2 семестр / Лекции по ВМ2

ма этой функции, соответствующая разбиению сегмента [α, β] на частичные сегменты [ti−1, ti] и выбору точек ξi в качестве промежуточных точек, имеет вид

По определению определенного интеграла

β

В силу (13.5) для обоснования равенства (13.4) достаточно доказать, что

lim (l(ti) − I(ti, ξi)) = 0.

t→0

Для этого нам понадобится вспомогательное алгебраическое неравенство

По формуле (13.3), в которой нужно положить ϕ(t) = t, ψ(t) = = f(t), получаем:

r = r(ϕ), ϕ1 ϕ ϕ2 (рис. 13.6), причем функция r(ϕ) имеет на сегменте [ϕ1, ϕ2] непрерывную производную r (ϕ). Переходя к

декартовым координатам, получим уравнения кривой в параметрической форме (ϕ — параметр):

4. Если кривая задана в полярных координатах уравнением

ϕ = ϕ(r), r1 r r2, то

r2

l = 1 + r2ϕ 2(r) dr

r1

(выведите эту формулу самостоятельно).

Примеры.

1) x = R cos t, y = R sin t, 0 t 2π (окружность радиуса R с центром в начале координат).

2) r = R = const > 0, 0 ϕ 2π (та же окружность, но заданная уравнением в полярных координатах: r = r(ϕ) = R).

Замечание о пространственной кривой.

Простая пространственная кривая определяется как множество точек {M(x, y, z) : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β}, где ϕ(t), ψ(t) и χ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β], причем множество {M(x, y, z)} не содержит кратных точек.

Понятие длины кривой вводится таким же образом, как и для плоской кривой, и длина кривой выражается формулой

β

l = ϕ 2(t) + ψ 2(t) + χ 2(t) dt.

α

0

§ 2. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть L — простая спрямляемая кривая на плоскости, заданная параметрически:

x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β,

Рис. 13.7.

(то есть ϕ(t) и ψ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β], и различным значениям t из сегмента [α, β] соответствуют различные точки M (ϕ(t), ψ(t)); если A (ϕ(α), ψ(α)) = B (ϕ(β), ψ(β)), то кривая — замкнутая.) Пусть на кривой L задана ограниченная функция z = f(x, y). Разобьем сегмент [α, β] на n частей точками α = t0 < t1 < ... < tn = β. При этом кривая L разобьется на n

дой дуге Mi−1Mi какую-нибудь точку Ki(ξi, ηi) (см. рис. 13.7) и составим интегральную сумму

n

I (Mi, Ki) = f(ξi, ηi)Δli.

i=1

Предел интегральных сумм I (Mi, Ki) при l → 0 (если он существует) называется криволинейным интегралом первого рода

от функции f(x, y) по кривой L и обозначается так:

Если f(x, y) ≡ 1, то dl = l — длина кривой L.

L

Физический пример: если ρ(x, y) — линейная плотность в точке (x, y) материальной кривой L, то m = ρ(x, y)dl — масса

L

кривой L.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода с помощью определенных интегралов.

Теорема 2. Пусть

1) простая кривая L задана параметрически уравнениями

x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β,

и пусть функции ϕ(t) и ψ(t) имеют на сегменте [α, β] непрерывные производные ϕ (t) и ψ (t), одновременно не равные нулю,

то есть ϕ 2(t) + ψ 2(t) = 0 (в таком случае кривая L называется

гладкой);

2) функция f(x, y) непрерывна вдоль кривой L.

Тогда криволинейный интеграл f(x, y)dl существует, и спра-

L

ведливо равенство

= (проведите вычисления) = ab(a3 − b3) .

3(a2 − b2)

§ 3. Криволинейные интегралы второго рода

Пусть L : x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β — простая незамкнутая спрямляемая кривая, на которой заданы две функции: P (x, y)

дуге Mi−1Mi возьмем произвольным образом точку Ki(ξi, ηi) и составим две интегральные суммы следующего вида:

ется криволинейным интегралом второго рода и обозначается так:

AB

криволинейным интегралом второго рода.