2 семестр / Лекции по ВМ2

где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности P . Эту формулу можно записать в виде

где P — внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2. Здесь

P = x2 + f1(y, z), Q = cos y + f2(x, z), R = z + f3(x, y), поэтому

∂P∂x = 2x, ∂Q∂y = − sin y, ∂R∂z = 1. По формуле Остроградского– Гаусса

I = ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z dxdydz =

G

=(2x − sin y + 1) dxdydz = 43πR3.

G

§ 5. Формула Стокса

Пусть P — двусторонняя поверхность, ограниченная контуром L. Выберем одну из сторон поверхности, то есть ориентируем поверхность. Введем положительное направление обхода контура L, соответствующее ориентации поверхности, следующим образом: если наблюдатель находится на выбранной стороне поверхности (то есть направление от ног к голове совпадает с направлением вектора нормали), то при обходе контура в положительном направлении он оставляет поверхность слева от себя (рис. 14.16).

Если граница поверхности состоит из нескольких контуров, то для каждого из них положительное направление обхода определяется таким же образом (рис. 14.17). Выбор положительного направления обхода контура называется также согласованием

ориентации контура с ориентацией поверхности.

Определение. Назовем поверхность P «xyz-проектируемой», если она взаимно однозначно проектируется на каждую

Тогда параметрические уравнения контура L можно записать в виде

x = ϕ(t), y = ψ(t), z = f(ϕ(t), ψ(t)), α t β.

Поэтому

β

P (x, y, z) dx = P (ϕ(t), ψ(t), f(ϕ(t), ψ(t))) ϕ (t) dt,

β

P (x, y, f(x, y)) dx = P (ϕ(t), ψ(t), f(ϕ(t), ψ(t))) ϕ (t) dt,

откуда следует равенство

P (x, y, z) dx = P (x, y, f(x, y)) dx.

ты пропорциональны координатам единичного вектора нормали {cos α, cos β, cos γ}, в частности

но допускает разбиение на конечное число «xyz-проектируемых» поверхностей, то формула Стокса остается в силе.

Примером такой поверхности является полусфера, расположенная в полупространстве z 0 (рис. 14.20). Ее можно разбить

коси координат, то она не являет-

ся «xyz-проектируемой». Однако, формула

Стокса верна и в этом случае. Более того,

для такой поверхности формула Стокса переходит в формулу Грина. Пусть, например, плоская поверхность P перпендикулярна к оси Oz. Тогда cos α = cos β = 0, cos γ = 1,

Rdz = 0 и из формулы Стокса получаем:

L

P dx + Qdy = ∂Q∂x − ∂P∂y dxdy (формула Грина).

L P

4)Формула Стокса остается в силе, если граница поверхности P состоит из нескольких замкнутых контуров. При этом в левой части формулы нужно написать сумму криволинейных интегралов по всем этим контурам, пробегаемым в положительном направлении.

5)Для запоминания формулы Стокса полезно заметить, что первое слагаемое под знаком интеграла в правой части формулы (14.19) является произведением подинтегральной функции из правой части формулы Грина на cos γ, а два следующих слагаемых получаются из первого циклической перестановкой:

6.Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути... 197

§6. Условия независимости криволинейного

интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве

Пусть G — область в пространстве R3, то есть открытое связное множество. Будем называть область G поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L, лежащего в области G, существует поверхность, ограниченная контуром L

и целиком лежащая в области G.

Примеры. Шар, параллелепипед, область между двумя концентрическими сферами — поверхностно односвязные области;

тор не является поверхностно односвязной областью.

Теорема 5. I. Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) определены и непрерывны в области G. Тогда следующие три условия эквивалентны:

1.Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области G, справедливо равенство

P dx + Qdy + Rdz = 0.

L

2. Для любых двух точек A и B области G криволинейный интеграл P dx + Qdy + Rdz не зависит от пути интегри-

AB

рования, расположенного в области G.

3.Выражение P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz является полным дифференциалом, то есть в области G существует функция u = u(x, y, z), такая, что

du = P dx + Qdy + Rdz.

При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB, лежащей в области G, имеет место равенство

P dx + Qdy + Rdz = u(B) − u(A).

AB

II. Если область G — поверхностно односвязная, а функции P , Q, R имеют в области G непрерывные частные производные первого порядка, то каждое из условий 1–3 эквивалентно усло-

вию

4. ∂P∂y = ∂Q∂x , ∂Q∂z = ∂R∂y , ∂R∂x = ∂P∂z во всех точках области G.

−→ −→

можно записать в виде rot a = 0 .

Доказательства утверждений I и II проводятся по той же схеме, что и в аналогичной теореме для криволинейных интегралов на плоскости:

1 → 2 → 3 → 1 и 3 → 4 → 1.

Отличие состоит лишь в том, что при доказательстве утверждения 4 → 1 нужно воспользоваться не формулой Грина, а формулой Стокса.

Замечание. Функция u(x, y, z) из условия 3 может быть найдена по формуле

= P (x, y0, z0) dx + Q(x, y, z0) dy + R(x, y, z) dz + C,

x0 y0 z0

где (x0, y0, z0) — какая-нибудь фиксированная точка, C — произвольная постоянная, а в качестве кривой интегрирования взята ломаная, отрезки которой параллельны осям координат.

Список литературы

1.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. М.: Физматлит, 2009.

2.Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2006.

3.С.М. Никольский. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2001.

4.В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин Математический анализ в вопросах и задачах. СПб.: Лань, 2008.

5.Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель, 2009.