nbbzibd0Bw

Петля даёт вклад 1 в обе эти степени. Очевидно, что общее количество всех выходящих дуг равно общему количеству всех заходящих дуг и равно количеству дуг этого графа:

Пример. На рисунке рис. 7.1, б изображен однородный орграф степе-

ни 1.

Задания для самостоятельной работы

1.Подсчитать степени вершин для графов, изображённых на рисунке 3.1.

2.На плоскости имеется 87 точек. Сколько существует отрезков с концами в этих точках?

Указание. Подсчитать количество рёбер в полном неориентированном графе с 87 вершинами.

3.Сколько диагоналей в выпуклом 92-угольнике?

4.Существует ли полный неориентированный граф, имеющий а) 107 рёбер?

б) 120 рёбер?

5.Существует ли полный неориентированный граф с 5 вершинами, степени которых все различны между собой, т.е. равны 0, 1, 2, 3, 4?

6.Нарисуйте диаграмму неориентированного графа с 5 вершинами, у которого ровно 2 вершины имеют одинаковую степень.

7.В тренировочном турнире участвовало 12 команд, причём между каждыми двумя командами было сыграно по 3 матча. Сколько всего было проведено матчей?

Указание. Подсчитать количество рёбер в соответствующем неориентированном псевдографе.

8.Можно ли устроить такой тренировочный турнир, чтобы в нём участвовало 33 команды, и каждая команда сыграла ровно 3 матча?

9.В компании из n человек у каждого ровно трое друзей. Докажите, что n чётно.

51

10.Доказать, что в любой компании, состоящей из 11 человек, найдутся 2 человека, имеющих одинаковое количество знакомых в этой компании.

11.Во всякой ли компании найдутся 3 человека, у которых одинаковое количество знакомых в этой компании?

12.Все вершины неориентированного графа F = (V, E) (|V| = n, |E| = m) имеют степень k или k+1. Доказать, что если F имеет nk вершин степени

k и nk+1 вершин степени k+1, то nk = (k+1)n − 2m.

Контрольные вопросы

1.Как определяется степень вершины неориентированного псевдографа?

2.Запишите формулу для определения степени i-й вершины неориентированного псевдографа, если известна

а) матрица смежности; б) матрица инцидентности.

3.Сформулируйте лемму о рукопожатиях.

4.Какой граф называется регулярным (однородным)?

5.Запишите формулу, связывающую количество вершин и количество рёбер полного неориентированного графа.

6.Как определяются полустепень исхода и полустепень захода вершины ориентированного псевдографа?

7.Запишите формулу для определения полустепени исхода и полустепени захода i-й вершины ориентированного псевдографа, если известна его матрица смежности.

8.Чему равна сумма полустепеней исхода (полустепеней захода) всех вершин ориентированного псевдографа?

§ 8. Отношение связности для вершин неориентированного графа

Пусть F = (V, E) − неориентированный граф.

Маршрутом в F называется такая конечная или бесконечная последовательность рёбер (..., e0, e1, e2, ..., ep, ...), в которой каждые два соседние ребра ei−1 и ei имеют общую инцидентную вершину. Одно и то же ребро может встречаться в маршруте несколько раз.

В дальнейшем будут рассматриваться конечные маршруты (e1, e2, ..., ep). В таких маршрутах имеются первое ребро e1 и последнее ребро ep. Вершина v0, инцидентная e1 и не инцидентная e2, называется началом

маршрута. Вершина vp, инцидентная ep и не инцидентная ep‒1, называется концом маршрута. Вершины, инцидентные рёбрам маршрута, кроме начальной и конечной, называются внутренними (промежуточными).

52

Пусть маршрут М (e1, e2, ..., ep) имеет начало в v0 и конец в vp . В этом случае его называют соединяющим вершины v0 и vp. Число рёбер маршрута называется его длиной.

Пример. Маршрут (e5, e6, e7, e2, e3, e4, e1, e7, e6) (рисунок 8.1) имеет длину 9.

