2 семестр / Лекции по ВМ2

моугольнике Q (см. теорему 2), то неявная функция y = f(x) дифференцируема на интервале (x0 − d, x0 + d) и ее производная выражается формулой

Замечание. Если функция F (x, y) дифференцируема в прямоугольнике Q k раз, то и неявная функция y = f(x) дифференцируема на интервале (x0 − d, x0 + d) k раз; для нахождения f (x)

нужно взять производную от f (x) и так далее. Пример. Рассмотрим снова уравнение (10.6)

F (x, y) := 2y + sin y − x = 0, (x, y) R2.

Оно определяет единственную неявную функцию вида y = f(x), x (−∞, +∞), причем эта функция дифференцируема в каждой точке в силу теоремы 3. По формуле (10.10) находим:

и далее можно найти производные более высокого порядка функции f(x).

Заметим, что для вычисления f (x) и f (x) в какой-то точке x с помощью полученных формул сначала нужно найти из уравнения (10.6) соответствующее значение f(x). Для произвольно заданного x это можно сделать только приближенно, но для x, кратного 2π, нетрудно найти точное значение f(x) (см.

рис. 10.2): f(2kπ) = kπ, k Z. Например, для x = 2π получаем: f(2π) = π, f (2π) = 1, f (2π) = 0.

Рассмотрим теперь уравнение, которое является обобщением

Мы рассмотрим вопросы о существовании, единственности и дифференцируемости неявных функций вида (10.14), определяемых системой уравнений (10.13). При рассмотрении этих вопросов важную роль играет определитель

F1, F2, ... , Fm по переменным y1, y2, ... , ym. Для него будем использовать также более краткое обозначение

=D(F1, ... , Fm) . D(y1, ... , ym)

Теорема 5. Пусть выполнены условия: 1. функции

F1(x1, ... , xn, y1, ... , ym), ... , Fm(x1, ... , xn, y1, ... , ym)

определены и дифференцируемы в некоторой окрестности ω точки M0 x01, ... , x0n, y10, ... , ym0 ;

74 Гл. 10. Неявные функции

неявных функций вида (10.14), и эти неявные функции дифференцируемы в параллелепипеде

Доказательство. При m = 1 (то есть когда система (10.13) состоит из одного уравнения) справедливость утверждения теоремы 5 следует из теоремы 4. При m > 1 теорему 5 можно доказать по индукции (см. [1]).

Мы проведем доказательство теоремы 5 для m = 2. В этом случае система (10.13) состоит из двух уравнений, которые запишем в виде

Из последнего неравенства следует, что некоторые из элементов

Так как F1(M0) = 0 и ∂F1 (M0) = 0, то для уравнения (10.17)

∂y1

выполнены условия теоремы 4, согласно которой в некотором параллелепипеде с центром M0 уравнение (10.17) имеет решение

Подставив функцию (10.18) во второе уравнение системы (10.15), получим уравнение

Будем рассматривать это уравнение как уравнение относительно y2 в окрестности точки M0 x0, y20 и убедимся в том, что для

Так как F2(x, y1, y2) и f(x, y2) — дифференцируемые функции, то функция g(x, y2) дифференцируема в некоторой окрестности точки M0, то есть выполнено условие 1 теоремы 4.

Частная производная

(см. (10.20) и (10.16)), то есть выполнено условие 3 теоремы 4. Согласно теореме 4 в некотором параллелепипеде с центром M0 уравнение (10.19) имеет единственное решение относи-

тельно y2:

причем f2(x) — дифференцируемая функция.

Таким образом, в некотором параллелепипеде с центром в точке M0 система уравнений (10.15) имеет единственное решение вида (10.21), (10.22), то есть определяет единственную пару неявных функций вида (10.21), (10.22), причем f1(x) и f2(x) — дифференцируемые функции.

Теорема 5 для m = 2 доказана.

Вычисление производных неявных функций y1 = f1(x)

и y2 = f2(x). Если подставить (мысленно) в систему уравнений (10.15) функции y1 = f1(x), y2 = f2(x), являющиеся решением этой системы, то получим тождества

F1(x, f1(x), f2(x)) = 0, F2(x, f1(x), f2(x)) = 0.

Продифференцируем эти тождества по какому-то из аргументов xi (i = 1, 2, ... , n):

изводные, поскольку определителем системы является якобиан

=D(F1, F2) , который отличен от нуля в точке M0 (см. (10.16)),

D(y1, y2)

ав силу непрерывности отличен от нуля и в некоторой окрест-

ности точки M0.

Отметим, что выражения для производных ∂f1 и ∂f2 , кото-

∂xi ∂xi

рые нетрудно получить из (10.23), будут содержать сами неявные

функции f1(x) и f2(x) и, следовательно, чтобы вычислить ∂f1 и

∂xi

∂f2 в данной точке x, нужно сначала найти значения неявных

∂xi

функций в этой точке, а для этого нужно решить систему (10.15) относительно y1 и y2 для данной точки x.

