2 семестр / Лекции по ВМ2

§ 7. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция u = f(x1, ... , xm) имеет частную производную

частной производной 2-го порядка) функции u по переменным

xi, xk в точке M.

Для этой второй частной производной используются раз-

Если k = i, то частная производная 2-го порядка называется смешанной частной производной 2-го порядка.

Частные производные более высокого порядка

вводятся по индукции: n-я частная производная (или частная производная n-го порядка) функции u = f(x1, ... , xm) по аргументам xi1 , xi2 , ... , xin в точке M определяется равенством

Если не все номера i1, ... , in равны друг другу, то эта частная производная называется смешанной частной производной n-го

порядка.

Примеры.

1. Пусть u = xy. Тогда

Возникает вопрос: всегда ли выполняется это равенство? Следу-

1)Докажите, что функция u(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности

ut = uxx.

44 Гл. 9. Функции многих переменных

Это уравнение играет важную роль в математической физике. Оно описывает процесс распространения тепла в одномерном стержне, функция u(x, t) — это температура в точке стержня с координатой x в момент времени t. Данная функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности, она описывает изменение температуры в разных точках x бесконечного стержня с изменением времени t в том случае, когда до начального момента времени t = 0 температура во всех точках стержня равнялась нулю, а в момент t = 0 стержню сообщено некоторое количество тепла в точке x = 0.

2)Постройте следующие графики температуры u(x, t):

1.графики u(x, t) как функции x при трех фиксированных значениях времени t1, t2 и t3, таких, что 0 < t1 < t2 < t3;

2.графики u(x, t) как функции t при трех фиксированных

значениях x: x = 0, x = x1 и x = x2, причем 0 < x1 < x2.

Теорема 18 (о равенстве смешанных производных). Если

внекоторой окрестности точки M0(x0, y0) функция u = f(x, y) имеет смешанные частные производные fxy и fyx, и если эти смешанные производные непрерывны в точке M0, то они равны

вэтой точке:

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).

Доказательство. Рассмотрим квадрат M0M1M2M3 со сторонами, параллельными осям координат и равными h, причем возьмем h столь малым, чтобы квадрат целиком лежал в указанной окрестности точки M0 (рис. 9.20). Введем функции

F (h) = f(M2) − f(M1) − f(M3) + f(M0) =

= f(x0 + h, y0 + h) − f(x0 + h, h) − f(x0, y0 + h) + f(x0, y0)

и

ϕ(x) = f(x, y0 + h) − f(x, y0).

Применяя формулу Лагранжа конечных приращений, приходим к равенствам

F (h) = ϕ (x0 + θ1h)·h = [fx(x0 + θ1h, y0 + h) − fx(x0 + θ1h, y0)]·h,

где θ1 — некоторое число из интервала 0 < θ1 < 1.

К разности, стоящей в квадратных скобках, снова применим формулу Лагранжа (теперь по переменной y), получим равенство

Введем еще одну функцию:

ψ(y) = f(x0 + h, y) − f(x0, y0).

Тогда F (h) = ψ(y0 + h) − ψ(y0) и, преобразуя это выражение для F (h) таким же образом, как и выражение (9.18), приходим

Приравняем выражения (9.19) и (9.20) для F (h), сократим равенство на h2 и перейдем к пределу при h → 0. Получим равенство fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0), что и требовалось доказать.

Замечание. Имеет место более сильная теорема, нежели теорема 18, а именно: если u = f(x, y) имеет в окрестности точки

M0(x0, y0) частные производные fx, fy и fxy, причем fxy непрерывна в точке M0, то в точке M0 существует fyx и справедливо

равенство

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).

Определение. Функция u = f(x1, ... , xm) называется дважды дифференцируемой в точке M0(x01, ... , x0m), если она дифференцируема в некоторой окрестности точки M0 и все ее частные производные 1-го порядка дифференцируемы в самой точке

M0.

