примеру 2.1. Число размещений из 4 по 2, рассчитанное по формуле (2.6):

совпадает со значением, полученным с помощью непосредственного перечисления всех комбинаций.

Пример. В студенческой группе 15 человек. Нужно отобрать двоих для участия в конференции: одного человека на секцию “Математика” и

одного ‒ на секцию “Физика”. Сколькими способами это можно сделать? Решение. В данном случае важно, кто из двоих представит свой

доклад на секции “Математика” и кто ‒ на секции “Физика”, следовательно, речь идёт о размещениях. Воспользуемся формулой (2.6):

п. 2.4. Перестановки

Размещения из n элементов по n называются перестановками.

Пример 2.2. Составить все перестановки из n = 4. Выбор элементов

осуществлять из четырёхэлементного множества M = {♦,♣,♥,♠}. Решение. Комбинации

(♦,♣,♥,♠), (♦,♣,♠,♥), (♦,♥,♣,♠), (♦,♥,♠,♣), (♦,♠,♣,♥), (♦,♠,♥,♣), (♣,♦,♥,♠), (♣,♦,♠,♥), (♣,♥,♦,♠), (♣,♥,♠,♦), (♣,♠,♦,♥), (♣,♠,♥,♦), (♥,♦,♣,♠), (♥,♦,♠,♣), (♥,♣,♦,♠), (♥,♣,♠,♦), (♥,♠,♦,♣), (♥,♠,♣,♦), (♠,♦,♣,♥), (♠,♦,♥,♣), (♠,♣,♦,♥), (♠,♣,♥,♦), (♠,♥,♦,♣), (♠,♥,♣,♦)

22

представляют собой все возможные перестановки из n = 4. При этом любые две перестановки отличаются только порядком элементов, состав элементов у всех одинаков.

Общее число перестановок обозначается Pn и вычисляется по форму-

ле

Pn = n! (2.7)

ÿ

По определению, перестановки – это размещения из n элементов по n; значит, число перестановок равно числу размещений из n по n:

ÿ

Вернёмся к примеру 2.2. Число перестановок P4, рассчитанное по формуле (2.7):

P4 = 4! = 24,

совпадает со значением, полученным с помощью непосредственного перечисления всех комбинаций.

Пример. Сколько способов разместить шесть гостей на шести разных стульях?

Решение. P6 = 6! = 720 способов.

п. 2.5. Сочетания

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n элементов по m элементов (m ≤ n) и отличающиеся хотя бы одним элементом.

Пример 2.3. Составить все сочетания из n = 4 элементов по m = 2 элемента. Выбор элементов осуществлять из четырёхэлементного множества

M = {♦,♣,♥,♠}.

Решение. Комбинации

(♦,♣), (♦,♥), (♦,♠), (♣,♥),(♣,♠), (♥,♠)

представляют собой все возможные сочетания из n = 4 по m = 2. Любые две из этих комбинаций отличаются составом элементов.

Порядок элементов в сочетании не имеет значения. Другими словами, комбинации (♦,♣) и (♣,♦) представляют собой одно и то же сочетание.

23

Число всех сочетаний из n по m (обозначение: Cnm ) можно вычислить по формуле:

ÿ

Эта формула может быть получена следующим образом. Рассмотрим все размещения из n по m. Разобьём их на группы, в каждой из которых размещения различаются только порядком элементов, но не составом, а две различные группы отличаются хотя бы одним элементом.

Очевидно, что число групп равно числу искомых сочетаний из n по m, а внутри каждой группы содержатся все перестановки из m элементов.

Количество групп найдём, поделив количество всех размещений из n по m на количество элементов в группе (оно равно числу перестановок из m элементов):

ÿ

Вернёмся к примеру 2.3. Число сочетаний из n = 4 по m = 2, рассчитанное по формуле (2.8):

C42 = 6,

совпадает со значением, полученным с помощью непосредственного перечисления всех комбинаций.

Пример. В студенческой группе 15 человек. Требуется отобрать двоих для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данном случае порядок элементов не имеет значения, так как оба студента отправляются в одно место. Значит, для решения задачи следует воспользоваться формулой (2.8):

24

4. Доказать методом математической индукции:

P1 + 2∙P2 +...+ n∙Pn = (n+1)! ‒1.