Если функции F1(x, y1, y2) и F2(x, y1, y2) дифференцируемы k раз в окрестности точки M0, то неявные функции y1 = f1(x) и

y2 = f2(x) также дифференцируемы k раз. Их частные производные второго порядка можно найти, дифференцируя производные

определяет в окрестности точки M0(1; 1; −1) единственную пару неявных функций вида y = f1(x), z = f2(x) и найти производные первого и второго порядков этих неявных функций в точке x = 1. Решение. Функции

F1 := x2 + y2 + z2 − 3 и F2 := x + y + z − 1

дифференцируемы в любой окрестности точки M0(1; 1; −1); их частные производные

условия теоремы 5, согласно которой в некоторой окрестности точки M0 система уравнений (10.24) определяет единственную пару функций вида y = f1(x), z = f2(x), дифференцируемых в окрестности точки x = 1. Более того, поскольку функции F1 и F2 дифференцируемы любое число раз, то неявные функции y = = f1(x) и z = f2(x) также дифференцируемы любое число раз в окрестности точки x = 1. Отметим также, что

Система уравнений для нахождения f1(x) и f2(x) получается аналогично системе (10.23), то есть путем подстановки в систему (10.24) неявных функций y = f1(x), z = f2(x) и дифференцирования полученных тождеств по x. Это дает тождества

2x + 2f1(x)f1(x) + 2f2(x)f2(x) = 0, 1 + f1(x) + f2(x) = 0,

78 Гл. 10. Неявные функции

Полагая в этих формулах x = 1 и учитывая равенства (10.25), находим f1(1) и f2(1):

Далее, используя формулы (10.26), находим f1 (x) и f2 (x):

Полагая в этих формулах x = 1 и учитывая равенства (10.25) и (10.27), получаем:

f1 (1) = −1, f2 (1) = 1.

Задание. Нарисуйте сферу и плоскость, которые задаются уравнениями (10.24) в прямоугольной системе координат Oxyz. Изобразите окружность (обозначим ее ω), по которой пересекаются сфера и плоскость, и отметьте на ней точку M0(1; 1; −1). Выделите в малой окрестности этой точки дугу окружности ω и рассмотрите проекции этой дуги на координатные плоскости Oxy и Ozx. Эти проекции являются графиками функций y = f1(x) и z = f2(x), то есть тех самых неявных функций, которые определяются уравнениями (10.24) в окрестности точки M0.

Отметьте теперь на окружности ω точку M1(−1; 1; 1) и попробуйте спроектировать дугу этой окружности, содержащую точку M1, на плоскости Oxy и Ozx. С какими трудностями вы столкнетесь? Объясните их.

§ 3. Зависимость функций

Понятие зависимости функций. В курсе линейной алгебры было введено понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. В частности, в пространстве C[a, b] функций, непрерывных на сегменте [a, b], линейная зависимость функций

y1(x), y2(x), ..., ym(x) означает, что хотя бы одна из этих функций является линейной комбинацией остальных:

yk(x) = C1y1(x) + ... + Ck−1yk−1(x) + Ck+1yk+1(x) + ... + Cmym(x),

где Ci — некоторые числа.

В этом параграфе мы введем более общее понятие зависимости функций, которое включает в себя как частный случай понятие линейной зависимости.

Начнем с примера:

y1(x) = x, y2(x) = x2, a x b.

Функции y1(x) и y2(x) не являются линейно зависимыми на сегменте [a, b], так как ни при каком числе C равенство y1(x) = = Cy2(x), то есть x = Cx2 (и также равенство y2(x) = Cy1(x), то есть x2 = Cx), не может выполняться для всех x из сегмента [a, b]. Вместе с тем, между данными функциями существует зависимость, а именно,

y2(x) = y12(x) x [a, b],

но эта зависимость нелинейная.

Перейдем к общему понятию зависимости функций, которое мы введем для дифференцируемых функций, поскольку рассматриваемые ниже теоремы о зависимости и независимости функций относятся к дифференцируемым функциям.

Пусть функции

y1 = f1(x1, ..., xn), y2 = f2(x1, ..., xn), ..., ym = fm(x1, ..., xn)

(10.28) определены и дифференцируемы в некоторой области D Rn

(областью мы называем открытое связное множество точек из Rn).

Определение. Функция yk = fk(x1, ..., xn) называется зависимой в области D от остальных функций системы (10.28), если для всех точек области D эту функцию можно представить в виде

где Φ(y1, ..., yk−1, yk+1, ..., ym) — дифференцируемая функция своих аргументов.

Замечания.

1. Равенство (10.29) нужно понимать так: если вместо y1, .., ym

подставить функции (10.28), то получится тождество, справедливое для всех x = (x1, x2, ..., xn) из области D,

fk(x) ≡ Φ f1(x), ..., fk−1(x), fk+1(x), ..., fm(x) .

2. В данном определении существенно то, что функция Φ зависит

только от y1, ..., ym (кроме yk) и не зависит от x1, ..., xn. Определение. Функции (10.28) называются зависимыми в об-

ласти D, если одна из них (все равно какая) зависит в этой области от остальных функций. В противном случае функции

(10.28) называются независимыми в области D.

Примеры.

1. Функции

произведение x1x2, и также x1x2 нельзя выразить через x1 + x2). Предположим, что функции (10.30) зависимы в некоторой окрестности ω точки M0. Тогда для всех точек (x1, x2) из этой

окрестности либо y1 = Φ(y2), либо y2 = Φ(y1).

Допустим, что y1 = Φ(y2), то есть для любой точки (x1, x2)

Рассмотрим отрезок L1 = {(x1, x2) : −δ x1 δ, x2 = 0} пря-

= Φ(0) = const, но это противоречит тому, что на отрезке L1 координата x1 не является постоянной, а изменяется от −δ до δ.