46 Гл. 9. Функции многих переменных

Понятие n-кратной дифференцируемости функции вводится по индукции. Пусть уже введено понятие (n − 1)-кратной дифференцируемости функции u = f(x1, ... , xm). Будем говорить, что эта функция n раз дифференцируема в точке M0, если она (n − 1) раз дифференцируема в некоторой окрестности точки M0 и все ее частные производные (n − 1)-го порядка дифференцируемы в самой точке M0.

Отметим, что если функция u = f(x1, ... , xm) n раз дифференцируема в точке M0, то эта функция и все ее частные производные до (n − 2)-го порядка включительно дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0 (докажите это).

Сформулируем еще две теоремы о равенстве смешанных про-

изводных.

Теорема 18а. Если функция u = f(x, y) дважды дифференцируема в точке M0(x0, y0), то

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).

Доказательство проводится сходно с тем, как была доказана

теорема 18 (см. [1]).

Теорема 18б. Если функция u = f(x1, ... , xm) n раз дифференцируема в точке M0, то все ее смешанные частные производные в точке M0 до n-го порядка включительно не зависят от порядка дифференцирования.

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим сначала функцию двух переменных. Пусть функция u = f(x, y) независимых переменных x и y дважды дифференцируема в точке M0(x0, y0), то есть она дифференцируема в

Отметим, что дифференциал du является функцией четырех переменных: x , y , dx , dy.

Чтобы ввести дифференциал второго порядка функции u = = f(x, y), будем рассматривать du как функцию только x и y, то есть так, как если бы dx и dy были фиксированными числами (постоянными множителями).

Так как ∂u∂x и ∂u∂y дифференцируемы в точке M0, то du

является дифференцируемой функцией переменных x и y в точке

M0.

Определение. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции u = f(x, y) в точке M0 называется дифференциал от первого дифференциала du при следующих условиях:

1.du рассматривается как функция только x и y,

2.при вычислении дифференциалов от ∂u∂x (x, y) и ∂u∂y (x, y)

приращения x и y независимых переменных x и y берутся такими же, как в выражении (9.21) для du, то есть равными dx и dy.

Итак,

d2u = d(du)

при указанных двух условиях.

Из (9.21) и правил дифференцирования следует, что

По формуле (9.22) получаем:

d2u M0 = uxx(M0) dx2 + 2uxy(M0) dxdy + uyy(M0) dy2 = = 0 · dx2 + 2 dx dy + 0 · dy2 = 2 dx dy.

Заметим, что выражение (9.22) для d2u похоже на квадрат двучлена. Его действительно можно записать как квадрат двучлена, но не обычного, а символического (или операторного) двучлена.

Назовем оператором правило, посредством которого каждой функции из заданного множества функций, ставится в соответствие некоторая функция из, вообще говоря, другого множества (одна функция преобразуется в другую функцию). Так, операцию нахождения частной производной функции u(x, y) по аргументу x можно рассматривать как действие оператора (будем обозна-

чать его ∂x∂ ), который функцию u(x, y) преобразует (переводит) в функцию ∂u∂x (x, y): ∂x∂ u = ∂u∂x. Аналогично определяется оператор ∂y∂ частной производной по y.

Оператор d = ∂x∂ dx + ∂y∂ dy назовем оператором дифференциала. При действии этого оператора на функцию u(x, y) получается дифференциал функции: du = ∂u∂xdx + ∂u∂y dy.

Произведение операторов определим следующим образом:

k и l — натуральные числа.

Определим n-ю степень оператора d как n-ю степень двучлена ∂x∂ dx + ∂y∂ dy. Тогда

Дифференциал n-го порядка функции вводится по индукции.

Если функция u(x, y) n раз дифференцируема в точке M0 (то есть (n − 1) раз дифференцируема в некоторой окрестности точки M0 и все ее частные производные (n − 1)-го порядка дифференцируемы в точке M0), то дифференциалом dnu n-го поряд-