Маршрут называется цепью, если каждое ребро встречается в нём не более 1 раза, и простой цепью, если каждая вершина графа F инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Пример. Маршрут (e5, e6, e7, e2, e3, e4) − цепь, а маршрут (e5, e2, e3, e4) − простая цепь.

Если начальная и конечная вершины маршрута совпадают, т.е. v0=vp, то маршрут называется циклическим. Циклический маршрут называется циклом, если он является цепью, и простым циклом, если он является простой цепью.

или цикла сам является цепью.

Теорема 8.1. Вершины, связанные маршрутом, связаны также и простой цепью.

ÿ

Пусть вершина v V инцидентна более чем двум рёбрам маршрута М (e1, e2,..., ep), связывающего вершины v’ и v’’, причём ei ‒ первое из этих рёбер, ej ‒ последнее (j > i+1) (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2.

Тогда из М можно «выбросить» участок, начиная с (i+1)-го ребра и кончая (j−1)-м. Получится маршрут М’ (e1, e2, ..., ei, ej, ..., ep).

Если М’ ‒ не простая цепь, то можно повторить описанную выше

процедуру. Наконец, получится простая цепь М*, связывающая вершины v’ и v’’.

53

ÿ

На множестве вершин V зададим бинарное отношение связности RS

следующим образом: вершины v’, v’’ V находятся в отношении RS (такие вершины называются связанными), если существует маршрут М с началом v’ и концом v’’. В этом случае существует также маршрут с началом v’’ и концом v’ (для этого рёбра маршрута М должны идти в обратном порядке), откуда следует симметричность отношения связности двух вершин.

Если вершина v F связана с какой-либо другой вершиной v’, то она связана и сама с собой. В самом деле, если v и v’ связывает маршрут

М(e1, e2,..., ep), тогда v и v связывает маршрут (e1, e2,..., ep‒1, ep, ep‒1,..., e2, e1). Обычно считают, что изолированная вершина также связана сама с собой, а значит, отношение связности рефлексивно.

Наконец, оно транзитивно. Действительно, если вершина v’ связана с вершиной v’’ маршрутом М’(e1’, e2’,..., ep’), а вершина v’’ с v’’’

− маршрутом М”(e1”, e2”,..., es”), то вершина v’ связана с вершиной v’’’

маршрутом М(e1’, e2’,..., ep’, e1”, e2”,..., es”).

Из рефлексивности, симметричности, транзитивности вытекает эквивалентность отношения связности.

Граф называется связным, если все его вершины связаны между со-

бой.

Пример. Граф, изображенный на рисунке 8.3, − связный.

Рисунок 8.3 – Связный граф.

Компонентой связности графа F называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа графа F.

Пример. Граф, изображенный на рисунке 3.4, б, имеет две компоненты связности.

Под операцией удаления вершины из графа понимают удаление вершины вместе с инцидентными ей рёбрами.

54

Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется разделяющей (или точкой сочленения); ребро с таким же свойством называется мостом.

Пример. Граф, изображенный на рисунке 8.3, имеет

∙четыре точки сочленения: v3, v4, v6, v7 и

∙два моста: (v4, v5) и (v6, v7).

Задания для самостоятельной работы

1.Доказать, что в неориентированном графе из всякого цикла можно выделить простой цикл.

2.Для данного графа определить степень каждой из вершин, а также указать все точки сочленения и все мосты.

3.Доказать, что вершина v является точкой сочленения графа F тогда и только тогда, когда в F найдутся такие вершины u и w, отличные от v, что v принадлежит любой простой (u, w)-цепи.

4.Доказать, что если v − точка сочленения в графе F, то она не является точкой сочленения в F .

5.Доказать, что если неориентированный граф F не является связным, то связно его дополнение F .

Контрольные вопросы

1.Что такое маршрут в неориентированном графе?

2.Какой маршрут называется цепью?

3.Какая цепь является простой?

