nbbzibd0Bw

Особенно важный тип частей составляют подграфы. Пусть V*ÍV. Подграф F* = (V*, E*) графа F - это такая часть графа F = (V, E), множество рёбер E* которого составляют все рёбра графа F = (V, E), оба конца которых лежат в V*.

Если V* = V, то подграф F* = (V*, E*) совпадает с F = (V, E). В противном случае подграф F* = (V*, E*) называется собственным подграфом графа F* = (V*, E*). Для единичной вершины V* = {а} подграф F* = (V*, E*) состоит из петель в а.

Пример. Для графа F1, диаграмма которого представлена на рисунке 3.4, а, граф F2 (рисунок 3.4, б) является частью, но не является подграфом, тогда как граф F3 (рисунок 3.4, в) является для графа F1 как частью, так и подграфом.

Рисунок 3.4.

Задания для самостоятельной работы

1. Составить множество Еi и нарисовать диаграмму неориентированного графа Fi = (V, Ei), где V = {1, 2, 5, 6, 8}, а Ei - множество двухэлементных подмножеств множества V, удовлетворяющее условию:

а) Е1 = {{a, b} / a = 2k и b = 2n; a, b Î V; k, n Î N}; б) Е2 = {{a, b} / a = 2k-1; a, b Î V; k, n Î N};

в) Е3 = {{a, b} / a + b = 2k-1; a, b Î V; k Î N}; г) Е4 = {{a, b} / a, b Î V}.

2.Составить множество Еi и нарисовать диаграмму ориентированного гра-

фа Fi = (V, Ei), где V = {0, 5, 7, 8, 10, 15}, а Ei - бинарное отношение, заданное на множестве V:

а) Е1 = {(a, b) / a + b = 15; a, b Î V}; б) Е2 = {(a, b) / a < b; a, b Î V};

в) Е3 = {(a, b) / a ³ b; a, b Î V};

г) Е4 = {(a, b) / a × (b+1) = 0; a, b Î V}.

3. Нарисуйте диаграммы всех неизоморфных неориентированных графов

31

а) с 3 вершинами (их четыре); б) с 4 вершинами (их 11).

32

4. Доказать, что графы изоморфные:

5.Доказать, что графы не являются изоморфными:

6.Исследовать графы на изоморфизм:

7.Доказать, что изоморфизм графов представляет собой отношение эквивалентности.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение неориентированного графа.

2.Сформулируйте определение ориентированного графа.

3.Как называется ребро ориентированного графа?

3.Что такое мультиграф?

4.Что такое псевдограф?

5.Какая вершина называется изолированной?

6.Какой граф называется пустым?

7.Какой граф называется полным?

8.Сформулируйте определение изоморфных графов.

9.Что такое часть графа?

10.Какая часть называется подграфом?

11.Какой подграф называется собственным подграфом?

33

§4. Количество графов с n помеченными вершинами

п.4.1. Количество неориентированных графов

Начнём с простого примера. Построим диаграммы всех неориентированных графов на трёх помеченных вершинах. Таких графов восемь:

Рисунок 4.1 – Неориентированные графы на трёх помеченных вершинах.

Некоторые из них являются изоморфными. Например, изоморфны между собой графы F2, F3, F4, а также графы F5, F6, F7. Подсчёт количества неизоморфных графов на n вершинах – задача куда более сложная, и в рамках данного пособия рассматриваться не будет.

Обобщим задачу. Пусть имеется n вершин, помеченных соответственно: v1, v2,..., vn. Подсчитаем количество Dn различных диаграмм неориентированных графов, которые можно построить на этих вершинах.

Максимальное количество рёбер в неориентированном графе обозначим α. Эта величина определяется количеством способов, которыми из n вершин можно выбрать две, т.е. числом сочетаний из n по 2:

Для каждого из α рёбер существует две возможности: либо его проводят, либо нет. В соответствии с комбинаторным правилом произведения, количество диаграмм, а значит, и графов, равно

Разумеется, некоторые из этих графов будут изоморфными.

