книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

К

60601—481

инф. письмо

103 (03) — 74

С координатным методом на плос-

кости вы уже знакомы. Напомним,

что в прямоугольной

системе

коорди­

нат (рис. 1) точка задается упорядочен­

ной парой чисел (х, у), прямая имеет

уравнение вида ах

by = с, а окруж­

ность радиуса R с центром в

начале—"

координат характеризуется

уравне­

нием х2 -\-y2==R2. Первому уравнений

' ъ

удовлетворяют координаты тех и толе»-

ко тех

точек,

которые принадлежат

прямой,

второму уравнению — тех

только тех точек, которые принадле­

Рис. 1 л

жат указанной

окружности.

Это позволит наметить новый

подход к исследованию

взаимного

положения точек,

прямых

и плоскостей

в пространстве, а также

к вычислению

расстояний

и

величин

углов.

§ 1.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Известно,

что

любой

вектор пространства можно

разложить

зоваться

упорядоченной

тройкой

Г

(X

^ Т )

попарно

перпендикуляр­

ных

единичных векторов (рис.

2). Та­

кую тройку векторов

будем

называть

прямоугольным

базисом.

Разложе-

ние

—►

/—> —*■

►\

вектора а в

базисе ( р,

q,

г )

1 Здесь и в дальнейшем при ссылке на

учебник геометрии для 9 класса будем

обо­

значать его цифрой I, например: I, §

28.

Рис. 2

2 . По координатам векторов

а =

(—2, 3, 0),

b =

(1,

-

1,

5),

с = (7,

0,

4)

найти

координаты

вектора:

1)

а + Ь \

2)

а — с;

3)

—>

—>

—>

а — 6 +

с.

3.

Даны

векторы:

а*= (— 3,

— 1,

2),

~Ъ=

(4,

0,

6),

с = (5,— 2, 7). Найти координаты векторов:

1)

«I

^

у

2 а;

2 ) -----—

6;

3)

— а +

Зс;

4)

5 а — 7 b

2с \

5)

_1_

а Н----- b

___3_ с.

о

4.

Пользуясь

условием

6

5

7

векторов

коллинеарности

двух

(I,

§

26,

теорема

1),

выяснить,

коллинеарны

ли

векторы:

1) а = ' Т ’Т ’ - Т '

и ь =

1

_1_

3

2

2) с

2

6, Д-Г И d =

_9_

'

9

Л ?

3

/

V8

2

5.

При

каких

значениях

х

и у

векторы

а

=

(х,

2,

5)

и

Ь — (\,

у,

— 3)

коллинеарны?

6 .

Применяя условие

компланарности

трех

векторов

(I,

§ 26,

теорема 2),

найти значения л:, при которых векторы а =

(— 1, 0,

8),

^

2,

«—>

(0,

6,

4) компланарны.

Ь ~ (х ,

— 3), с =

—^

7.

Найти

скалярное

произведение

векторов:

1)

1)

а = ( — 2,3,

Л -

,5,

7,-4);

Ц

- . - i

. -

± )

«

3

-

( - А . - f . -

4-

8. Перпендикулярны

ли

векторы:

1)

а = (— 2,

1,

3) и

' ? = ( 6, — 5, 7); 2)

Г = (6, 0,

12)

и d =

(— 8,

13,

4)?

9.

Сформулировать достаточное и необходимое условие пер­

пендикулярности двух векторов в координатной форме.

10. Найти

значения

т,

при

которых

перпендикулярны век­

торы:

1)

а — (— ,

т )

и

b =

(2т, 7,

—

/л

2) а

= (Зт, — 5, 3) и

т

/п

о

b = (-Т

- З а д а ч а

1.

Найти длину вектора а = (х,

у, г).

Р е ш е н и е .

Применим формулу

скалярного

произведения

в

координатах

—

►

гг или

а2

= я2 +

+

г2,

(§ 1): а •

а = хх + г/г/ +

ратов его координат.

—“►

З а д а ч а 2.

Найти угол

между векторами а — (х1у у и г4) и

^ “ (-^2»У2* гг)*

Угол между

—►

—►

Р е ш е н и е .

