11.6.2. Короткое замыкание цепи r, c

Составим дифференциальное уравнение для цепи (рис.11.13) после коммутации:

. (11.35)

Так как в замкнутом контуре R, C источника питания нет, правая часть уравнения (11.35) равна нулю, т.е. диффе-

Рис. 11.13 ренциальное уравнение получилось

однородным. Поэтому принужденная

составляющая напряжения на емкости и напряжение переходного процесса

.

Начальные условия для цепи (рис.11.13):

при t = 0_ ; по второму закону коммутации .

Найдем А из начальных условий, t = 0 : , тогда

, (11.36)

Следовательно, при коротком замыкании цепи R, С напряжение на конденсаторе уменьшается по экспоненте от своего начального значения до нуля и тем быстрее, чем меньше постоянная времени .

Определим ток переходного процесса:

. (11.37)

До коммутации цепь R, С (рис.11.13) была включена на постоянное напряжение , а так как конденсатор не пропускает постоянный ток, то при t = 0_ . Непосредственно после коммутации при t = 0₊ ток определим из выражения (11.37): . Таким образом, в момент коммутации ток в

к онденсаторе изменяется скачком от 0 до (рис.11.14). Знак «минус» у тока означает, что действительное направление тока переходного процесса обратное заданному на схеме (рис.11.13). На схеме указано направление тока при заряде конденсатора.

Определим энергию, расходу-емую на нагрев сопротивления R за время переходного процесса от

Рис. 11.14 0 до :

, (11.38)

т.е. равна энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора до замыкания цепи.

Как и при коротком замыкании цепи R, L, электромагнитные процессы в рассматриваемом случае теоретически прекращаются при t = , а практически через доли секунды или несколько секунд. Например, если конденсатор емкостью С = 100 мкФ разряжается через сопротивление R = 100 Ом, то постоянная времени

с.

Практически конденсатор разрядится за время

с.

Если тот же конденсатор оставить заряженным и отключенным от остальной цепи, то он будет медленно разряжаться через сопротивление утечки Ом, тогда

с = 2,78 ч;

практическое время разряда ч, т.е. через 0,5 суток на конденсаторе может быть еще некоторое напряжение.

11.6.3. Включение цепи r, c на постоянное напряжение

Начальные условия для цепи (рис.11.15):

при t = 0_ , ;

при t = 0₊ ;

следовательно, при t = 0, .

Рис. 11.15 Дифференциальное уравнение для цепи

(рис.11.15) после коммутации:

. (11.39)

Решение уравнения (11.39):

.

Принужденную составляющую напряжения на конденсаторе найдем как частное решение уравнения (11.39) при , так как в установившемся режиме на конденсаторе будет постоянное напряжение:

.

Свободное напряжение было определено ранее (11.34):

.

В результате получаем:

. (11.40)

Постоянную интегрирования А определим из уравнения (11.40), подставив в него начальные условия:

, откуда .

Подставив в уравнение (11.40) значение А, получим:

, (11.41)

т.е. напряжение на емкости постепенно нарастает до своего установившегося значения и тем быстрее, чем меньше постоянная времени .

Определим ток переходного процесса:

. (11.42)

И з выражения (11.42) видно, что ток в емкости непосред-ственно после коммутации , а до коммутации . Следовательно, в момент коммутации ток изменя-

Рис. 11.16 ется скачком, и затем по экспо-

ненте уменьшается до 0 при

(рис.11.16).