11.5.4. Включение цепи r, l на синусоидальное напряжение

К цепи (рис.11.9) приложено синусоидальное напряжение , тогда значение напряжения в момент включения (t = 0) определяется величиной начальной фазы , которая в этом случае называется также фазой включения.

Начальные условия для схемы (рис.11.9): при t = 0 .

Составляем дифференциальное урав-нение после коммутации для тока переходного процесса:

Рис. 11.9 , (11.22)

решение которого находим в виде суммы и :

.

Свободный ток был определен ранее (11.13):

.

Принужденную составляющую найдем в результате расчета цепи (рис.11.9) в установившемся режиме:

,

где ; .

Ток переходного процесса:

. (11.23)

Постоянную интегрирования А найдем из уравнения (11.23), подставив в него начальные условия:

, откуда .

Подставив значение А в уравнение (11.23), получим:

. (11.24)

Напряжение переходного процесса на сопротивлении , т.е. уравнение (11.24) надо умножить на R:

. (11.25)

Напряжение переходного процесса на индуктивности:

. (11.26)

П остроим кривую тока переходного процесса по выражению (11.24) приняв значение начальной фазы напряжения (рис.11.10).

Рис. 11.10

Из выражения (11.24) и графика (рис.11.10) для тока i видно, что во время переходного процесса на синусоидальный принужденный ток i_пр налагается свободный ток , затухающий по экспоненте. В результате этого наложения i в некоторые моменты превосходит амплитуду установившегося тока , т.е. в цепи может возникнуть большой ток, называемый сверхтоком. Быстрота наступления установившегося режима зависит от постоянной времени цепи .

Величина начального значения свободного тока зависит от начальной фазы напряжения и равна по величине и обратна по знаку значению принужденного тока в момент включения. Если включение происходит в момент, когда должен быть равен нулю, т.е. или , то и режим тока в цепи устанавливается сразу (переходного процесса нет). Если в момент включения должен проходить через свое наибольшее по абсолютной величине значение, что имеет место при , то начальное значение получает наибольшее возможное абсолютное значение, равное . Наиболее неблагоприятный случай, когда включение происходит при переходе через и когда, кроме того, велика по сравнению с периодом .

Ток переходного процесса достигает своего наибольшего значения в конце первого полупериода, но он не может более чем в 2 раза превысить .

11.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и емкости

11.6.1. Свободное напряжение на емкости

П редположим, что схема цепи с последовательным соединением R и С после коммутации имеет вид (рис.11.11), для которой справедливо уравнение:

. (11.27)

Рис. 11.11 В уравнении (11.27) два независимых i и .

Выразим ток конденсатора i через

напряжение на конденсаторе . Ток в конденсаторе представляет собой изменение заряда во времени, т.е.

. (11.28)

Подставим выражение (11.28) в уравнение (11.27):

. (11.29)

Уравнение (11.29) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, характеризующее переходный процесс в цепи (рис.11.11).

Для определения свободного напряжения на емкости запишем однородное дифференциальное уравнение, приравняв правую часть уравнения (11.29) к нулю:

. (11.30)

Решением этого уравнения является показательная функция

. (11.31)

Запишем для однородного дифференциального уравнения (11.30) характеристическое уравнение:

, (11.32)

откуда корень характеристического уравнения

. (11.33)

Подставим (11.33) в выражение (11.31):

. (11.34)

Зависимость от t (11.34) также является экспонентой с начальным значением А, коэффициентом затухания и постоянной времени

Рис. 11.12 (рис.11.12).