11.7.2. Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение

П ри включении цепи R, L, C на постоянное напряжение конденсатор будет заряжаться через R, L до напряжения . Дифференциальное уравнение для цепи (рис.11.22) будет иметь вид:

Рис. 11.22 . (11.80)

Продифференцируем уравнение (11.80):

,

таким образом, получено дифференциальное уравнение второго порядка такое же, как при разряде конденсатора (11.51).

Первое начальное условие будет таким же, как при разряде конденсатора, а именно:

, , .

Второе начальное условие для производной тока получим из уравнения (11.80):

, откуда ,

т.е. при имеет то же выражение, что и при разряде, но с обратным знаком. Следовательно, постоянные интегрирования A₁, A₄ и A₅ будут иметь обратный знак (с обратным знаком будут также , , ).

Так как в установившемся режиме , , ,то

,

,

.

Поэтому при заряде конденсатора будем иметь те же три режима, что и при разряде.

Формулы для тока и напряжений переходного процесса приведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3

Разряд конденсатора	Заряд конденсатора
1. Апериодический процесс,  , 
; ; .	; ; .
2. Предельный апериодический процесс, = , =
; ; .	; ; .
3. Колебательный процесс,  , 
; ; ; где .	; ; .

11.8. Переходные процессы в разветвленных цепях

В общем случае разветвленной цепи расчет переходных процессов заключается в составлении системы независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов ветвей. Затем методом подстановки из одних уравнений в другие исключаются отдельные неизвестные с тем, чтобы окончательное уравнение было дифференциальным уравнением с одним неизвестным. Его целесообразно получить или для тока какой-либо индуктивности или для напряжения на емкости, так как в этом случае проще определить начальные условия после коммутации, и, кроме того, и определяются тогда путем дифференцирования, а не интегрирования, связанного с появлением новых постоянных.

При этом надо иметь в виду, что в общем случае дифференциальные уравнения с одним неизвестным, полученные для любого неизвестного системы уравнений, будет иметь одно и то же характеристическое уравнение.

Далее расчет разветвленной цепи в переходном режиме рассмотрен на конкретном примере.

Пример 11.1. Дано: В; Ом; Ом; Гн. Определить ток и напряжения , переходного процесса.

Р е ш е н и е : Определяем начальные условия: при t = 0_

А,

А.

Дифференциальное уравнение после коммутации:

Рис. 11.23 ,

его решение находим в виде суммы:

. Принужденную составляющую тока определим из дифференциального уравнения, подставив в него :

, А.

Свободную составляющую тока найдем из однородного дифференциального уравнения:

.

Характеристическое уравнение

, откуда с^-1.

Решение однородного дифференциального уравнения:

.

Постоянную интегрирования найдем из начального условия:

.

При t = 0 А; ; А; .

Ток переходного процесса

, А, где с. (11.81)

Напряжения переходного процесса:

, В. (11.82)

, В. (11.83)

На рис.11.24 построены кривые тока (11.81) и напряжений (11.82) и (11.83).

а) б)

Рис. 11.24

Пример 11.2. Дано: В; Ом; Ом;

мкФ. Определить токи и напряжения переходного процесса во всех ветвях электрической цепи.

Р е ш е н и е. Начальные условия: при t = 0_ ,

В;

Рис. 11.25 В.

Составляем систему уравнений по

законам Кирхгофа для цепи рис.11.25:

По первому закону Кирхгофа: ; [1]

По второму закону Кирхгофа: ; [2]

; [3]

Так как в уравнениях [1]-[3] три неизвестных тока и неизвестное напряжение , необходимо четвертое уравнение, связующее и :

= . [4]

Решаем систему уравнений [1]-[4]. В качестве неизвестного в этих уравнениях оставляем , исключая все три тока , , .

Из уравнения [2]: . [5]

Из уравнения [3]: . [6]

Подставляем уравнения [4], [5], [6] в уравнение [1]:

; [7]

Преобразуем уравнение [7]:

. [8]

Подставим в уравнение [8] числовые значения:

, или

. [9]

Таким образом, получили неоднородное дифференциальное уравнение [9] первого порядка, решение которого находим в виде:

. [10]

Принужденную составляющую определим из уравнения [9], подставив в него , тогда , откуда

В.

Для определения записываем однородное дифференциальное уравнение:

. [11]

Решением уравнения [11] является следующая функция:

. [12]

Для определения коэффициента записываем характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения [11]:

, [13]

откуда с^-1,

тогда . [14]

Подставляем найденные и в уравнение [10]:

. [15]

Подставляя в выражение [15] начальные условия, находим постоянную интегрирования А: , , .

Подставляем значение А в [15]:

, В = [16]

, В,

где постоянная времени с.

Токи определяем из исходных уравнений.

Из выражения [4] находим :

=

, А. [17]

Из выражения [6] находим :

= , А. [18]

Из уравнения [5] находим :

= , А. [19]

Проверку правильности расчета токов производим по первому закону Кирхгофа:

+ , А.

Напряжения переходного процесса определяем по закону Ома:

, В; [20]

, В.

Расчет токов и напряжений переходного процесса сводим в таблицу 11.4.

Таблица 11.4

		0
		1
		1	0,368	0,135	0,0498	0,0183
	А	0	1,264	1,729	1,900	1,963
	А	5	3,104	2,406	2,149	2,055
	А	-5	-1,839	-0,677	-0,249	0,092
	В	0	37,93	51,88	57,01	58,90
	В	100	62,07	48,12	42,99	41,10

По данным табл.11.4 построены на рис.11.26 и рис.11.27 кривые токов и напряжений переходного процесса. Из рис.11.26 видно, что токи и в момент коммутации изменяются скачком и затем, с течением времени убывают по экспонентам. Ток возрастает от нуля до установившегося значения также по экспоненте. Напряжение на сопротивлении изменяется аналогично току (рис.11.27), а напряжение на конденсаторе уменьшается по экспоненте от начального значения до 40 В, т.е. конденсатор разряжается от 100 до 40 В. Так как включено параллельно С, то напряжение на нем такое же, как .

Рис. 11.26

Рис. 11.27

58