4.Какой маршрут называется циклическим?

5.Какой циклический маршрут называется циклом?

6.Какой цикл является простым?

7.Как определяется бинарное отношение связности для вершин неориентированного графа?

8.Какими свойствами обладает отношение связности?

9.Какой граф называется связным?

10.Что такое компонента связности графа?

11.Что представляет собой точка сочленения графа?

55

12. Какое ребро называется мостом графа?

§ 9. Отношение достижимости для вершин орграфа

Пусть V ‒ множество вершин ориентированного графа F, Е − мно-

жество его дуг. Каждая дуга e E имеет начало v’ V и конец v’’ V. Можно дать несколько определений пути в орграфе F.

1.Путь из вершин и дуг − это последовательность L(v0, e1, v1, e2, ..., ep, vp). Вершина v0 называется началом пути L, вершина vp − концом пути L, число n рёбер − его длиной. Путь, состоящий из одной вершины, имеет нулевую длину.

2.Путь из дуг − это последовательность L~ (e1, e2, ..., ep). Это понятие

пути − аналог понятия маршрута в неориентированном графе.

3. Путь из вершин − это последовательность L (v0, v1, ..., vp). Путь из вершин определён для графов, не содержащих кратных рёбер.

На практике можно пользоваться тем определением пути, которое окажется удобнее в данной конкретной задаче.

Путь называется ориентированной цепью (или просто цепью, когда рассматриваются только орграфы), если каждая дуга встречается в нём не более 1 раза, и простой ориентированной цепью, если каждая вершина графа F инцидентна не более чем двум его дугам.

Пример. Путь (e5, e6, e7, e1, e4, e3) (рисунок 9.1) − ориентированная цепь, а путь (e7, e1, e4, e3) − простая ориентированная цепь.

цикл, путь (e5, e6, e7) − простой цикл.

В связи с ориентированными цепями справедлива теорема, которую доказал Редеи (Redei) при изучении квадратичных полей.

Теорема 9.1 (Редеи). Пусть F − конечный орграф, в котором каждая пара вершин соединена дугой.

56

Тогда в F существует простая ориентированная цепь, проходящая через все его вершины.

ÿ

Доказательство проведём методом математической индукции по количеству вершин n.

∙При n = 2 дуга, соединяющая две вершины графа F2, и есть простая ориентированная цепь, проходящая через его вершины.

∙Предположим, что при n = k для графа Fk теорема верна.

∙Докажем, что при n = k+1 для графа Fk+1 теорема верна.

Построим граф Fk+1, добавив к графу Fk некоторую вершину vk+1, в которой, по условию теоремы, имеются дуги ко всем вершинам vi (i = 1, 2, ...,

k) из Fk.

По предположению, существует простая ориентированная цепь, проходящая через все вершины графа Fk. Обозначим эту цепь:

Pk = (v1, v2, ..., vk).

Для дуг, инцидентных вершине vk+1, имеется три возможности.

1. Существует дуга (vk+1, v1), как показано на поясняющем рисунке 9.2, а. Добавив её к цепи Pk «слева», получим искомую цепь, проходящую через все вершины графа Fk+1:

Pk+1 = (vk+1, v1, v2, ..., vk).

2. Существует дуга (vk, vk+1) (рисунок 9.2, б). Добавив её к цепи Pk «справа», получим искомую цепь, проходящую через все вершины графа

Fk+1:

Pk+1 = (v1, v2,..., vk, vk+1).

Случаи 1 и 2 не исключают друг друга; если существуют обе дуги –

и (vk+1, v1), и (vk, vk+1), то для построения цепи Pk+1 можно выбрать любую из них.

3.Если в графе Fk+1 нет

∙ни дуги (vk+1, v1) (т.е. присутствует дуга (v1, vk+1), которая направлена «вверх»),

∙ни дуги (vk, vk+1) (т.е. присутствует дуга (vk+1, vk), которая направлена «вниз»),

то при некотором t (2 ≤ t ≤ k‒1) в нём обязательно произойдёт «переключение» направления «вверх-вниз», т.е. найдутся дуги (vt, vk+1) и (vk +1, vt+1) (рисунок 9.2, в).