5.Сколько всего 6-значных а) чётных чисел? б) нечётных чисел?

в) чисел, делящихся на 5 без остатка?

6.Из пункта А в пункт Б ведёт k дорог, из А в С ‒ l дорог, из Б в Д ‒ m дорог, из С в Д ‒ n дорог. Сколько маршрутов между пунктами А и Б?

7.Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 разным адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

8.Клавиатура пианино состоит из 88 клавиш. Сколько различных музыкальных фраз можно составить с помощью шести клавиш, если

а) ноты могут повторяться? б) ноты не повторяются?

в) Сколько аккордов можно составить с помощью шести клавиш?

9.Сколькими способами можно распределить 2 разных билета в театр среди четырёх людей, если каждый человек имеет право получить как один, так и оба билета?

10.На 7 сотрудников отдела выделены 3 одинаковые путёвки. Сколько способов распределения этих путёвок, если каждый сотрудник имеет право получить любое количество путёвок?

11.Сколькими способами можно рассадить 3-х человек в 5-местную машину, если

а) все они будут пассажирами? б) один из них сядет за руль?

12.Из 10 роз и 8 пионов нужно составить букет, который содержит 2 розы и 3 пиона. Сколькими способами можно это сделать, если все 18 цветков различаются между собой?

13.Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики (все цветки различаются между собой), выбирают 5 цветков. Сколькими способами это можно сделать, если среди выбранных хотя бы 3 гвоздики должны быть красными?

25

14.Имеется 20 тетрадей с обложками двадцати разных цветов, причём 15

тетрадей ‒ в клетку и 5 ‒ в линейку. Сколько способов выбрать 6 тетрадей так, чтобы среди них были

а) 4 в клетку?

б) не менее 4-х в клетку?

15.На подносе лежат 8 пирожков с разными начинками и 9 булочек с изюмом (во всех булочках разное количество изюминок). Сколькими способами можно взять 3 мучных изделия так, чтобы среди них были

а) 2 булочки?

б) не более 2-х булочек?

16.Семь яблок и три апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

17.Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы 1 раз встречается цифра 5?

18.Сколько имеется пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?

19.Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

20.Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?

Контрольные вопросы

1.В чём состоит комбинаторное правило суммы?

2.В чём состоит комбинаторное правило произведения?

3.Запишите формулу для вычисления факториала n!.

4.Какие комбинации называются размещениями из n элементов по m элементов?

5.Запишите формулу для вычисления количества размещений из n элементов по m элементов.

6.Какие комбинации называются перестановками из n элементов?

7.Запишите формулу для вычисления количества перестановок из n элементов.

8.Какие комбинации называются сочетаниями из n элементов по m элементов?

9.Запишите формулу для вычисления количества сочетаний из n элементов по m элементов.

26

§ 3. Графы, их вершины, рёбра и дуги

Рассмотрим множество

V = {v1, v2, ..., vn}, n ³ 2,

и множество

E = {e1, e2, ..., em},

элементами ek которого являются двухэлементные подмножества {vi, vj} множества V. Пара множеств V и E называется неориентированным графом с множеством вершин V и множеством рёбер E.

Обозначение неориентированного графа: F = (V, E).

При этом говорят, что неориентированное ребро ek соединяет вершины vi, vj или ребро ek и вершины vi, vj инцидентны. Вершины vi и vj называют смежными.

Граф F = (V, E) может быть изображен геометрически. Для этого некоторые n точек трёхмерного пространства помечаются элементами множества вершин V и вершины vi и vj соединяются линией – неважно, прямой

или криволинейной, – если {vi, vj}Î Е. Геометрическое изображение графа будем называть диаграммой.

Пример. Пусть V = {v1, v2, v3, v4}, а элементами множества E являются все возможные множества вида {vi, vj} при i, j = 1, 2, 3, 4; i ¹ j.

Диаграмма графа приведена на рисунке 3.1, а.

Рисунок 3.1 ‒ Диаграммы графов: а) неориентированного, б) ориентированного.

Пусть теперь множество E = {e1, e2, ..., em} представляет собой неко-

торое бинарное отношение на множестве вершин V (E Í V´V), т.е. элементами ek множества E являются двухкомпонентные кортежи (vi, vj). Тогда пара множеств V и E называется ориентированным графом (орграфом) с множеством вершин V и множеством рёбер E.