34

Пример. При n = 4

α = Сn2 = n! / ( 2! ∙ (n‒2)! ) = 4! / ( 2! ∙ (4‒2)! ) = 24 / 4 = 6,

значит, на четырёх помеченных вершинах можно построить D4 = 2α = 26 = 64 неориентированных графа.

п. 4.2. Количество неориентированных графов с m рёбрами

Пусть, по-прежнему, имеется n вершин, помеченных соответственно: v1, v2,..., vn. Неориентированных графов с m рёбрами столько, сколько существует способов из всех α рёбер выбрать m рёбер, т.е. равно числу сочетаний из α по m:

Пример. Определим число неориентированных графов с n = 4 вершинами и m = 2 рёбрами.

Максимальное количество рёбер в неориентированном графе с 4 вершинами было подсчитано в предыдущем пункте: α = 6.

Тогда

Сαm = α! / ( m! ∙ (α‒m)! ) = 6! / (2! ∙ (6‒2)!) = 15.

п. 4.3. Количество ориентированных графов

Перейдём к рассмотрению ориентированных графов. На рисунке 4.2 изображены все ориентированные графы на двух помеченных вершинах.

Рисунок 4.2 – Ориентированные графы на двух помеченных верши-

нах.

В ориентированном графе максимальное количество дуг (обозначим его β) в два раза больше, чем рёбер в неориентированном (для каждой дуги имеется дуга, соединяющая те же вершины, но идущая в противоположном направлении), т.е.

35

поэтому количество ориентированных графов на n помеченных вершинах составит

Пример. При n = 4

β = 2∙α = 12,

значит, на четырёх помеченных вершинах можно построить D4 = 2β = 212 = = 4096 ориентированных графов.

п. 4.4. Количество ориентированных графов с m дугами

Ориентированных графов с m дугами столько, сколько существует способов из всех β дуг выбрать m дуг, т.е. равно числу сочетаний из β по m:

Пример. Определим количество ориентированных графов с n = 4 вершинами и m = 2 дугами.

Максимальное количество дуг в ориентированном графе с 4 вершинами было подсчитано в предыдущем примере: β = 12.

Тогда

Сβ m = β! / ( m! ∙ (β‒m)! = 12! / (2! ∙ (12‒2)!) = 66.

Задания для самостоятельной работы

1. Сколько существует неориентированных графов с 5 помеченными вершинами (т.е. среди этих графов могут быть и изоморфные) и

2. Сколько существует ориентированных графов с 4 помеченными вершинами (т.е. среди этих графов могут быть и изоморфные) и

3.Известно, что на n помеченных вершинах можно построить 990 различных неориентированных графов с 2 рёбрами. Определить n.

36

Контрольные вопросы

1. Запишите формулу для подсчёта

а) максимального количества рёбер в неориентированном графе с n вершинами;

б) количества различных неориентированных графов на n помеченных вершинах;

в) количества различных неориентированных графов на n помеченных вершинах, имеющих ровно m рёбер;

г) максимального количества дуг в ориентированном графе с n вершинами;

д) количества различных ориентированных графов на n помеченных вершинах;

е) количества различных ориентированных графов на n помеченных вершинах, имеющих ровно m дуг.

§ 5. Операции над графами

Дополнение F неориентированного графа F = (V, E) имеет в качестве множества вершин множество V, причем две вершины в F смежные тогда и только тогда, когда они не являются смежными в F.

Пример. Граф F4 (см. рисунок 3.4, г) является дополнением к графу F2 (см. рисунок 3.4, б).

Пусть неориентированные графы F1 и F2 имеют непересекающиеся множества V1 и V2 вершин и непересекающиеся множества рёбер E1 и E2.

Пусть также граф F1 имеет n1 вершин и m1 рёбер, граф F2 имеет n2 вершин и m2 рёбер.

Пример. Граф F1 (рисунок 5.1, а) имеет n1 = 2 вершины и m1 = 1 ребро, граф F2 имеет n2 = 3 вершины и m2 = 2 ребра.

Рисунок 5.1.