Составим цепь

57

Pk+1 = (v1, v2,..., vt, vk+1, vt+1,..., vk).

Рисунок 9.2.

Эта цепь проходит через все вершины графа Fk+1.

ÿ

На множестве вершин V зададим отношение достижимости RD следующим образом: вершина v’ V находится в отношении RD с вершиной v’’ V (в этом случае говорят, что вершина v’’ достижима из вершины v’), если существует путь L(v’,... ,v’’) с началом v’ и концом v’’.

Аналогично отношению связности для вершин неориентированного графа отношение достижимости для вершин ориентированного графа рефлексивно и транзитивно, но в отличие от отношения связанности отношение достижимости не обязательно симметрично.

С помощью отношения достижимости определяется разбиение множества вершин орграфа на классы эквивалентности: вершины v’, v’’ принадлежат одному классу, если отношение симметрично, т.е. v’’ достижима из v’, а v’ достижима из v’’.

58

Пусть L1(v’, ... ,v’’) и L2(v’’, ... ,v’) − соответствующие пути, связывающие эти вершины. Тогда вместе они образуют цикл, проходящий через вершины v’ и v’’. Таким образом, любые вершины одного и того же класса эквивалентности принадлежат некоторому циклу. Если циклы в графе отсутствуют, то каждый класс эквивалентности состоит из одной вершины.

Пример. С помощью отношения достижимости выполнить разбиение

множества V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9} вершин орграфа, изображённого на рисунке 9.3, а, на классы эквивалентности.

Рисунок 9.3.

Решение. В класс C1 помещаем вершину v1 и все эквивалентные ей вершины (принадлежащие одному циклу):

C1 = {v1, v2, v8, v9}.

Берём первую из оставшихся вершин – вершину v3 – и помещаем её и эквивалентные ей вершины (таких – увы! – нет) в класс C2:

C2 = {v3}.

Берём первую из оставшихся вершин – вершину v4 – и помещаем её и эквивалентные ей вершины в класс C3:

C3 = {v4, v5, v7}.

Оставшуюся вершину v6 помещаем в класс C4: C4 = {v6}.

Минимальный граф FB , индуцирующий на множестве вершин V то же отношение достижимости, что и данный ориентированный граф F, т.е. граф с не уменьшаемым далее множеством дуг, называется базисным графом для графа F.

Если существует базисный граф, то он не обязательно единственный. Так, для графа, изображённого на рисунке 9.3, б, любое радиальное ребро и ориентированный многоугольный цикл определяют базисный граф.

59

Если F − конечный ориентированный граф, то базисные графы существуют; они могут быть получены при последовательном удалении «лишних» дуг (vi, vj), для которых найдётся не содержащая дуги (vi, vj) ориентированная цепь Р(vi, vj).

Пример. Построить базисный граф для ориентированного графа, изображённого на рисунке 9.4, а.

Рисунок 9.4.

Решение. Перебирая по порядку (например, слева направо, сверху вниз) все дуги данного ориентированного графа, рассуждаем следующим образом:

∙удалить дугу (1, 2) , так как есть цепь (1, 0) + (0, 2);

∙оставить дугу (1, 0) с учётом того, что дуга (1, 2) уже удалена;

∙удалить дугу (3, 2) , так как есть цепь (3, 0) + (0, 2);

∙оставить дугу (3, 0);

∙удалить дугу (3, 4) , так как есть цепь (3, 0) + (0, 4);

∙оставить дугу (5, 0);

∙удалить дугу (5, 4) , так как есть цепь (5, 0) + (0, 4);

∙оставить дугу (0, 2);

∙оставить дугу (0, 4).

Окончательный вариант базисного графа представлен на рисунке 9.4,

б.

60