векторами а

и Ъобозначим через ср.

что

cos

ср =

— -— .

Но а •

b =

х{х2 +

у±у2

+

г ^2

(§

.1),

а •

b

____________

а = У

х] +

у\ +

2?

и Ь =

у

х\ +

у\ +

z\

(задача

1), тогда

cos ср =

*

1*2 4 ~

У\Уч 4 - ZiZ2

А + у\ +

2

4 + 4 + г2

Эта формула позволяет вычислить угол

между

векторами

а

и

b

по

координатам

этих векторов.

образованных

вектором

З а д а ч а

3.

Найти

косинусы

углов,

а

=

(хуу, г) с базисными

векторами

ру qy

г.

Р е ш е н и е .

Введем

обозначения: (а ,

р j

а,

(а ,

q ]

=

(3,

а,

г ) — у-

Имеем: р =

(1,

0, 0),

тогда

cos а =

а

х • 1+

*/ • 0 +

z • 0

л:

а • 1

У * 2 + У2 + z2

У х2+ у24- z2

Аналогично находим,

что

cos (3

=

У

и

cos у =

У х2-f у2+ Z2

-J-

_j_ г 2

cos а = — ,

cos р =

—

, cos -у = — , где а = ]/" л:2 +

у2+ г2 .

а

а

а

В частности, для

единичного

вектора эти формулы

принимают

вид: cos а =

ху cos (3

=

уу cos у

— г.

■^ 12.

При каких значениях т длйны

векторов а =

(2,

т ,

4)

и

b =

(2m, 1,

3) равны

между собой?

13.

Вычислить длину

вектора

а +

6, если: 1)

аГ = (1,

2 , —1),

(3,

0, — 2); 2) о~==

(1, -

1, 3),

( - 1, 1, - 3)

14.

Вычислить длину вектора 2а +

36, если:

1) а = (1 , 1, —1),

6==(2,

0, 0);2)а =

(3,

1,

0), Ь = (0,

1,

- 1).

15.

Найти

угол

между

векторами

■■"У

( — 1,

2,

— 2)

и

а =

b

=

(6, 3,

— 6).

значениях

т

угол

между

векторами

16.

При

каких

а =

(0, /л, — 2) и b =

(— 1, 0, — 1) равен — ?

з

а — b и а +

17.

Найти

косинус

угла

между

векторами

6, ес-.

ли

а =

(1, 2, 1) и b =

(2, — 1,

0).

с

базисными

18.

Найти косинусы углов, которые образует

векторами

вектор:

1)

а

=

р

+

q — г,

2)6

=

— 3q — г\

3)

с = — Ър\

4) d — (0,

3,

4).

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ

Рассмотрим множество всех векторов пространства.

Каждый

из этих векторов отложим от одной и той же точки О (рис.

3). Век­

З а д а ч а .

Найти расстояние

между

точками

А(хи

уи zd)

и В(х2, у2, z2).

Р е ш е н и е .

Достаточно

найти длину

вектора А В

(рис.

6). По правилу вычи­

тания

векторов

АВ = ОВ — ОА =

(х2, у2,

^2)

(^1>

У\у

(-^2

Xjf

у2

у j,

г2 — 2\)

(§

0-

Применяя формулу

для вы­

числения

длины вектора (§ 2, задача 1), по­

лучим:

\АВ\=У (хг — x tf + (у2— j/j)2 +

(г2 — г,)2.

Рис.

6

З а д а ч и

19.

Построить

точки

по

их

координатам: 1)

А

(2,

3, 1);

2) В (1 ,-1 ,2 ); 3) D ( —3, -± -, - 1); 4) Е (0, 2 ,-3 ); 5)

0, 0 , ---- 1 ) .

20. Даны точки Р f-T , ---- и Q (---------------- 0,

.

Найти: 1) координаты вектора PQ; 2) координаты

середины

отрезка

[PQ1.

21.

Длина

вектора

ОА равна 3. Найти координаты

точки А,

если известно, что они равны между собой.

точки

22.

Точка

В

является

проекцией (ортогональной)

А (2, — 3,

1) на

координатную плоскость yOz. Вычислить \ ОВ\.