27

Обозначают ориентированный граф так же, как и неориентированный: F = (V, E).

Ребро ориентированного графа называется дугой. Для дуги ek = (vi, vj)

вершина vi называется начальной, а vj − конечной. Иными словами, ребро ek выходит из вершины vi и заходит в вершину vj. Как и в случае неориентированного ребра, дуга ek инцидентна вершинам vi и vj, а вершины vi и vj инцидентны дуге ek. Вершины vi и vj также называют смежными.

Ребро, у которого концевые точки совпадают, называется петлёй. Пример. Пусть V = {3, 8, 24}. Зададим на этом множестве следую-

щее бинарное отношение: E = {(u,w) / u ‒ делитель w; u,w V} = {(3, 3), (3, 24), (8, 8), (8, 24), (24, 24)}.

Диаграмма графа приведена на рисунке 3.1, б.

Из приведенных определений графов следует, что в графах отсутствуют кратные, или параллельные, рёбра, соединяющие одни и те же пары вершин. В самом деле, один и тот же элемент в любом множестве, в том числе и множестве E, не может повторяться. По той же причине в неориентированном графе не допускаются петли. Однако иногда удобно снять указанные ограничения.

Граф, содержащий кратные ребра называется мультиграфом. Граф, содержащий петли и (или) кратные ребра, называется псевдографом.

Пример. На рисунке 3.2, а представлена диаграмма неориентированного мультиграфа: он имеет ребро кратности 3, соединяющее вершины v2 и v4, а также ребро кратности 2, соединяющее вершины v1 и v4. На рисунках 3.2, б и 3.2, в изображены диаграммы неориентированных псевдографов.

Рисунок 3.2 ‒ а) Мультиграф; б), в) псевдографы.

28

Вдальнейшем термин «граф» будет использоваться применительно

кобъекту, в котором отсутствуют петли и кратные рёбра; в противном

случае будет употребляться термин «псевдограф».

Вершина, не инцидентная никакому ребру, называется изолирован-

ной.

Пример. Такая вершина присутствует в графе F2, диаграмма которого представлена на рисунке 3.4, б.

Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нульграфом (пустым графом) и обозначается через 0. Для нуль-графа множе-

ство ребер − пустое: Е = .

Другим важным частным случаем является полный граф, в котором

каждая вершина множества V соединена ребром со всеми остальными вершинами этого множества. В дельнейшем полный неориентированный граф с n вершинами будем обозначать Kn. В ориентированном полном графе для каждой пары вершин имеются два ребра: по одному в каждом направлении.

Пример. На рисунке 3.1, а представлен неориентированный граф K4.

Два графа F и F* изоморфны, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин V и V*, что вершины соединены рёбрами в одном из графов тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если рёбра ориентированы, то их направления также должны соответствовать друг другу. Все изоморфные графы имеют одинаковые свойства.

Пример. Доказать, что графы F и F*, изображённые на рисунке 3.3, являются изоморфными.

Рисунок 3.3 – Изоморфные графы.

29

Доказательство. Установим взаимно-однозначное соответствие между множествами их вершин V и V*.

1.В графе F присутствует особая вершина v2, которая является смежной со всеми остальными его вершинами. Если графы F и F* изоморф-

ны, то в F* тоже должна быть такая вершина. Она есть; это u1. Следовательно, вершине v2 графа F соответствует вершина u1 графа F*.

2.В графе F есть ещё одна особая вершина v1, которая является смежной только с v2. В F* такая вершина тоже присутствует; это u4. Следовательно, вершине v1 графа F соответствует вершина u4 графа F*.

3.Только одна вершина v4 в F является смежной с тремя вершинами, значит, ей должна соответствовать вершина u2.

4.Вершине v3 графа F можно поставить в соответствие как вершину u3, так и вершину u5. Выберем, например, u5.

5.Тогда вершине v5 соответствует вершина u3.

Рядом со старыми метками вершин графа F* запишем новые метки

и выполним проверку, которую оформим в виде таблицы:

Требуемое взаимно-однозначное соответствие между множествами вершин V и V* установлено; следовательно, графы F и F* изоморфные.

Граф H = (VH, EH) называется частью графа F = (V, E) (обозначение: H F), если VH V, EH E. Нуль-граф является частью каждого графа.

30