Объединением F1 F2 графов F1 и F2 называется граф с множеством вершин V1 V2 и множеством рёбер E1 E2.

Количество вершин у объединения F1 F2 составит n1 + n2, количество рёбер – m1 + m2.

38

Пример объединения графов F1 и F2 представлен на рисунке 5.1, б. Граф F1F2 имеет 2 + 3 = 5 вершин и 1 + 2 = 3 ребра.

Соединение F1 + F2 графов состоит из их объединения F1F2 и всех рёбер, соединяющих вершины из V1 с вершинами из V2.

Количество вершин у соединения F1F2 составит n1 + n2, количество

рёбер – m1 + m2 + n1∙n2.

Пример соединения графов F1 и F2 представлен на рисунке 5.1, в. Граф F1 + F2 имеет 2 + 3 = 5 вершин и 1 + 2 + 2∙3 = 9 рёбер.

Чтобы определить произведение F1×F2 графов F1 и F2, рассмотрим любые две вершины

u = (u1, u2) и w = (w1, w2) из декартова произведения V1×V2.

Вершины u и w смежные в F1×F2 тогда и только тогда, когда

∙либо u1 = w1 и u2 − вершина, смежная с w2,

∙либо u2 = w2 и u1 − вершина, смежная с w1.

Количество вершин у произведения F1×F2 составит n1∙n2, а количество рёбер можно вычислить по формуле: n1∙m2 + n2∙m1.

Пример произведения графов F1 и F2 , изображённых на рисунке 5.2, а, представлен на рисунке 5.2, б.

Граф F1×F2 имеет 2∙3 = 6 вершин и 2∙2 + 3∙1 = 7 рёбер. Каждая из 6 вершин графа F1×F2 помечается парой

u = (u1, u2), где u1 V1 = {a, b}, u2 V2 = {p, s, t}.

Рисунок 5.2.

Композиция F1[F2] графов F1 и F2 также имеет декартово произведение V1×V2 в качестве множества вершин.

Вершины u = (u1, u2) и w = (w1, w2) смежные в F1[F2] тогда и только тогда, когда

∙либо u1 − вершина, смежная с w1,

∙либо u1 = w1 и u2 − вершина, смежная с w2.

39

Количество вершин у композиции F1[F2], как и у произведения, равно n1∙n2, а формула для количества рёбер имеет вид: n1∙m2 + n22 ∙m1.

Обратите внимание, что во втором слагаемом, в отличие от формулы для количества рёбер произведения, n2 возводится в квадрат.

Пример композиции графов F1 и F2, изображённых на рисунке 5.2, а, представлен на рисунке 5.2, в.

Граф F1[F2] имеет 2∙3 = 6 вершин и 2∙2 + 32 ∙1 = 13 рёбер.

Задания для самостоятельной работы

1.Нарисуйте граф, являющийся дополнением к графу: а) изображённому на рисунке 3.3, а; б) к полному графу с 5 вершинами.

2.Граф F имеет 174 вершины. Скольким рёбрам инцидентна вершина в дополнении к графу F, если в F она инцидентна:

а) 173 рёбрам? б) 70 рёбрам?

3.Граф F называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению F . Нарисуйте самодополнительный граф

а) с 4 вершинами, б) с 5 вершинами.

4.Докажите, что количество вершин самодополнительного графа должно

быть равно 4k или 4k+1, где k N.

5.Над графами F1 и F2 выполнить операции объединения F1 F2, соединения F1 + F2, произведения F1 × F2 , композиции F1 [F2] и F2 [F1].

6.Пусть F1 и F2 − полные неориентированные графы с 4 и 5 вершинами соответственно. Подсчитать количество вершин и рёбер в графах F1 F2, F1+F2, F1×F2, F1 [F2] и F2 [F1].

7.Имеется ni точек. Каждая пара из них соединена отрезком либо синего, либо красного цвета. Всегда ли можно выбрать из этих точек такие три, что все отрезки, соединяющие их друг с другом, будут одного цвета? а)

n1 = 4;

б) n2 = 5.

40